数y=1/2sin2x+cos²x,x∈R的值域是什么?

对于y=2sin²x-1=-cos2x，∵ω=2，∴T=[2π/2]=π，
函数y=|2sin²x-1|是函数y=2sin²x-1在x轴上方的图象不动，
将x轴下方的图象向上对折得到的，
则函数y=|2sin²x-1|的最小正周期T'=[1/2]T=[π/2]．
故选B

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题主要考查三角函数的最小正周期的求法，以及加绝对值后函数周期的变化，灵活运用二倍角的余弦函数公式把函数解析式化为一个角的三角函数是求函数周期的关键．

（1）∵tanx=2，
∴原式=[1+2tanx/3−tanx]=[1+4/3−2]=5；
（2）∵tanx=2，
∴原式=
2sin2x−sinxcosx+cos2x
sin2x+cos2x=
2tan2x−tanx+1
tan2x+1=[7/5]；
（3）∵tanx=2，
∴原式=
−cosx(−sinx)(−sinx)(−sinx)
sinx(−cosx)cosxsinx=-tanx=-2．

点评：
本题考点： 同角三角函数基本关系的运用．

考点点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

∵函数y=2sin²x=2×[1−cos2x/2]=1-cos2x，
故由2x=kπ，k∈z，函数的图象的对称轴方程为 x=[kπ/2]，k∈z．
故选：D．

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；余弦函数的图象．

考点点评： 本题主要考查二倍角公式、余弦函数的图象的对称轴，属于中档题．

∵psin²x+cos⁴x≥2sin²x
∴psin²x≥2sin²x-1-sin⁴x+2sin²x=4sin²x-sin⁴x-1
∴p≥4-（sin²x+
1
sin2x）
而sin²x+
1
sin2x≥2
∴4-（sin²x+
1
sin2x）的最大值为2则p≥2
故答案为：[2，+∞）

点评：
本题考点： 正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，以及函数恒成立问题和基本不等式的应用，属于中档题．

对于函数y=2sin2x，令2x=kπ，k∈z，求得x=[kπ/2]，可得函数的对称中心的坐标为（[kπ/2]，0），k∈z，
故选：D．

点评：
本题考点： 正弦函数的对称性．

考点点评： 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

令y=f（x）=2sin2xcos2x=sin4x，
则f（-x）=sin（-4x）=-sin4x=-f（x），
∴y=2sin2xcos2x是奇函数，可排除B，D；
又f（x）=sin4x的周期T=[2π/4]=[π/2]，可排除D；
∴函数y=2sin2xcos2x是周期为[π/2]的奇函数，
故选：A．

点评：
本题考点： 二倍角的正弦．

考点点评： 本题考查三角函数的奇偶性与周期性，考查排除法的灵活应用，属于中档题．

令y=f（x）=2sin2xcos2x=sin4x，
则f（-x）=sin（-4x）=-sin4x=-f（x），
∴y=2sin2xcos2x是奇函数，可排除B，D；
又f（x）=sin4x的周期T=[2π/4]=[π/2]，可排除D；
∴函数y=2sin2xcos2x是周期为[π/2]的奇函数，
故选：A．

点评：
本题考点： 二倍角的正弦．

考点点评： 本题考查三角函数的奇偶性与周期性，考查排除法的灵活应用，属于中档题．

（1）f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m=1=-2sin²x+1-2m（cosx+1）
当cosx=-1时，即x=（2k+1）π时，有sinx=0，此时f（x）=1
所以函数过定点（2kπ+π，0）
令1+cosx=0，得x=（2k+1）π，又f（（2k+1）π）=1，
所以 不论m为任何实数，函数f（x）的图象总经过定点（（2k+1）π，1）k∈z
（2）由f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m=1=2cos²x-2mcosx-2m-1，
令t=cosx，则y=2t²-2mt-2m-1=2（t-[1/2]m）²-[1/2]m²-2m-1，t∈[-1，1]，
①若[1/2]m＜-1，即m＜-2，则当t=-1时，h（m）=1，不合题意．
②若-1≤[1/2]m≤1，即-2≤m≤2，则当t=[1/2]m时，h（m）=-[1/2]m²-2m-1，
得m=-1或m=-3（舍去），所以m=-1，
③若[1/2]m＞1，即m＞2，则当t=1时，h（m）=1-4m=[1/2]，得m=[1/8]（舍去），
综上可得，m的值为1．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题主要考查三角形函数之间的转化，以及函数过定点的问题，以及分类讨论的思想，属于中档题．

∵函数f（x）=
1
2sin2x+sinx，
∴f^′（x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=2(cosx+
1
4)2−
9
8]，当cosx=−
1
4时，f^′（x）取得最小值−
9
8；当cosx=1时，f^′（x）取得最大值2．
且f^′（-x）=f^′（x）．即f^′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．
故选C．

点评：
本题考点： 简单复合函数的导数．

考点点评： 熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．