设y1,y2是线性方程y'+p(x)y=q(x)的两个不同的特解

设系数矩阵为Am*n
则 m 是方程的个数,n是未知量的个数
则 r(A)

线性回归方程
http://baike.baidu.com/view/1129836.htm?fr=ala0_1

设 kη+k1(η+ξ1)+k2(η+ξ2)+...+kr(η+ξr) = 0
则 (k+k1+k2+...+kr)η + k1ξ1+k2ξ2+...+krξr = 0
等式两边左乘A,由ξ1,ξ2,...,ξt是线性方程Ax=0的解,得
(k+k1+k2+...+kr)Aη=0
因为 η不是Ax=0的解向量,所以 Aη!=0,
故 k+k1+k2+...+kr = 0.
所以 k1ξ1+k2ξ2+...+krξr = 0.
再由 ξ1,ξ2,...,ξt 线性无关 (是基础解系)
故 k1=k2=...=kr=0.
所以由k+k1+k2+...+kr = 0 得 k = 0.
所以 η,η+ξ1,η+ξ2.η+ξr线性无关.

y是函数（因变量）m为斜率,x是自变量,b为该直线在y轴的斜率,该线性方程表示以m为斜率,b为截距的直线.

首先将系数矩阵化成行阶梯型矩阵,非零行的行数就是矩阵的秩R(A),自由变量有n-R(A)个
找到每一非零行的首个非零元（主元）所在列即主列pivot column,则该列对应变量为非自由变量,其他变量为自由变量
你的例子
1 1 0
0 0 0
0 0 0
R(A)=1,所以自由变量有3-R(A)=2个,第一列为主列,所以剩下变量x2和x3为自由变量,取(x2,x3)=(1,0)或(0,1)即可,所以(-1,1,0),(0,0,1)为基础解系,所有解为x=k1(-1,1,0)+k2(0,0,1).
实际上,所有主列构成了一个上三角矩阵,由于对角元全不为零,故主列是极大线性无关组.由于极大线性无关组一般不唯一,所以主列一般也不唯一.让自由变量取一组自然基,则得到的解向量是线性无关的,即是基础解系.

注意区分函数导数的阶数与函数的次数
y'' 是y的二阶导数,但是这个二阶导数本身是一次的,(y'')^2 对于二阶导数y''来说是二次的!
图中方程 (1),(2),(3)中的 y,y',y'' 都是一次的,所以它们都是线性微分方程
方程(4) 中的(y')^2 对y'来说是二次的,所以不是线性微分方程
方程(5) 中的y^2 对y来说 是二次的,所以不是线性微分方程
方程(6) 中的未知函数是p（那个希腊字母打不出来,就用p代替了）,而方程中有sin p,不是一次的,所以也不是线性微分方程.

y = 0.7857x - 3.0714

对于非齐次线性方程组,下列条件等价；
(1).AX=b 有解；
(2).b可由A的列向量组线性表示；
(3).增广矩阵[A b]的秩等于系数矩阵A的秩.
证明：设A是一个m*n矩阵,将A按列分块为A=[a1,a2,...,an],则：
AX=b有解向量方程组x1a1+x2a2+...+xnan=b有解
向量b可由向量组a1,a2,...,an线性表示
向量组a1,a2,...,an,b与向量组a1,a2,...,an等价
秩[a1,a2,...,an,b]=秩[a1,a2,...,an]
增广矩阵[A b]的秩等于系数矩阵A的秩

(2)*3-(1)得,X1+7X2-4X3=5
竟然与第三个式子那么像!废话,不像就没法做了= =（话外音）
于是λ=5时有解,但是解不唯一.
之后自己算吧

楼主的问题是,要求非齐次线性方程AX=D的通解吧?
选择A,首先要理解非齐次线性解的构成,是齐次方程的通解加非齐次的特解,采用排除法,B、D中将X用1/2(b1-b2)代替结果为零了,排除,C中不能保证a1与b1-b2线性无关,则a1、b1-b2不能作为基础解系,而A中可改写为(K1-K2)*a1+K2*a2,因为a1与a2是基础解系,所以先线性无关,故选A.

λ取何值时非齐次线性方程组有唯一解,无解,有无穷解
λX1+X2+X3=1
X1+λX2+X3=λ
X1+X2+λX3=λ^2
方法一
增广矩阵为
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
r1-λr2,r2-r3
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1+(λ+1)r2
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1r3
1 1 λ λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
所以,
当λ≠1 且λ≠-2 时, r(A)=r(增广矩阵)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-2 时, r(A)=2, r(增广矩阵)=3, 方程组无解.
当λ=1 时, r(A)=1=r(增广矩阵)
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
通解为: (1,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'
当λ=-2时, 增广矩阵为
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
1 1 -2 4
r3+r1+r2
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
0 0 0 3
此时方程组无解.
[注: 此方法只在方程组的方程个数与未知量个数相同时才能用]

两两合并,可以得出,X2+X3=1 2X1+X3=1 2X1=X2

可以的
只是要注意的是 减完后得到的向量一般要 "线性无关"
否则就不好用在后面的推导中

设生产甲X乙Y丙Z
3x+0.5y+z ≤5000
x+0.5y+3z ≤2000
3x+4y+5z=M
求M最大值

这没什么关系.
只取两个点,就直接两点连一线而得到a',b'了.
另外四个点可以任意影响到最终的拟合直线.

解一阶线性方程：(1+x)(dy/dx)-xy=xe^(-x)；已知当x=0时y=1.
先求齐次方程(1+x)(dy/dx)-xy=0的通
(1+x)(dy/dx)=xy；
分离变量得(dy)/y=[x/(1+x)]dx=[1-1/(1+x)]dx
积分之得lny=x-ln(1+x)+lnC₁=x+ln[C₁/(1+x)]
故y=e^{x+ln[C₁/(1+x)]}=(e^x)e^ln[C₁/(1+x)]=C₁(e^x)/(1+x)
将C₁换成x的函数u,得y=u(e^x)/(1+x).(1)
将(1)对x取导数,得：
y'=u'(e^x)/(1+x)+u[(1+x)(e^x)-(e^x)]/(1+x)²
=u'(e^x)/(1+x)+ux(e^x)/(1+x)².(2)
将(1)和(2)代入原式得：
(1+x)[u'(e^x)/(1+x)+ux(e^x)/(1+x)²]-x[u(e^x)/(1+x)]=x/e^x
u'(e^x)+ux(e^x)/(1+x)-xu(e^x)/(1+x)=x/e^x
故得u'(e^x)=x/e^x
分离变量得du=[x/e^(2x)]dx
积分之得u=∫[x/e^(2x)]dx=(-1/2)∫xd[e^(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)e^(-2x)]+C
=-(1/2)[x+(1/2)]e^(-2x)+C=-(2x+1)/[4e^(2x)]+C.(3)
将(3)代入(1)式即得通解:
y={-[(2x+1)/[4e^(2x)]+C}[(e^x)/(1+x)
={-[(2x+1)/(4e^x)]+Ce^x}/(1+x)
=-(2x+1)/[4(1+x)e^x]+(Ce^x)/(1+x)
将初始条件x=0,y=1代入得1=-(1/4)+C,故C=1+1/4=5/4
于是得特解为y=-(2x+1)/[4(1+x)e^x]+(5e^x)/[4(1+x)]

自由未知量有4个,所以 线性方程X1+X2+X3+X4+X5=0的解空间的维数是 4.

齐次方程用处就是你可以换元t=y/x,之后可以计算dt/dx,右边将不是一个二元的,只含t(可能要除x的若干次方到左边来）.写成F(x/y)也行,不过由于微分方程,习惯以x为自变量.
不一定.

p'=p+x
设p+x=u
dp=du-dx
dp/dx=du/dx-1
du/dx=u+1
du/(u+1)=dx
ln(u+1)=x+c0
p=C1e^x-x-1 C1=e^C0
dy/dx=C1e^x-x-1
y=C1e^x-x^2/2-x+C2
y''=y'''
y''=p
dp/dx=p
x+C0=lnp
p=C1e^x
y''=C1e^x
y'=q
dq/dx=C1e^x
q=C1e^x+C2
dy/dx=C1e^x+C2
y=C1e^x+C2x

对于线性方程组,可以建立矩阵来求解.
把ABCDEF可以分别看成x（1:6）；具体的指令如下：
clear
a=[0 0 0 1 1 0;1 0 1 0 1 0;0 1 0 sqrt(3) 0 -sqrt(3);0 0 sqrt(3) 1 -sqrt(3) 0;-1 0 2 sqrt(3) 2 -sqrt(3);0 1 sqrt(3) 2 -sqrt(3) 2];%这是未知数前面的系数
b=[1;0;0;0;0;0];%这是方程式右边的数
x=ab;%矩阵的左除来求线性方程的解
x%输出x
x =
0.4392
-1.3177
-0.4928
0.9464
0.0536
0.1856

线性方程也称为一次方程,指未知数都是一次的方程.其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0
非线性方程,就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系的方程.
齐次非线性方程主要是未知数的次数相同的非线性方程.
y^3*dx/dy+2y^2x=1是微分方程.

写出增广矩阵
化简 系数矩阵和增广矩阵秩一样才 有解
第二个方程 如果系数能消为零 就有 无穷个解了,否则一个解
基础解系的话 找一个当自变量 就得到通解了
至于运算.

微分方程的求解一般都不能顺着做下去.所谓的逆解法,或者半逆解法是反向带入来总结规律的,也就是说,先有解的形式,再带入,看看满足什么微分方程,那么那种微分方程的特解就求出来了.所以寻找那些刚好满足某种类型微分的特解,可能只是通过经验总结出来的.也就是说y0=x(Ax+b)^2ix是特解,但是它不是唯一的特解形势,但是对于我们来说,只需要找出任一个特解就行了,至于它是怎么找出来,并没有统一的规律可循,你可以认为是人们试验出来的.

不知道你有没有学过逆序数
还有行列式可以帮我解决多元方程组求解问题
还为矩阵奠定基础等等

你应该给出一个具体的题,才便于计算讲解.如此云里雾里谁都不知道怎么回答!
我想,你大概已经得出了作为分母的行列式值——D,但不知道怎么得出各个分子行列式的值 D1、D2、D3 .
下面通过一个实例讲解一下吧：
设 方程组为：（纯瞎编的!）
x+2y+3z=4
3x+4y+5z=6
2x+y =7
那么 D=|1 2 3| ；D1=|4 2 3| ；D2=|1 4 3| ； D3=|1 2 4|
3 4 5 6 4 5 3 6 5 3 4 6
2 1 0 7 1 0 2 7 0 2 1 7
则方程组的解为：x=D1/D 、y=D2/D 、 z=D3/D
简单的说就是：用常数项矩阵替换D中相应的未知数系数矩阵.
如D1用于求 x ,则D1的《相应未知数》就是 x ,《相应未知数系数矩阵》就是 （1、3、2）【竖着排】,而常数项矩阵是（4、6、7）【竖着排】,于是计算D1时就用(4、6、7）替换D中的（1、3、2）.同理,计算D2时用(4、6、7）替换D中（2、4、1）；计算D3时用（4、6、7）替换D中（3、5、0）.

线性方程指的是未知数次数为一次,
例如x+2y+3z=0是线性
x平方+x+2y+3z=0就是非线性
齐次指的是除了未知数项,其余为零
例如x+2y+3z=0是齐次
x+2y+3z=3就是非齐次

这貌似是大学线性代数的题目
当a=3,b≠1时无解
当a-3=b-1≠0时有唯一解
当a=3,b=1时有无穷多个解
一般解写起来太麻烦了,不好意思了

这是一个朋友传给我的,不知道对你有用不?% This demonstration uses the FFT function to analyze the variations of
% the EI.centro seismic wave
load EL.dat
time=EL(:,1);
acceler=EL(:,2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
plot(time,acceler,'k')
xlabel('t/s')
ylabel('acceleration')
t=time(1:400);
a=acceler(1:400);
subplot(1,2,2)
plot(t,a,'b.-');
figure(2)
f=0:0.125:25-0.125;
Y=fft(a);
Y=Y(1:200);
plot(f,Y,'r')

不是.
线性方程是指未知数最高次最多为一次的方程.
这个例子中出现了 siny ,连多项式都不是,更别谈线性不线性.

首先纠正一下,这不叫线性方程,这叫线性方程组.
你提的这种问题通常而言,作为好的数学教材,一定会提前把条件跟你讲清楚,如果教材或题目出的实在是太差的话,那么一般你就按列向量理解.
总的原则是,至少要保证合理性,就是说A和X要可乘,前者的列数要和后者行数相等.

首先将系数矩阵化成行阶梯型矩阵,非零行的行数就是矩阵的秩R(A),自由变量有n-R(A)个
找到每一非零行的首个非零元（主元）所在列即主列pivot column,则该列对应变量为非自由变量,其他变量为自由变量
你的例子
1 1 0
0 0 0
0 0 0
R(A)=1,所以自由变量有3-R(A)=2个,第一列为主列,所以剩下变量x2和x3为自由变量,取(x2,x3)=(1,0)或(0,1)即可,所以(-1,1,0),(0,0,1)为基础解系,所有解为x=k1(-1,1,0)+k2(0,0,1).
实际上,所有主列构成了一个上三角矩阵,由于对角元全不为零,故主列是极大线性无关组.由于极大线性无关组一般不唯一,所以主列一般也不唯一.让自由变量取一组自然基,则得到的解向量是线性无关的,即是基础解系.

有平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等就非线性,否则就线性

线性方程:代数方程,如y =2 x +7,其中任一个变量都为一次幂.这种方程的函数图象为一条直线,所以称为线性方程.
一个线性方程在实际应用中可以写作：
y = f(x)
其中f具有如下特性：
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(ax) = af(x)
这里a不是向量.
a为变量.
线性方程：在代数方程中,公含未知数的一次幂的方程称为线性方程.这种方程的函数图象为一条直线,所以称为线性方程.
微分方程:如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次冥,则称它为线性微分方程.
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程,也可以简单地叫做微分方程.
一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族.
如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解.对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组.
常微分方程的特点
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点.
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.
后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来.
一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的.
大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.
现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善.
二阶常系数齐次线性微分方程解法
见大学课本《微积分》.
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法.
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1,r2.
1 若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)

用哪种方法都可以,而且解出来的结果应该是一样或完全等价的,否则你的过程可能有误.
比如y"+4y'=0,特征根为0,-4,故通解为y=C1+C2e^(-4t)
用代换法：p=y',则y"=pdp/dy,代入得：pdp/dy+4p=0,得：dp/dy+4=0,得：p=-4y+C1
即dy/(-4y+C1)=dx
积分：1/(-4)*ln|-4y+C1|=x+C2
得：|-4y+C1|=-4x+C3
-4y+C1=C4e^(-4x),
即y=C5e^(-4x)+C6
两者是等价的.

（1）x=(16+14+12+8 )/4 ＝12.5
y=(11+9+8+5 ) /4＝8.25
b=(16×11+14×9+12×8+8×5−4×12.5×8.25 )/(256+196+144+64− 4×12.52)=0.7286,
a=8.25-0.7286×12.5=-0.8571
∴y=0.7286x-0.8571
（2）由y≤10,
得到7286x-0.8571≤10,
解得x≤14.9013
∴机器的运转速度应控制14.9013转/秒内
明白了么

三式相加3x+2(x+y+z)=a(x+y+z)
3x+2ax=a^2x
约去x
a^2-2a-3=0 a=3或-1
代入原方程组检验成立

是.y和y的各阶导数都不超过一次幂,这样就可以成为线性微分方程.

线性方程(linear equation)：代数方程,如3x+2y =5,其中任一个变量都为一次幂.这种方程的函数图象为一条直线,所以称为线性方程. y = f(x) (f()是一种映射关系,方程不一定能写成显函数形形式） 其中f具有如下特性： f(x + y) = f(x) + f(y) f(ax) = af(x) a为任意常数. 注：|x|+|x+2|=x+5 之类的方程不为线性方程（也就是带绝对值的方程不为线性方程）
只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式,叫一元一次方程.通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0）.一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0（其中x是未知数,a、b是已知数,并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式.这里a是未知数的系数,b是常数,x的次数必须是1.一元一次方程英文是(linear equation in one）

非齐次线性方程组的通解等于它的特解加上对应的齐次线性方程组的通解,所以,特解就是（1,1,1）,齐次线性方程组的通解是（1,-2,0）,（3,2,1）
可以看看其定义,明白不?

概数就是大概的数目.或者用几、一些、以下、余、成千、上万、三四、多、来、左右、上下等来表示,如几年、一些米、三十以下、十余米、三十多米、十来天、一百步左右、四十岁上下；
或者拿数词连用来表示,如三五个、一两天、七八十人.
线性方程也称一次方程.指未知数都是一次的方程.其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0
5X=8
X=8÷5
X= 8/5

v0=500 (mm/s) vt=0 t=3
vt=v0+at => a=(vt-vo)/t=-500/3
s=v0t+at^2/2=500*3+(-500/3)*3^2/2=1500-750=750 (mm)
所以 3000ms X共前进了750mm

设商品的线性需求函数Qd=a-bP,（其中Qd为需求量,P为商品价格）
由题意知：
200=a-2b,
100=a-4b
解方程组得
a=300
b=50
需求函数是Qd=300-50P

由spss计算得到：
1,模型汇总
模型 R R 方 调整 R 方 标准 估计的误差
1 .974 .949 .933 4.993
a 预测变量: (常量), 职工人数.
说明因变量的变化有97.4%可由自变量解释.

2,方差分析表
Anovaa
模型 平方和 df 均方 F Sig.
1 回归 1405.215 1 1405.215 56.370 .005b
残差 74.785 3 24.928
总计 1480.000 4
a 因变量: 产量
b 预测变量: (常量), 职工人数.
说明线性回归模型是显著的（方程通过了F检验）.

3,
系数a
模型 非标准化系数 标准系数 t Sig.
B 标准 误差 试用版
1 (常量) 13.549 8.227 1.647 .198
职工人数 2.079 .277 .974 7.508 .005
a 因变量: 产量
说明自变量系数通过了T检验.
回归方程为： 产量=13.549+2.079*职工人数.

“线性”是指每一项都是一次方,而不是说只能取一阶导数.