xsin2x的原函数是什么?

由y=xsin2x，
则y^′=（xsin2x）^′=x^′sin2x+x（sin2x）^′=sin2x+xcos2x•（2x）^′=sin2x+2xcos2x．
故选D．

点评：
本题考点： 导数的乘法与除法法则．

考点点评： 本题考查了导数的乘法与除法法则，考查了简单的复合函数求导运算，此题虽是基础题题型，但求解时极易忽略对复合函数sin2x的内层求导．是易错题．

f′（x）′=1-2cos2x，x∈[0，[π/2]]
∴f′（x）∈[-1，3]，
当f′（x）=3时，f（x）过点（[π/2]，[π/2]）
直线方程为：y-[π/2]=3（x-[π/2]），又过点P（0，m）
代入得m-[π/2]=3（0-[π/2]），解得m=-π
当f′（x）=0时，f（x）过点（[π/6]，
π
6−

3
2）
直线方程为：y-
π
6+

3
2=0，又过点P（0，m）
m=
π
6−

3
2
因此m的范围是[-π，
π
6−

3
2）
故答案为：[−π，
π
6−

3
2)

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角函数的值域，属于中档题．

因为0＜x＜[π/2]，所以0＜sinx＜1，故xsin²x＜xsinx，结合xsin²x与xsinx的取值范围相同，
“x sinx＜1”⇒“x sin²x＜1”，但是“x sin²x＜1”，可能x sinx＞1，所以推不出x sinx＜1．
可知“xsin²x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件
故选B．

点评：
本题考点： 不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题．