证图上的三个直角三角形相似!

由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，
它的对角线的长为球的直径：
42+22+32＝
29，球的半径为：

29
2．
该三棱锥的外接球的表面积为：4×π×(

29
2)2＝29π，
故选A．

点评：
本题考点： 球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评： 本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

点评：
本题考点： 作图—应用与设计作图．

考点点评： 此题主要考查了应用与设计作图和锐角三角函数关系，根据题意得出三角形的形状是解题关键．

（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，则由几何知识得：r=30°
据n＝
sini
sinr
得：sini=nsinr=1.5sin30°=0.75
则得：i=arcsin0.75
（2）根据n＝
c
v
得：v＝
c
n＝
3×108
1.5m/s＝2×108m/s
根据v=λf，得：λ＝
v
f=
2×108
5.3×1014=3.77×10^-7m
（3）光路如图所示．由几何知识得ab光线在AB面的入射角为45°．
设玻璃的临界角为C，则有：sinC＝
1
n＝
1
1.5＝0.67
∵sin 45°＞0.67，∴C＜45°．
因此光线ab在AB面会发生全反射．
光线在CD面的入射角r'=r=30°，根据n＝
sini
sinr，得光线CD面的出射光线与法线的夹角i'=i=arcsin0.75．
答：（1）这束入射光线的入射角arcsin0.75．
（2）光在棱镜中的波长是3.77×10^-7m．
（3）该束光线第一次从CD面出射时的折射角是arcsin0.75．

点评：
本题考点： 光的折射定律；电磁波谱．

考点点评： 本题中当光线从玻璃射向空气时，要根据入射角与临界角的关系，判断能否发生全反射，而入射角可以根据几何知识求出．

①设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r．
由几何关系得：r=30°，
根据 n=
sini
sinr，有sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75
②光路如图所示，ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则
sinC=[1/n=
1
1.5]=0.67
因为 sin45°＞0.67，则 45°＞C，因此光线ab在AB面会发生全反射．
光线在CD面的入射角r′=r=30°
则从光线CD面的出射光线与法线的夹角i′满足：sin i′=nsinr′=0.75
答：
①该束入射光线的入射角的正弦值为0.75；
②该束光线第一次从玻璃棱镜中出射时折射角的正弦值为0.75．

点评：
本题考点： 光的折射定律．

考点点评： 当光线从玻璃射向空气时，要根据入射角与临界角的关系，判断能否发生全反射，这是解几何光学问题必须考虑的．几何光学问题，还要结合几何知识求解．

设三条侧棱的长度分别为a，b，c，
∵三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，
∴底面的三条边的平方分别为a²+b²，a²+c²，b²+c²，
∴a²+b²+a²+c²-（b²+c²）=2a²＞0，a²+b²+b²+c²-a²-c²=2b²＞0，b²+c²+a²+c²-b²-a²=2c²＞0，
根据余弦定理可知，底面的三个内角都是锐角，所以底面一定是锐角三角形；
故选C．

点评：
本题考点： 棱锥的结构特征．

考点点评： 本题考查了三棱锥的性质以及利用余弦定理判定三角形的形状．

（2.4+1.6）×（2.4+1.6）÷2
=4×4÷2
=8（平方厘米）
答：它的面积是8平方厘米．
故选：D．

点评：
本题考点： 组合图形的面积．

考点点评： 本题的重点是根据图形的特点确定这个直角梯形的上底和下底的长度，再根据梯形的面积公式计算．

因为S梯形＝
1
2(a+b)2＝
1
2(a2+2ab+b2)，
又因为S_梯形=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=[1/2]ab+[1/2]c²+[1/2]ab=[1/2(2ab+c2)，
所以
1
2(a2+2ab+b2)=
1
2(2ab+c2)，
1
2a2+ab+
1
2b2＝ab+
1
2c2
得c²=a²+b²．
故答案为：a²+2ab+b²，
1
2]ab，[1/2]c²，[1/2]ab，2ab+c²．

点评：
本题考点： 勾股定理的证明．

考点点评： 本题考查了勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．

由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，
它的对角线的长为球的直径，即
22+32+42=2R，R=

29
2．
该三棱锥的外接球的表面积为：该三棱锥的外接球的表面积为：4×π×（

29
2）²=29π．
故答案为：29π

点评：
本题考点： 由三视图求面积、体积．

考点点评： 本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

（1）由三视图可知该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为2，4，且过底面的直角顶点的侧棱和底面垂直，该棱长为3，即棱锥的高为3，棱锥的体积为V=13×12×2×4×3＝4…（6分）（2）把三棱锥...

点评：
本题考点： 球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．

考点点评： 本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，是基础题．

三视图复原几何体是长方体的一个角，它的外接球的直径就是几何体扩展为长方体的体对角线的长，长方体的三度为：a，b，c；所以ab+bc+ac=144，长方体的对角线为
a2+b2+c2≥
2ab+2bc+2ac=12，当且仅当a=b=c时取等号，
所以几何体的外接球的表面积的最小值为：4π6²=144π．
故选B

点评：
本题考点： 由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．

考点点评： 本题是基础题，考查三视图复原几何体的图形的判断，几何体的外接球的表面积的求法，基本不等式的应用，注意基本不等式等号成立的前提．

如图所示：

点评：
本题考点： 剪纸问题．

考点点评： 本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

（1）如图①，AC=
32+42=5，
Rt△ABC即为所求作的三角形；

（2）如图②，AC=
12+32=
10，
Rt△ABC即为所求作的三角形；

（3）如图③，AC=BC=
12+22=
5，
Rt△ABC即为所求作的三角形．

点评：
本题考点： 勾股定理．

考点点评： 本题考查了勾股定理的应用，是基础题，熟练掌握网格结构，并对熟悉勾股数是解题的关键．

AB=x+3，AD=2x+6，则AD=2AB，
∵图中三角形均相似，
∴BG=2FG，
△BFG的面积为64，则[1/2]×2FG×FG=64，
FG=8，BG=16，
根据相似三角形的对应边比例相等的性质，
DE=[1/2]FG=4，
故CD=DE+FG=12，
BC=BG+GC=16+8=24，
故长方形ABCD的周长为2×（12+24）=72．
故答案为：72．

点评：
本题考点： 勾股定理．

考点点评： 本题考查了直角三角形中勾股定理的运算，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，根据BG，FG比例计算FG是解本题的关键．

由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；两两垂直的三条棱长分别为：2，4，3，
所以棱锥的体积为：
1
3×
1
2×2×4×3=4．
故答案为：4．

点评：
本题考点： 由三视图求面积、体积．

考点点评： 本题考查三视图，空间想象能力，计算能力，是基础题．

由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，
它的对角线的长为球的直径：
42+22+32＝
29，球的半径为：

29
2．
该三棱锥的外接球的表面积为：4×π×(

29
2)2＝29π，
故选A．

点评：
本题考点： 球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评： 本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有的事件对应着球的体积，
球的直径
16+16+4＝6，
∴球的体积是[4/3π×33=36π
满足条件的事件是在三棱锥的体积，
三棱锥的三条侧棱互相垂直，体积是
1
3×4×
1
2×4 ×2＝
16
3]，
∴在三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为

16
3
36π＝
4
27π
故选A．

点评：
本题考点： 等可能事件的概率；由三视图求面积、体积；球内接多面体．

考点点评： 本题考查等可能事件的概率，考查学生的空间想象能力，解题的关键是由三视图求体积，注意两两垂直的三条侧棱可以组成长方体的一个顶点处的三条棱．