分类讨论

有一个两位数，如果把它的个位数字a和十位数字b对调，那么什么情况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？解： (1)10a+b﹥10b+a (2)10b+a﹥10a+b (3)10a+b=10b+a (1)a﹥b (2)b﹥a (3)a =b ∴ (1)、当a﹥b时，得到的两位数比原来的两位数大(2)、当 b﹥a时，得到的两位数比原来的两位数小(3)、当 b=a时，得到的两位数等于原来的两位数 甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？P56页解：设顾客的消费金额为X元 甲 100+（X-100）×0.9 乙 50+（X-50）×0.95 ∵ 甲 ﹥ 乙 ∴ 100+（X-100）×0.9﹥50+（X-50）×0.95 X﹤150如：X﹤50时，在甲、乙店买都不优惠当50﹤X﹤100时，在乙店买优惠当100﹤X﹤150时，在乙店买优惠当X﹥150时，在甲店买优惠

　　摘 要：试就分类讨论思想在数学中的应用做一综述，对于如何培养学生的分类讨论意识，加强分类讨论思想训练的方法做一总结和建议，体现分类讨论思想在数学中的基础性和重要性 　　关键词：分类讨论 典型例题 规律方法 数学思想 意识培养 　　 　　一、分类讨论思想在中学数学中的重要性 　　分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易，有中，也有难题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域。它一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养，分类讨论本质上是“化整为零，各个击破，积零为整”的解题策略。因此，掌握这一思想对于数学解题会有出其不意的效果。 　　 　　二、引起分类讨论原因 　　1、涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）； 　　2、公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制； 　　3、几何图形中点、线、面的相对位置不确定； 　　4、求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； 　　5、数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果。 　　 　　三、分类讨论的原则 　　1、分类标准统一，对象确定，层次分明； 　　2、所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分； 　　3、分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结果作以整合概述。 　　 　　四、分类讨论的一般步骤 　　1、确定讨论对象和确定研究的全域； 　　2、进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果，分类时，应不重复，不遗漏； 　　3、逐类讨论； 　　4、归纳小结，整合得出结论。 　　 　　五、典型题例示范讲解 　　例1：若不等式m^2+mx+2>0对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围。 　　解：（1）当m≠0时，mx^2+mx+2>0对于一切实数x 　　恒成立的充要条件是 　　（2）当m=0时，原不等式为2>0，显然对一切实数x恒成立，综合（1）、（2）可得，当0≤m0且a≠1）、对数函数y=logax （a>0，a≠1）中底数a的范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类；不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等 　　2、分类讨论产生的时机 　　（1）涉及的数学概念是分类定义的； 　　（2）运算公式、法则、性质是分类给出的； 　　（3）参数的不同取值会导致不同的结果； 　　（4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的结果； 　　（5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质引发不同的结论； 　　（6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便于解决； 　　（7）实际问题的实际意义决定要分类讨论。 　　 　　七、培养学生对“分类讨论”的兴趣 　　分类讨论思想在数学的学习中是较为常用的，但是很大一部分学生对此存在误解，认为分类讨论思想是非常枯燥和抽象的，在数学解题过程中，学生往往陷入只是一味的按照通常的方法做下去，而不知道对题目进行分类处理，只死记公式应用，不理解公式推导过程。因而在学习和运用分类讨论思想的时候会存在反感心理。其实，分类讨论思想培养学生的逻辑思维能力的功能。教师在教学中应当从分类讨论的本质出发，在数学教学中改革教学方法，选择有数学逻辑性强的特征的知识进行教学，从学生熟悉的数学内容开始，多方面结合，增强学生对分类讨论思想的认识，选择恰当的时机和环境开展教学，以此来增强学生对分类讨论的兴趣。 　　 　　八、加强数形结合思想训练 　　当学生弄清楚了分类讨论思想以后，教师在数学基础知识教学和及解题指导中，应尽量体现分类讨论思想方法的运用，使其达到自觉、自由的熟练运用。 　　在进一步的运用过程中继续加深对分类讨论思想的理解。这个阶段要注意设置阶梯，有明显的层次感，循序渐进，由浅入深。 　　 　　九、结论 　　分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立，这也是造成分类讨论的原因，因此，在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。 　　总之，在解答数学问题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性，而且就问题本身来说也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决。这时就需要从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决，也就是“化整为零”、“各个击破”，这种处理问题的思想就是分类讨论思想。为次，我们在教学过程中，必须注意培养和提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力。□ 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

一.父母和老师应该惩罚孩子来教他分辨对错吗?这个题目是教育类中的高频话题之一，探讨了家庭教育的方式，出自《剑10》Test 1的Task 2。我们先来看一下原题：It is important for children to learn the difference between right and wrong at an early age. Punishment is necessary to help them learn this distinction.To what extent do you agree or disagree with this opinion?What sort of punishment should parents and teachers be allowed to use to teach good behaviour to children?有些同学看到这个题目就“思如泉涌”，马上一拍脑袋就回答“当然要惩罚”，理由也很简单，因为“惩罚能让孩子记住自己的错误，这样就不会再犯了”。这个逻辑完全没毛病对不对?但是转念一想，如果惩罚真的这么有效，现在为什么还是有很多“熊孩子”呢?关于这个话题，笔者觉得至少有这么几个方面值得探讨：1. 惩罚是对孩子犯错的唯一处理方式吗?2. 惩罚对所有年龄段的孩子都适用吗?3. 什么样的惩罚方式才算是合理的(这同时也是题目的第二问)?这个时候，就该“分类讨论法”上场了。我们聪明的考官大人就在范文中探讨了“惩罚与孩子年龄的关系”，让我们来欣赏一下相关段落：“To some extent the question depends on the age of the child. To punish a very young child is both wrong and foolish, as an infant will not understand what is happening or why he or she is being punished. Once the age of reason is reached however, a child can be rewarded for good behaviour and discouraged from bad. This kind but firm approach will achieve more than harsh punishments, which might entail many negative consequences unintended by the parents.”请特别注意以上段落中加粗字体的部分，其实就是“分类讨论法”的体现。考官认为，这个问题取决于孩子的年龄：惩罚特别小的孩子是既错误又愚蠢的;只有孩子到了懂事的年纪，才应该采取奖惩分明的形式进行教育。这文章的立意一下子就上去了，也更符合家庭教育中的实际情况。如果真的“一刀切”地采用惩罚的形式教育孩子，罔顾孩子的年龄，只可能适得其反。二.天赋和努力哪个对体育和音乐上的成功更重要该题目出自《剑7》Test 1的Task 2，也是非常经典的一道题目。我们也先来看看原题：It is generally believed that some people are born with certain talents, for instance for sport or music, and others are not. However, it is sometimes claimed that any child can he taught to become a good sports person or musician.Discuss both these views and give your own opinion.这道题目探讨的是“天赋与努力的关系”，如果用中文去描述，其实不难，我们可以简单概括为“二者缺一不可，密不可分，相辅相成，辩证统一”。与此类似的关系还有“竞争与合作”、“法律与道德”等等。但是如果要用英文去论证这种关系，就让人感觉是“带着脚镣跳舞”，好像突然什么都不会说了。其实我们可以去假设两种极端的情况：如果只有天赋没有努力，会如何?如果只有努力没有天赋，又会如何?这种假设极端情况的方法其实也是“分类讨论法”的一种体现，它在考官范文中也得到了运用，看以下例子：“u2026u2026Good musicians or artists and exceptional sports stars have probably succeeded because of both good training and natural talent. Without the natural talent, continuous training would be neither attractive nor productive, and without the training, the child would not learn how to exploit and develop their talent.”首先，考官强调了一个事实：优秀的音乐家和运动员既需要好的训练，也需要天赋。接着，考官就采用假设极端情况的方式，进行了分类讨论：如果只有努力没有天赋，持续的训练既枯燥又低效;如果只有天赋没有努力，孩子就无法开发自己的潜能。一个看上去这么抽象、难以论证的话题，没想到考官用这么通俗易懂的语言，就给论证出来了，还颇具说服力，让人不服不行。雅思写作技巧：分类讨论法小编就说到这里了，更多关于雅思考试的备考技巧，备考干货，新闻资讯，考试报名，考试动态等相关内容，小编会持续更新。祝愿各位考生都能取得满意的成绩。

分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

1、在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。2、分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

1、在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。 2、分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

1、在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。 2、分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。