（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则[BF/FC]= ___ ．

tangboaiqiqi2022-10-04 11:39:540条回答

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tianjiajiaxuan 共回答了20个问题 | 采纳率85%

解题思路：连接OA，OB，由ABC是圆O的内接等边三角形，AD⊥AB，圆O的半径r=1，知∠AOB=120°，∠D=30°，∠BAD=90°，故AB=BC=CD=

，AD=3，由

×2

＝DE×3，能求出DE．

连接OA，OB，
∵ABC是圆O的内接等边三角形，AD⊥AB，圆O的半径r=1，
∴∠AOB=120°，∠D=30°，∠BAD=90°，
∴AB=
1+1−2×1×1×cos120°=
3，
BC=CD=
3，
AD=
(2
3)2 −(
3)2=3，
∴
3×2
3＝DE×3，
∴DE=2．
故答案为：2．

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．

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解题思路：由圆的切线判定定理，结合已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，我们易得AB为圆的切线，则由切割线定理及AB=4，AD=2，我们易计算出斜边AC的长度，解直角三角形ABC，即可求出∠C的大小．
∵∠B=90°，AB=4，BC为圆的直径
∴AB与圆相切，
由切割线定理得，
AB²=AD•AC
∴AC=8
故∠C=30°
故答案为：30°

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的知识点是切线的判定及切割线定理，其中根据已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，判断出AB为圆的切线是解答本题的关键．

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解题思路：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，将极坐标方程ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，化成直角坐标方程，再消去参数t将直线l的参数方程化成普通方程，最后利用点到直线的距离公式求解即得．
曲线M：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，化为直角坐标系方程，
x²+y²-2x-4y+1=0，有：（x-1）²+（y-2）²=4，
直线

x＝4t+3
y＝3t+1（t为参数）化成直角坐标方程，即直线：3x-4y-5=0，
M到该直线的距离为：d＝
|3×1−4×2−5|
5=2，
则圆心M到直线

x＝4t+3
y＝3t+1（t为参数）的距离为 2．
故答案为：2．

点评：
本题考点：直线的参数方程；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．

考点点评：本题主要考查参数方程，直线与圆位置关系判断．属于基础题．

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解题思路：由圆的切线判定定理，结合已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，我们易得AB为圆的切线，则由切割线定理及AB=4，AD=2，我们易计算出斜边AC的长度，解直角三角形ABC，即可求出∠C的大小．
∵∠B=90°，AB=4，BC为圆的直径
∴AB与圆相切，
由切割线定理得，
AB²=AD•AC
∴AC=8
故∠C=30°
故答案为：30°

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的知识点是切线的判定及切割线定理，其中根据已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，判断出AB为圆的切线是解答本题的关键．

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本题考查圆的切割线定理及应用，由 PA ＝2， PB ＝1及，得，又由于 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ，故，
故半径 R = 。

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解题思路：先确定∠ACB=90°，利用圆的面积求得半径，根据∠ABC=30°，可求AC的长，利用直线CE与圆O相切于点C，可得∠ACD=30°，根据AD⊥CE于点D，可求得AD的长．
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵圆O的面积为4π
∴OA=2
∴AB=4
∵∠ABC=30°
∴AC=2
∵直线CE与圆O相切于点C
∴∠ACD=30°
∵AD⊥CE于点D，30°所对直角边是斜边的一半
∴AD=1
故答案为：1

点评：
本题考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定．

考点点评：本题以圆为载体，考查圆的性质，考查弦切角，考查三角函数，属于基础题．

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连接AC，BD，则∠ACB=∠ADB=90°
∵∠APB=120°，∴∠CPA=∠BPD=60°∵AB是圆O的直径，∴∠CAP=∠DBP=30°∴CP=
PA，PD= PB ∵∠DCB=∠DAB，∠CPD=∠APB
∴△CPD∽△APB，故答案为：

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∵直径AB和弦DE互相垂直
∴AB平分DE
∴BD=BE，∠D=∠BED
∵DEFB四点共圆
∴∠EFC=∠D=α
∴∠DEB=α
故答案为：α

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设⊙O的半径为r，由题意可得AB•AC=（OA-r）（OA+r），∴（8-r）（8+r）=60，解得r=2．
故答案为2．

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解题思路：先利用平行线的性质，再利用角平分线的性质，即可求得结论．
∵DE∥BC，AC=10，AE=4，
∴[AD/DB＝
4
6＝
2
3]
∵CD平分∠ACB，
∴[AD/DB＝
AC
BC＝
2
3]
∵AC=10
∴BC=15
故答案为：15

点评：
本题考点：平行线等分线段定理．

考点点评：本题考查平行线的性质，角平分线的性质，正确运用比例式是解题的关键．

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解题思路：说明梯形AEFD、EBCF相似，EF与AB的关系，根据相似多边形的对应边比例关系，因而可以把求[AE/ED]转化为求[AB/EF]．
因为[EF/AB＝
CD
EF]，EF∥AB，所以梯形AEFD∽梯形EBCF，
∴EF²=AB•CD=2AB²，EF=
2AB，
并且[AE/ED]=[AB/EF]=
AB

2AB=

2
2．
故答案为：

2
2．

点评：
本题考点：平行线等分线段定理．

考点点评：本题考查了相似多边形的对应边的比相等．

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解题思路：由已知中，PC、DA为⊙O的切线，A、C为切点，AB为⊙O的直径，若 DA=2，CD：DP=1：2，我们易根据切线的性质及勾股定理，求出PC长及PA长，进而由切割线定理求出PB后，即可得到AB的长．
∵DA、DC均为过圆外一点D的切线
∴DA=DC=2
又∵CD：DP=1：2，
∴DP=4，故有CP=6
在直角三角形DAP中，PA=
DP2−DA2=2
3
由线割线定理得PC²=PA•PB
解得PB=6
3
则AB=PB-PA=4
3
故答案为：4
3

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的知识点是切线的性质，切割线定理，其中根据切线的性质及勾股定理，求出PC长及PA长，是解答本题的关键．

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解题思路：根据等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5，由勾股定理可知弦心距，对于三角形已知高和对应的边长，求出面积．
∵等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5
∴半径，弦心距和弦长组成一个直角三角形，有勾股定理可知弦心距是
52−32=4，
∴三角形的高是5-4=1，
∴三角形的面积是 [1/2]×1×6=3，
故答案为：3．

点评：
本题考点：圆內接多边形的性质与判定．

考点点评：本题考查三角形的面积公式，是一个基础题，解题的关键是构造直角三角形，在圆中这个直角三角形是经常用来求解线段的长度的．

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解题思路：因为AE是△ABC的外接圆直径，所以∠ABE=90°，根据∠BAE+∠E=90°，∠ADC=90°，可知∠E=∠ACB，所以∠BAE=∠CAD．解直角三角形ABE即可求出AE．
证明：∵AE是△ABC的外接圆直径，∴∠ABE=90°．∴∠BAE+∠E=90°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°．∴∠CAD+∠ACB=90°．∵∠E=∠ACB，∴∠BAE=∠CAD．连接BE，由于∠BEA=∠ACB，且三角形ABE是直角三角形．sin∠BEA...

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：主要考查了圆中的有关性质，根据圆周角定理可得到相等的角，根据等量代换可求得∠E=∠ACB是解题的关键．

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解题思路：由已知中点D做圆的切线切B点，作割线交圆于A，C两点，根据弦切角定理可得∠DBC=∠BAC，进而根据∠BDC=∠ADB可得△DBC∽△DAB，结合相似三角形对应边成比例，结合BD=3，AD=4，AB=2，即可求出BC的值．
∵∠BDC=∠ADB，（公用角），
∵BD是圆切线，
∴∠DBC=∠BAC，（同弧圆周角和弦切角相等），
∴△DBC∽△DAB，
∴BD：AD=BC：AB，
即3：4=BC：2，
∴BC=[3/2]．
故答案为：[3/2]

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考点是与圆有关的比例线段，考查的知识点是弦切角定理，三角形相似的判断与性质，其中根据已知条件，结合弦切角定理判断出△DBC∽△DAB是解答本题的关键．

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解题思路：观察要求的角，包括两部分即∠ADB和∠BDC，根据同弧所对的圆周角和弦切角相等，得到∠ADB的度数，根据要求的角包含的另一部分是直径所对的圆周角，得到结果．
连接BD，AC，根据弦切角定理∠MAB=∠ACB=∠ADB=25°
∵∠D所对的弧是

ABC，
∴∠D=∠ADB+∠BDC
∴所求角度为25°+90°=115°
故答案为：115°

点评：
本题考点：弦切角．

考点点评：本题考查同弧所对的圆周角和弦切角相等，考查直径所对的圆周角等于直角，本题只要观察清楚图象中各个角之间的关系，就可以求出角的大小，这种题目隐含的条件比较多，注意挖掘．

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解题思路：由圆的切线判定定理，结合已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，我们易得AB为圆的切线，则由切割线定理及AB=4，AD=2，我们易计算出斜边AC的长度，解直角三角形ABC，即可求出∠C的大小．
∵∠B=90°，AB=4，BC为圆的直径
∴AB与圆相切，
由切割线定理得，
AB²=AD•AC
∴AC=8
故∠C=30°
故答案为：30°

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的知识点是切线的判定及切割线定理，其中根据已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，判断出AB为圆的切线是解答本题的关键．

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解题思路：连接BD，由AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于D，∠MDA=45°，知∠ABD=45°，∠ADB=90°，由此能求出∠DCB．
连接BD，
∵AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于D，∠MDA=45°，
∴∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴∠DCB=∠ABD+∠ADB=45°+90°=135°．
故答案为：135°．

点评：
本题考点：弦切角；与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查弦切角定理及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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（2011•遂溪县一模）（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5，则△ （2011•遂溪县一模）（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5，则△ABC的面积是______． 剑仁1年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC= （几何证明选讲选做题） 如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC=30°，则AD的长为______． gzhss1年前1: bzitf 共回答了20个问题 | 采纳率95%

解题思路：先确定∠ACB=90°，利用圆的面积求得半径，根据∠ABC=30°，可求AC的长，利用直线CE与圆O相切于点C，可得∠ACD=30°，根据AD⊥CE于点D，可求得AD的长．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵圆O的面积为4π，
∴OA=2，
∴AB=4，
∵∠ABC=30°，
∴AC=2，
∵直线CE与圆O相切于点C，
∴∠ACD=30°，
∵AD⊥CE于点D，30°所对直角边是斜边的一半，
∴AD=1．
故答案为：1．

点评：
本题考点：弦切角；与圆有关的比例线段．

考点点评：本题以圆为载体，考查圆的性质，考查弦切角，考查三角函数，属于基础题．

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（几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到 （几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为______． 159366199941年前1

宛如荷花共回答了16个问题 | 采纳率100%

解题思路：取CD中点M，连接OD、OM、OP、OA，可得OM⊥CD且OP⊥AB．Rt△OPA中运用勾股定理算出OA=4

，根据相交弦定理和题中数据算出弦CD=10，从而在Rt△OMD中用勾股定理算出OM=

，即得圆心O到CD的距离．

取CD中点M，连接OD、OM、OP、OA，
根据圆的性质，OM⊥CD，OM即为O到CD的距离
∵PA=PB=4，即P为AB中点，
∴OP⊥AB，可得OP=4．
Rt△OPA中，OA=
OP2+AP2=4
2
∵PA=PB=4，PD=4PC，
∴由PA•PB=PC•PD，即4²=4PC²，可得PC=2
因此，PD=4PC=8，得CD=10
∴Rt△OMD中，DM=[1/2]CD=5，OD=OA=4
2
可得OM=
OD2-DM2=
7
故答案为：
7

点评：
本题考点：圆內接多边形的性质与判定．

考点点评：本题给出圆的相交弦，在已知交点分弦的比值情况下求弦到圆心的距离，着重考查了相交弦定理、垂径定理等圆的常用性质的知识，属于基础题．

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（几何证明选讲选做题）如图所示，过圆外一点做一条直线与圆交于两点，，与圆相切于点.已知圆 （几何证明选讲选做题）如图所示，过圆外一点做一条直线与圆交于两点，，与圆相切于点.已知圆的半径为， ,则 ______ . 趁着还有ii1年前1: IntoTheShine 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%

解题思路：连接CB，则为等腰三角形，并且 2 ,所以 ,所以 ,所以 .
3

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（2011•揭阳一模）（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，BC＝3， （2011•揭阳一模）（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，BC＝ 3 ，则AC的长为 2 3 2 3 ． 笑看风起时1年前1: 爱你的小林共回答了24个问题 | 采纳率91.7%

解题思路：先判断出△PBC∽△PCA，再利用线段比例关系求解即可．
由弦切角定理∠PCB=∠PAC，又∠CPB=∠APC，∴△PBC∽△PCA
∴
PB
PC＝
BC
AC⇒
BC
AC＝
1
2⇒AC＝2
3
故答案为：2
3

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查圆的切割线性质，与圆有关的三角形相似的判断，比例关系的应用．属于基础题．

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（几何证明选讲选做题）已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，连接EB，DC的延长 （几何证明选讲选做题）已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，连接EB，DC的延长线交BE于F. 则EF BF.（填 =" " < > ） wruilin1年前1: liss_52 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

=

：连接AE交DC于O.∵四边形ACED为平行四边形，

∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.∵四边形ABCD是梯形，
∴DC∥AB.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，∴F是EB的中点，即EF=BF.

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（2012•汕头二模）（几何证明选讲选做题）如图所示的RT△ABC中有边长分别为a，b，c的三个正方形，若a×c=4，则 （2012•汕头二模）（几何证明选讲选做题）如图所示的RT△ABC中有边长分别为a，b，c的三个正方形，若a×c=4，则b=______． mayue88881年前1: kk克星共回答了21个问题 | 采纳率90.5%

解题思路：根据相似三角形的性质，对应边的比相等可得．a，b，c之间的关系，求出b的值．
根据条件可以得到△EFG∽△GHD，
得到：EF：HG=FG：HD
而EF=a-b，FG=b，HG=b-c，HD=c，
则（a-b）：（b-c）=b：c，
则得到：b²=ac．
a，b，c之间的关系是b²=ac=4．
所以b=2．
故答案为：2．

点评：
本题考点：相似三角形的性质．

考点点评：本题是考查相似三角形的性质，对应边的比相等．

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（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD过点P，且[CP/CD＝13]， （几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD过点P，且[CP/CD＝ 1 3]，则CD的长为______cm． cailiaojiegou 1年前已收到2个回答举报 赞 jjp99 幼苗 共回答了20个问题采纳率：100% 举报 解题思路：连接OA，根据垂径定理可知OP⊥AB，AP=[1/2]AB，在Rt△AOP中运用勾股定理即可求出AP的长，再利用相交弦定理，可得结论． 连接OA， ∵点P是弦AB的中点， ∴OP⊥AB，AP=[1/2]AB， ∵OA=5cm，OP=3cm， ∴在Rt△AOP中，AP=4 ∴AP×PB=CP×PD ∵[CP/CD＝ 1 3] ∴16=[1/3CD× 2 3CD ∴CD=6 2] 故答案为：6 2 点评： 本题考点：与圆有关的比例线段． 考点点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，考查相交弦定理，属于基础题． 1年前 8 lsyin727 幼苗 共回答了1个问题举报 8√2 1年前 2 回答问题 可能相似的问题 高中几何选讲部分的题.PC是圆O的切线,切点为C,PAB为割线,PC=4,PB=8,角B=30度,则BC=?PS:答案是 1年前1个回答 一道高中几何证明题如图,圆O的半径OB垂直于直径AC,D为AO上一点,BD的延长线交圆O于点E,过E点的圆的切线交CA的 1年前2个回答 已知点P在圆O内过点P做圆O的弦AB 若圆O的半径为5 OP=3 则弦AB的最大值是最小值是 1年前2个回答 已知点p（5，0）和圆o：x^2+y^2=16.过点p任意做直线l与圆o交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹。 1年前1个回答 （2012•惠州模拟）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点 1年前1个回答 （几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的 1年前1个回答 （2013•韶关一模）（几何证明选讲选做题） 1年前1个回答 （几何证明选讲选做题）PA与圆O切于A点，PCB为圆O的割线，且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=23，PC=1， 1年前1个回答 （几何证明选讲选做题）如图，PC、DA为⊙O的切线，A、C为切点，AB为⊙O的直径，若DA=2，CD：DP=1：2，则A 1年前1个回答 （几何证明选讲选选做题）如图，AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于．D已知BC=1，AB= 3 1年前1个回答 （几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=43， 1年前1个回答 （2012•汕头一模）（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PA 1年前1个回答 （几何证明选讲选做题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA=_ 1年前2个回答 （几何证明选讲选做题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB上一点，以BE为直径作圆O刚好与AC相切于点D，若 1年前1个回答 （2012•怀柔区二模）（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且PA＝3PB，则[PB 1年前1个回答 （2013•东莞一模）（几何证明选讲选做题） 1年前1个回答 （几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为 __ 1年前1个回答 你能帮帮他们吗 在标况下,任何气体物质的体积都大于液体或固体物质的体积.这句话对么?为什么? 1年前 "你们三个人都明白了,幸福要靠劳动,要靠很好的尽自己的义务,做出对人们有益的事情. 1年前 数学问题关于平方随便得出一个数字,例如21065,用什么解题思路能够得出是什么数的平方得到了这个数 1年前 设全集U={a，b，c，d，e}，集合M={a，c，d}，N={b，d，e}，那么(C U M)∩(C U N)是 [& 1年前 A farmer on his way to the market.He had a rop in his hand a 1年前 精彩回答 《我爱这土地》表达了诗人怎样的思想感情？ 1年前 No one knows ______effects the GM material might have on the food chain 1年前 《中国孤儿》是伏尔泰根据元代戏剧《赵氏孤儿》改编，他把故事从春秋战国改编到元统一中国，把晋国的赵家故事改为宋末元初的大臣张惕舍命救皇子。 1年前 在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC的余弦值为（　　） 1年前 It’s difficult for the farmers to provide with themselves 1年前 Copyright © 2022 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 18 q. 0.013 s. - webmaster@yulucn.com cailiaojiegou1年前2: jjp99 共回答了20个问题 | 采纳率100%

解题思路：连接OA，根据垂径定理可知OP⊥AB，AP=[1/2]AB，在Rt△AOP中运用勾股定理即可求出AP的长，再利用相交弦定理，可得结论．
连接OA，
∵点P是弦AB的中点，
∴OP⊥AB，AP=[1/2]AB，
∵OA=5cm，OP=3cm，
∴在Rt△AOP中，AP=4
∴AP×PB=CP×PD
∵[CP/CD＝
1
3]
∴16=[1/3CD×
2
3CD
∴CD=6
2]
故答案为：6
2

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，考查相交弦定理，属于基础题．

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（2013•蓟县二模）（几何证明选讲选做题） （2013•蓟县二模）（几何证明选讲选做题） 如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，OC=1，OP=2，则PB= 3 3 ． tian201年前1: Muy_1indo 共回答了19个问题 | 采纳率100%

解题思路：先求出PA和∠AOP，可得∠AOC，等腰三角形AOC中，求出∠BCO，利用RRt△BOC中，OB=tan∠BCO•OC 求出答案．
由题意得 PA=
PO2-OA2=
4-1=
3，Rt△AOP中，cos∠AOP=[OA/OP]=[1/2]，
∴∠AOP=[π/3]，∴∠AOC=[π/2+
π
3]=[5π/6]，
∴等腰三角形AOC中，∠BCO=[π/12]．
RRt△BOC中，OB=tan∠BCO•OC=tan [π/12]=

1-cos
π
6
1+cos
π
6=

2-
3
2+
3=2-

点评：
本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查直线和圆的位置关系的应用，求出∠BCO 的大小是解题的关键，属于中档题．

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（2011•深圳二模）（选做题）（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC为直径的圆 （2011•深圳二模）（选做题）（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD=2，则∠C的大小为______． lxt9991年前1: 幸福星星共回答了18个问题 | 采纳率77.8%

解题思路：由圆的切线判定定理，结合已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，我们易得AB为圆的切线，则由切割线定理及AB=4，AD=2，我们易计算出斜边AC的长度，解直角三角形ABC，即可求出∠C的大小．
∵∠B=90°，AB=4，BC为圆的直径
∴AB与圆相切，
由切割线定理得，
AB²=AD•AC
∴AC=8
故∠C=30°
故答案为：30°

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的知识点是切线的判定及切割线定理，其中根据已知中直角三角形ABC中，∠B=90°，以BC为直径的圆交AC边于点D，判断出AB为圆的切线是解答本题的关键．

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（2013•东莞一模）（几何证明选讲选做题） （2013•东莞一模）（几何证明选讲选做题） 如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于______． 福莱西宝1年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作 （2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与 O C 的延长线交于点P，则图PA= 　_________　． 狂风暴雨雨暴风狂1年前1: keaidexiaosi6 共回答了28个问题 | 采纳率85.7%

连接OA，
∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC=30°，
∴圆心角∠AOC=60°．
又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，
∴OA⊥PA，
∴Rt△PAO中，OA=1，∠AOC=60°，
∴PA=OAtan60°=
故答案为：

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（几何证明选讲选做题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA=_ （几何证明选讲选做题） 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA=______． hcy8210221年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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（几何证明选讲选做题）已知圆的直径AB=13cm，C为圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD=6cm，则AD=_____ （几何证明选讲选做题）已知圆的直径AB=13cm，C为圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD=6cm，则AD=______cm． 云淡风清20051011年前6: 鸢尾79 共回答了16个问题 | 采纳率100%

解题思路：根据圆的直径AB，C为圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，根据射影定理可求AD的长．
设AD=x，则BD=13-x，
∵圆的直径AB，C为圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，
∴根据射影定理可得6²=x（13-x）
∴x²-13x+36=0
∴x=4或9
故答案为：4或9

点评：
本题考点：与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查圆的知识，考查射影定理的运用，考查计算能力，属于基础题．

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（几何证明选讲选做题）如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2， （几何证明选讲选做题） 如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是______． bingdian71年前1: flychengyue 共回答了18个问题 | 采纳率100%

∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，

∴AP×PB=PC² ，
∵AP=4，PB=2，
∴PC² =8，解得PC=2
2 ．
故答案为：2
2 ．

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（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与 （几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与 O C 的延长线交于点P，则图PA=______． 金猪宝宝贝1年前1: 萨纳克共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

连接OA，
∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC=30°，
∴圆心角∠AOC=60°．
又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，
∴OA⊥PA，
∴Rt△PAO中，OA=1，∠AOC=60°，
∴PA=OAtan60°=
3
故答案为：
3

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（2012•天河区三模）（几何证明选讲选做题） （2012•天河区三模）（几何证明选讲选做题） 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则[BF/FC]= [1/2] [1/2] ． JTL5151年前1: 3000青丝共回答了20个问题 | 采纳率80%

解题思路：取CF中点G，连接DG，利用三角形中位线的性质，即可得到结论．
取CF中点G，连接DG，则

∵D是AC的中点，∴DG∥AF
∵E是BD的中点，∴F是BG的中点
∴BF=[1/2FC
∴
BF
FC]=[1/2]
故答案为：[1/2]

点评：
本题考点：平行线分线段成比例定理．

考点点评：本题考查三角形中位线的性质，考查学生推理论证能力，属于基础题．

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（几何证明选讲选做题）如图，在⊙ 中，为直径，为弦，过点的切线与的延长线交于点，且，则 =__ （几何证明选讲选做题）如图，在⊙ 中，为直径，为弦，过点的切线与的延长线交于点，且，则 =_________ 天水流瓶1年前1: 妖娆女孩共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

由条件不难得为等腰直角三角形，
设圆的半径为1，则，，，。

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（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB （几何证明选讲选做题） 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=______． sirius371年前1: 愁的汤汤滴共回答了17个问题 | 采纳率100%

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴△CED ∽ △ACB．
∴
CD
AB =
ED
BC ，又CD=BC，
∴ BC=
AB?ED =
6×2 =2
3 ．

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（2013•惠州模拟）（几何证明选讲选做题） （2013•惠州模拟）（几何证明选讲选做题） 如图，AD为圆O直径，BC切圆O于点E，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=4，DC=1，则AD等于______． hixzc1年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°， （几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______. lkm6021年前1: beckwen 共回答了18个问题 | 采纳率100%

因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .
在中， .由相交线定理知，
，即，所以

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2014深圳二模数学15题15.(几何证明选讲选做题)如图4,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且 PO= 2014深圳二模数学15题 15.(几何证明选讲选做题)如图4,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且 PO=3,PA●PB=4 ,则腰长OA= .答案是√5.怎么来的 smdf8521年前1: 外域来使共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

过O点作OC⊥AP,垂足为C,则C为AB的中点
设AC=x、OC=y,则BC=x,AB=2x,OA=√(AC²+OC²)=√(x²+y²)
由PA·PB=4得
(PB+2x)·PB=4
即PB²+2x·PB-4=0
解得PB=√(x²+4)-x
∴PC=PB+BC=√(x²+4)
在△COP中,CP⊥OC,则
CP²+OC²=OP²
即(x²+4)+y²=9
∴ x²+y²=5
∴OA=√(x²+y²)=√5

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(几何证明选讲选做题)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于________ (几何证明选讲选做题)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于______________ oklin20051年前1: aa4367 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%

5

考查了射影定理的运用

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（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，连接CD．若∠APB=120°，则[CD/AB]等 （几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，连接CD．若∠APB=120°，则[CD/AB]等于______． 螽斯811年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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15．（几何证明选讲选做题）如图4,过圆外一点P分别做圆的切线和割线交圆于A,B两点,且PB=7, 15．（几何证明选讲选做题）如图4,过圆外一点P分别做圆的切线和割线交圆于A,B两点,且PB=7, 15．（几何证明选讲选做题）如图4,过圆外一点P分别做 圆的切线和割线交圆于A,B两点,且PB=7,C是圆上一点使 得BC=5,角BAC=角APB,则AB=． 51jobhome1年前2: 插上翅膀的驴共回答了18个问题 | 采纳率77.8%

△BPA∽△BAC
所以：AB：PB=BC：AB
即AB²=35
所以：AB=√35

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（几何证明选讲选做题）△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则∠CEF （几何证明选讲选做题）△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则∠CEF=______． 大眼小丫1年前1: ricoolvsjing 共回答了12个问题 | 采纳率66.7%

解题思路：根据DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，得出∠CED=∠CFD=90°，从而有四点C、E、D、F共圆，得到∠CEF=∠CDF，再利用角的转换即可得到答案．
∵DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
则∠CED=90°，∠CFD=90°，
∴四点C、E、D、F共圆，
∴∠CEF=∠CDF，
又∠CDF=90°-∠DCF=∠B，∠B=30°，
∴∠CEF=30°．
故答案为：30°．

点评：
本题考点：相似三角形的性质．

考点点评：本题主要考查相似三角形的性质、四点共圆的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

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（几何证明选讲选做题）如图4，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D， （几何证明选讲选做题）如图4，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=______． 墙角的小花1年前1: opiumer 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

如图所示：

作出直径AE，∵OA=2，C为OA的中点，∴OC=CA=1，CE=3．
∵OB⊥OA，∴ BC=
2 2 + 1 2 =
5 ．
由相交弦定理得BC?CD=EC?CA，
∴ CD=
EC?CA
BC =
3×1

5 =
3
5
5 ．
故答案为
3
5
5 ．

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（几何证明选讲选做题）如图，AB、CD是圆的两条弦， （几何证明选讲选做题）如图，AB、CD是圆的两条弦， 且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD= ，则线段AC的长度为． dzyssssss1年前1: ctctct198242 共回答了14个问题 | 采纳率78.6%

解题思路：解：连接BC，设AB，CD相交于点E，AE=x，∵AB是线段CD的垂直平分线，∴AB是圆的直径，∠ACB=90°，则EB=6-x，CE= ．由射影定理得CE 2 =AE•EB，即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5，∴BC 2 =BE•AB=1×6=6，即BC= 故答案为：

<>

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（2013•惠州二模）（几何证明选讲选做题） （2013•惠州二模）（几何证明选讲选做题） 如图所示，AB是圆O的直径， AD ＝ DE ，AB=10，BD=8，则cos∠BCE= [3/5] [3/5] ． 难道我是hh1年前1: 和你到海边兜风去共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

解题思路：连接AD，DE，由已知中AB是圆O的直径，AD=DE，AB=10，BD=8，根据圆周角定理，勾股定理，及三角形外角和定理，我们可得∠BCE=∠DAB，及AD的长，再由余弦定理即可得到答案．
连接AD，DE，如下图所示：

∵AB是圆O的直径，AB=10，BD=8，
∴AD=DE=6，∠DAE=∠DEA=∠BAE=∠ABD
∴∠BCE=∠BAE+∠ABD=∠DAB
∴cos∠BCE=cos∠DAB=
AD2+AB2−BD2
2•AD•BD=[3/5]
故答案为：[3/5]．

点评：
本题考点：圆周角定理；解三角形的实际应用；与圆有关的比例线段．

考点点评：本题考查的知识点是圆周角定理，余弦定理，其中根据圆周角定理及三角形外角和定理得到∠BCE=∠DAB，将问题转化为解三角形问题是解答本题的关键．

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（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点， （几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点， ，弦过点，且，则的长为． 2584020061年前1: jkdkac 共回答了20个问题 | 采纳率95%

,

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（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则[BF/FC]= ___ ．

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