双曲线2x²-y²=4的渐近线方程为

双曲线2X的平方－2Y的平方＝1 ,即 a^2=1/2 ,b^2=1/2 ,故c^2=a^2+b^2=1 椭圆过点 (√2,0) , 即 椭圆的a^2=2 ,于是b^2=a^2-c^2= 1 ,故椭圆C的标准方程: X^2/2 +y^2=1

先将双曲线方程转换成y²/6 -x²/3=1
则a=√6,b=√3,c=3.
设P为右边线上的一点,双曲线点P到右焦点距离4与到右准线距离L之比为e
即e=c/a=4/L=3/√6
所以,L=4√6/3
两准线间的距离=2a²/c=4,
∴P到左准线的距离=4√6/3+4
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X^2 - Y^2/2 =1
c²=1+2=3
F(√3,0)
过F且垂直x轴的直线是x=√3
代入则y²=4
y=±2
所以此时AB=2-(-2)=4
所以这里有一条
且AB都在右支时其他的直线则AB都大于4
所以AB都在右支只有1条
直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时,
顶点是(-1,0),(1,0)
顶点距离是2

方法一：套公式
双曲线2x²-y²=18
即 x²/9-y²/18=1
∴ a²=9,b²=18
∴ a=3,b=3√2
焦点在x轴上,
∴ 渐近线为y=±(b/a)x
即渐近线为 y=±√2x
方法二：
双曲线2x²-y²=18的渐近线方程
为2x²-y²=0
即 y=±√2x

（1）令B（x ₁ ，y ₁ ），C（x ₂ ，y ₂ ）．
当BC与x轴垂直时，有x ₁ =x ₂ ，y ₁ =-y ₂ ，
故：3=
y 1 -1
x 1 -1 •
- y 1 -1
x 1 -1 =
1-
y 21
( x 1 -1) 2 =
2(1-
x 21 )
(1- x 1 ) 2 =
2(1+ x 1 )
1- x 1
∴x ₁ =
1
5 ，与|x ₁ |≥

2
2 矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）
当BC与y轴垂直时，有x ₁ =-x ₂ ，y ₁ =y ₂ ，
故：3=
y 1 -1
x 1 -1 •
y 1 -1
- x 1 -1 =
(1- y 1
) 2
1-
x 21 =
2 (1- y 1 ) 2
1-
y 21 =
2(1- y 1 )
1+ y 1
∴y ₁ =-
1
5 ，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=-
1
5 ．（5分）
（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，k _AB •k _AC =
y 1 -1
x 1 -1 •
y 2 -1
x 2 -1 =3，
故3（x ₁ -1）（x ₂ -1）=（y ₁ -1）（y ₂ -1）．…①…（6分）
令BC：y=kx+b，代入双曲线方程有：2x ² -（kx+b） ² =1⇔（2-k ² ）x ² -2kbx-b ² -1=0．…②
x ₁ ，x ₂ 是方程②的两个实根．令f（x）=（2-k ² ）x ² -2kbx-b ² -1，
则（x ₁ -1）（x ₂ -1）=
f(1)
2- k 2 =
2- k 2 -2kb- b 2 -1
2- k 2 ．③…..（8分）
直线方程又可写成：x=
y-b
k ，代入2x ² -y ² =1，有：2（y-b） ² -k ² y ² =k ² ，整理得：（2-k ² ）y ² -4by+2b ² -k ² =0．…④
y ₁ ，y ₂ 是方程④的两个实根．
令g（y）=（2-k ² ）y ² -4by+2b ² -k ² ．
（y ₁ -1）（y ₂ -1）=
g(1)
2- k 2 =
2-2 k 2 -4b+2 b 2
2- k 2 ．…⑤…（10分）
③，⑤两式代入①式，有：
3(1- k 2 -2kb- b 2 )
2- k 2 =
2-2 k 2 -4b+2 b 2
2- k 2 ，
故3[1-（k+b） ² ]=2[（b-1） ² -k ² ]，
从而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥
因为点A（1，1）不在直线y=kx+b上，故k+b≠1．
利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，
即k+5b+1=0，所以 -
1
5 =k•
1
5 +b ．
因此直线BC过定点M (
1
5 ，-
1
5 ) ，直线y=-
1
5 也过定点M．
综上所述，直线BC恒过定点M (
1
5 ，-
1
5 ) ．…（14分）

2x²-y²=2===>x²-y²/2=1===>c=√(1+2)=√3===>右焦点F(√3,0)
若直线l⊥x轴,将x=√3代入x²-y²/2=1===>y=±2,
∴通径=|AB|=4,又通径最短,∴直线AB在右半支上只有一条
若直线l不⊥x轴,又∵两顶点距离=2