高数 微分方程x^2y''=(y')^2+2xy'

wujingwen9982022-10-04 11:39:541条回答

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zhyt0712 共回答了26个问题 | 采纳率100%
化为:(2xy'-x²y")/(y')²=-1
左边正好是(u/v)'的形式:(x²/y')'=-1
积分:x²/y'=x+C1
即y'=x²/(x+C1)
y'=(x²+c1x-c1x-C1²+C1²)/(x+C1)
y'=x-C1+C1²/(x+C1)
再积分:y=x²/2-C1x+C1²ln|x+C1|+C2
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7.已知cos(π/6-α)=1/3,求cos(11π/6-α)的值.
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cos(11π/6-α)=cos[2π-(π/6+α)]=cos(π/6+α);
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注:若原题不是我所猜测的那样,则请补充说明.
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1、是否是广义积分,要由极限确定.
2、对于上面的四个选择,下图分别给予了具体计算、解说;
3、只有B是反常积分=improper integration.
4、若看不清楚,请点击放大.


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2
设u=x^2,v=xy
所以u'x=2x,u'y=0,v'x=y,v'y=x
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所以z''xy=(z'x)'y=(2xf'u+yf'v)'y=2x[(f''uu)*(u'y)+(f''uv)(v'y)]+f'v+y[(f''uv)(u'y)+(f''vv)(v'y)]
=f'v+2x^2f''uv+xyf''vv

1
微分方程的特征方程为r^2-2r-3=0
所以特征值r1=3,r2= -1
所以齐次方程y''-2y'-3y=0的通解为y1=c1e^(3x)+c2e^(-x)
设通解为y2=Ae^x,带入原方程后解得A=-1/4
所以y2=(-1/4)e^x
所以方程的通解为y=y1+y2=c1e^(3x)+c2e^(-x)-(1/4)e^x
3
用极坐标来求积分.
x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy=rdrdθ
所以原积分=∫∫(rcosθ)^2 rsinθ rdrdθ
=∫(π/2->π) sinθ(cosθ)^2dθ ∫(0->2)r^4dr
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原积分=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f1(x) f2(y)dxdy=∫(-2->2)∫(-3->3) f1(x) f2(y)dxdy
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平面过直线 (x-4)/5=(y+3)/2=z/1, 则 5A+2B+C=0, 点(4, -3, 0)在平面上,
得 A-4B+2C=0, 联立解得 B=-9A/8, C=-11A/4, 所求平面方程是
(x-3)-(9/8)(y-1)-(11/4)(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0.
(2) 令 F= e^(z^2)+xy-2, 则 F'=y, F'=x, F'=2ze^(z^2),
在点P(1,1,0), F'=1, F'=1, F'=0;
令 G= x^2-y^2-z, 则 G'=2x, G'=2y, G'=-1,
在点P(1,1,0), G'=2, G'=2, G'=-1.
切线向量 τ={1,1,0}×{2,2,-1}={-1,1,0}
切线方程为 (x-1)/-1=(y-1)/1=z/0
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∫∫∫(Ω)(x^2+y^2+z^2)dv=∫(0,2π)dθ∫(0,π)sinφdφ∫(0,a)r^4dr
=[∫(0,2π)dθ]×[∫(0,π)sinφdφ]×[∫(0,a)r^4dr]=2π×2×(1/5)a^5=(4π/5)a^5