勾股定理逆定理证明题正方形ABCD中,E为AB边重点,F是AD上一点,且AF=四分之一AD.证明三角形FEC是直角三角形

若三角形两边的平方和等于第三边的平方,则三角形为直角三角形

符合要求的.3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
就是楼主的图画得有点费解看了半天……

定义
在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.这就是勾股定理的逆定理.概论 勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法,其中c为最长边:如果A×A+B×B=C×C,则△ABC是直角三角形.如果A×A+B×B>C×C,则△ABC是锐角三角形.如果A×A+B×B＜C×C,则△ABC是钝角三角形.
证明方法
勾股定理逆定理的证明方法?1、统一法 构造一个直角三角形A'B'C'.使得两直角边为a,b 由勾股定理,斜边为c.根据边边边公理.得到2个三角形全等,所以原三角形为直角三角形.2、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2,而任一三角形的边之间均满足,AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ,比较两式得 ,COSB=0 ,B=90度.3、相似三角形证明 依题意作△ABC,设BC=a、AC=b、AB=c,满足a^2+b^2=c^2 （a的平方+b的平方=c的平方） 此时,在AB边上截取点D使∠DCB=∠A,在△DCB与△ACB中,∠DBC=∠ABC ∠DCB=∠A ∴△DCB∽△ACB ∴DC:AC=BC:AB=BD:BC ∴把BC=a、AB=c代入,可求得BD= a^2∕c（c分之a的平方） 把AC=b代入,可求得CD= ab∕c ∴AC=AB―BC=c-（a^2∕c）（c-c分之a平方）= c^2- a^2（c平方-a平方）= b^2∕c（c分之b平方） ∴在△ACD与△DCB中,DC:AD=BC:AC=BD:CD=a：b ∴△ACD∽△DCB ∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90° ∴原命题得证

如果是求a到c'的最短路径的话
那么 最短路径 = 根号下 AA'^2+(A'D'+D'C')^2
= 根号下 8^2+(5+10)^2
= 根号下 289
= 17
因此一只蚂蚁从顶部A爬到点C'的位置的最短路径为 17
...

我们知道：勾三,股四,玄五.我们不妨设个参数x,我令这三个数扩大x倍,且x>=0,我们任取三段木材,只要满足三,四,五的倍数,都能构成一个三角型,然后用三角尺,量出各个角度,若有90度角,便证明勾股定理.

设三条边分别为a、b、c,对应的角分别为角A、角B、角C 过C点做c边的垂线,即三角形的高,垂足为D,设此高长度为h 则三角形的面积S＝hc/2 因为BD＝根号（a*a-h*h） AD=根号（b*b-h*h） 所以AB＝BD＋AD＝根号（a*a-h*h）＋根号（b*b-h*h） 因为AB＝c 所以c＝根号（a*a-h*h）＋根号（b*b-h*h） 两边平方得：c*c=(a*a-h*h)+(b*b-h*h)+2*根号[a*a*b*b-(a*a+b*b)*h*h+h*h*h*h] 因为c*c=a*a+b*b,代入上式得：2*根号[a*a*b*b-c*c*h*h+h*h*h*h]＝2*h*h 两边平方得：a*a*b*b-c*c*h*h+h*h*h*h＝h*h*h*h 所以a*a*b*b＝c*c*h*h 两边开方得：a*b＝c*h 因为三角形面积S＝c*h/2＝a*b/2 因为a、b为三角形两条边,所以只有直角三角形才有可能 即从c*c=a*a+b*b 推出为直角三角形

能,因为长方体中最长的线段应为体对角线 该长方体的体对角线为50倍根号2 根号2的值为1.4142135623730950488 所以体对角线大于70 能放进去

（2）B
（3）D
（4）钝角三角形（三边由√5.，√8，√17组成）
（5）C
（6）成直角。（18²+24²=30²）

²-a²
=(m²+n²)²-(m²-n²)²
=(m²+n²+m²-n²)(m²+n²-m²+n²)
=4m²n²
=(2mn)²
=c²
故
b²=a²+c²
由勾股定理逆定理知
ABC是直角三角形

设正方形边长为4a,则CE=a CF=DF=2a EB=3a
AF=根号20a FE=根号5a AE=根号25a
三条边满足勾股定理,所以垂直

∵BC=20 CD=16,BD=12
∴12²+16²=20²
∴bd⊥ab
设ad=x
∴x²+16²=（12+x）²
求出x的值 就知道周长了

长8米~对角线长10米
则根据勾股定理宽为根号下10²-8²=6米
宽小于长~
所以合格~

勾股定理：如果三角形ABC为直角三角形,且C为直角,则a^2+b^2=c^2.
它的逆定理：如果三角形ABC满足a^2+b^2=c^2,则角C为直角,三角形为直角三角形.
它们的区别是条件和结论不同,联系是：二者互为条件,互为结果,实际上是等价条件.

如果是求a到c'的最短路径的话
那么 最短路径 = 根号下 AA'^2+(A'D'+D'C')^2
= 根号下 8^2+(5+10)^2
= 根号下 289
= 17
因此一只蚂蚁从顶部A爬到点C'的位置的最短路径为 17
...

1）显然O(0,0)符合
2）若∠BAP=90°,
则AB^2+AP^2=BP^2,
设P(0,y),
(√2）^2+(1+y^2)=(1-y)^2
解得y=-1,
所以P(0,-1)
也可以这样考虑：
因为△ABO是等腰直角三角形,
所以∠BAO=45,
所以∠OAP=45,
所以△OAP是等腰直角三角形,
所以OP=OA,
所以P(0,-1)
3)同理：P(1,0)
所以符合条件的点有3个

做AE⊥BC AB=AC ∴BE=EC
AB²=BE²+AE²
=BE²+（AD²-DE²）
=（BE²-DE²）+AD²
=（BE+DE）（BE-DE）+AD²
=BD · DC+AD²

（a^2-b^2)^2+4*a^2*b^2=a^4+2*a^2*b^2+b^4=(a^2+b^2)^2 即ΔABC是以后两条边为直角边的直角三角形

如果三角形的三边长a、b、c满足（a²+b²=c²）那么（这个三角形是直角三角形）

在△ABC中,若AB²=AC²＋BC²,则这个三角形是直角三角形,且AB是斜边,∠C=90°

首先先要画图,根据题意画图
东北方向的意思是北偏东45度
画出CD这条线,使点D落在AB的延长线上
这时,你会发现三角形BCD是一个等腰直角三角形,BD=BC=70cm
根据勾股定理可得,CD=70√2cm
所以朝东北移70√2cm

连接AC,易知：
在RT△ABC中,∠B=90°,由勾股定理得
AC²=AB²+BC²
AC²=20²+15²
AC=25
在△ADC中.
AD²+DC²=24²+7²=25²=AC²
∴△ADC为直角三角形
因此：角D=90度

设三条边分别为a、b、c,对应的角分别为角A、角B、角C
过C点做c边的垂线,即三角形的高,垂足为D,设此高长度为h
则三角形的面积S＝hc/2
因为BD＝根号（a*a-h*h） AD=根号（b*b-h*h）
所以AB＝BD＋AD＝根号（a*a-h*h）＋根号（b*b-h*h）
因为AB＝c
所以c＝根号（a*a-h*h）＋根号（b*b-h*h）
两边平方得：
c*c=(a*a-h*h)+(b*b-h*h)+2*根号[a*a*b*b-(a*a+b*b)*h*h+h*h*h*h]
因为c*c=a*a+b*b,代入上式得：
2*根号[a*a*b*b-c*c*h*h+h*h*h*h]＝2*h*h
两边平方得：
a*a*b*b-c*c*h*h+h*h*h*h＝h*h*h*h
所以a*a*b*b＝c*c*h*h
两边开方得：
a*b＝c*h
因为三角形面积S＝c*h/2＝a*b/2
因为a、b为三角形两条边,
所以只有直角三角形才有可能
即从c*c=a*a+b*b 推出为直角三角形

C

证法1：同一法. 　　证法的思路是做一个直角三角形,然后证明它和已知三角形全等,从而已知三角形也是直角三角形. 　　构造一个直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,a'=a,b'=b. 　　那么,根据勾股定理,c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2,从而c'=c. 　　在△ABC和△A'B'C'中, 　　a=a' 　　b=b' 　　c=c' 　　∴△ABC≌△A'B'C'. 　　因而,∠C=∠C'=90°.（证毕） 　　证法2：余弦定理. 　　由于余弦定理是由勾股定理推出的,故可以用来证明其逆定理而不算循环论证. 　　根据余弦定理,在△ABC中,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab. 　　由于a^2+b^2=c^2,故cosC=0；又因为C小于平角,从而C=90°.（证毕） 　　证法3：相似三角形. 　　证法的思路是将已知三角形分割成两块,然后证明它们互补的两角相等,从而这两角都是直角. 　　在AB边上截取点D使∠DCB=∠A. 　　在△CDB与△ACB中,∠B=∠B, 　　∠DCB=∠A, 　　∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）. 　　∴BC/BA=BD/BC,从而BD=a^2/c.又由CD/AC=CB/AB知,CD=ab/c. 　　另一方面,AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2）, 　　在△ACD与△CBD中, 　　DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b, 　　BC/AC=a/b, 　　BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b, 　　∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）. 　　∴∠BDC=∠CDA. 　　而∠BDC+∠CDA=180°,故∠BDC=∠CDA=90°. 　　由于∠ACB=∠CDB,所以∠ACB90°.（证毕） 　　要进行实际应用,那样就事半功倍 　　【证法4】（梅文鼎证明） 　　做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠EGF = ∠BED, 　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, 　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, 　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 　　又∵ AB = BE = EG = GA = c, 　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° 　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠ABC = ∠EBD. 　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　　即 ∠CBD= 90° 　　又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, 　　BC = BD = a. 　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 　　设多边形GHCBE的面积为S,则 　　, 　　∴ . 　　【证法5】（赵浩杰证明） 　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, 　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, 　　∴FI=a, 　　∴G,I,J在同一直线上, 　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c, 　　∠CJB = ∠CFD = 90°, 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 　　同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE 　　∴∠ABG = ∠BCJ, 　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, 　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°, 　　∵∠ABC= 90°, 　　∴G,B,I,J在同一直线上, 　　【证法6】（欧几里德证明） 　　做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 　　BF、CD. 过C作CL⊥DE, 　　交AB于点M,交DE于点L. 　　∵ AF = AC,AB = AD, 　　∠FAB = ∠GAD, 　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, 　　∵ ΔFAB的面积等于, 　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　　的面积的一半, 　　∴ 矩形ADLM的面积 =. 　　同理可证,矩形MLEB的面积 =. 　　∵ 正方形ADEB的面积 　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 　　∴ 即a的平方+b的平方=c的平方 　　【证法7】欧几里得的证法 　　几何原本中的证明 　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立. 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等. 　　在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下： 　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半. 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积. 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）. 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.