微分中值定理:我不明白什么是用局部性质研究整体性质呢?

云之深处2022-10-04 11:39:547条回答

微分中值定理:我不明白什么是用局部性质研究整体性质呢?
就是知道存在一个点的斜率与连接两端点的斜率相等,这个怎么从局部研究整体了?

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eeee4444_0 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
我写的可能有点长,但都是一个字一个字敲进去的,不是乱贴过来的,希望楼主静下心来仔细看一看:-)
我觉得要理解清楚这个问题,楼主应该先理解什么是局部性质,什么是整体性质.
给定函数f和点x,f在x处的的导数值f'(x)所刻画的就是典型的局部性质.为什么说导数是局部性质呢?因为对无论多小的正数c,只要给定f(x)在(x-c,x+c)上的值,f'(x)的值就是唯一确定的.换句话说,不必考虑f在定义域其他部分的取值,只要f在x的一个任意小邻域内的值确定了,f'(x)就确定了.这种仅和函数在某点的一个任意小邻域内取值有关的性质习惯上就称为局部性质,“某点的一个任意小邻域内”听起来有些拗口,所以一般简称为“在某点附近”.
再举个例子,极值也是典型的局部性质.因为按定义,说f在x点取极大值,只要说明存在一个c,f在(x-c,x+c)上的取值都≤f(x)就可以了.这与上面的例子如出一辙,都是由f在x附近的取值就能完全确定的性质.
下面看个反例,函数的最值就是典型的整体性质,而非局部性质.因为对一个函数,说它的最值如何,是要给定一个区间才有意义的.单纯谈“点x处的最大值”是没有什么意义的,一定要指明f在区间(a,b)上的最大值才有意义.而判断“f在(a,b)上的最大值在c∈(a,b)处取得”这句话成立与否,仅由f在c点附近的取值未必能判断(f在c处取得极大值也未必就是最大值),一般说来要知道f在(a,b)整体上的取值才能判断.所以说最值是整体性质.
进一步,对一个函数f,如果说(a,b)上存在一点c,使得f(c)满足blabla…,这也算f在(a,b)上的一个性质,是哪种性质呢?应该算整体性质!因为要想万无一失地判断f是否有这个性质,需要知道f在(a,b)整体上的取值(证实的时候只要找一个c就行,关键是想否定的时候必须知道f在(a,b)上的整体取值才好判断).因此,这也应该算是f的一种存在性的整体性质.
下面看微分中值定理.给定两点A(a,f(a)),B(b,f(b))以后,它们的斜率k就确定了.“f在(a,b)内存在一点导数值为k”应该算是f的一个整体性质,然而这个整体性质是用导数刻画的,而导数本身一个局部性的概念.给定A,B并不能约束f在任何一点的导数值,因为导数只是局部概念.但是中值定理指出:必然存在一点导数值=k,也就是说给定A,B虽然无力约束f在每点局部的性质,但可以保证必然有某一点的局部性质是已知的!这其实是挺奇妙的一件事.
这么说可能有点抽象,不妨举一个典型例子:f在(a,b)导数恒为0,证明f在(a,b)恒为0.证明是简单的,用罗尔定理(可看作微分中值定理的特例)即可.但仔细分析下这个命题的结构:已知是f在每一点的局部性质,结论却是f的整体性质,沟通二者的桥梁就是中值定理!这个问题的玄妙在于:f在某点的导数是0,并不能推出f在这点的邻域内恒=0.但f在(a,b)内点点导数是0,却能推出f在点点的邻域内恒=0.因此这个问题本身不能仅用导数的局部含义证明,必须用某种沟通局部性质与整体性质的结论,微分中值定理正是这方面的有力工具.楼主如有兴趣,不妨试试不用中值定理(罗尔定理)证这件事,证明困难得多!而且免不了要用实数连续性的若干等价命题,比如确界定理等等.
最后再说一句,其实局部性质与整体性质这类的说法并无严格定义,所以不必抠字眼去判断到底是局部性质还是整体性质,关键是要理解这种分类其中蕴含的思想,用于解决实际问题.
1年前
bao17 共回答了19个问题 | 采纳率78.9%
1.是正负体积抵消的
2. 函数是解析, 封闭路径积分=0. 柯西定理 (Cauchy Theorem)
1年前
samlee 共回答了11个问题 | 采纳率
简单的举个例子吧:
我们从f(x)导数大于零推导f(x)的单调性。
f'(x)>0,由单调性的定义,x1>x2,存在x3,使得f(x1)-f(x2)= f'(x3)>0,从而f(x)是单调增的,
f'(x)是局部的性质,而单调性则是整体的性质,从这个例子便可以看出中值定理的应用。
1年前
shinylong 共回答了388个问题 | 采纳率
微分中值定理不完整, 也可用积分中值定理
微分中值定理发展为泰勒公式{是完整的) :若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(...
1年前
西风吹雪飞 共回答了21个问题 | 采纳率
(1)导数只是反映函数在一点附近的局部性质,但是要用导数来了解函数在区间上的整体性态,还需要借助中值定理,它是从局部性质推断整体性态的有力工具。
(2)至于疑惑“这明明是用整体性质来研究局部问题嘛,知道两点间的函数值是整体,其中必存在一个导数这个是局部性质呀~”与“但是微分中值定理是在你知道了函数的前提下才研究的导数呀。是知道了两端点才知道了存在某个导数呀?这个是函数决定导数的关系,而不是...
1年前
hao_hao33 共回答了10个问题 | 采纳率
导数是局部的,而函数是整体的。而导数和函数是不同的两个函数,如果要研究他们两者的关系的话,可以用微分中值定理联系起来。
我们可以通过函数用它来研究导数,即整体研究局部,但是同时我们也可以通过导数用它来研究函数,即局部研究整体。但是微分中值定理是在你知道了函数的前提下才研究的导数呀。是知道了两端点才知道了存在某个导数呀?这个是函数决定导数的关系,而不是导数决定了函数的关系啊恩,是的,大部分有...
1年前
情瘤杆菌 共回答了19个问题 | 采纳率
为了运用导数的概念和运算来研究函数与实际问题,需要一个联系局部与整体的工具,这就是微分中值定理,一个点的导数反映局部问题,而两点间的弦的斜率反映整体问题这明明是用整体性质来研究局部问题嘛,知道两点间的函数值是整体,其中必存在一个导数这个是局部性质呀~用局部性质研究整体性质可能是指拉格朗日中值定理的一个推广——泰勒中值定理,即可以将一个函数表示成在某一点的函数值和它的各阶导数的一个展开式。因此说用局...
1年前

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也许是你用的书写得太简略,或者是你自己跳过了诸如凹凸性,单调性,极值等问题的严格推导.
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应用
  (一)对于不等式与等式证明中的应用
中值定理在一些等式的证明中,我们往往容易思维定式,只是对于原来的式子要从哪去证明,很不容易去联系其它,只从式子本身所表达的意思去证明.已知有这样一个推论,若函数
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  无穷小(大)量阶的比较时,看到两个无穷小(大)量之比的极限可能存在,也可能不存在.如果存在,其极限值也不尽相同.称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为 型或 型不定式极限.解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则.这是法则的内容,而在计算时往往都是直接的应用结论,没有注意到定理本身的证明,而这个定理的证明也应用到了中值定理.
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  在一元函数微分学中,微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具,它在数学分析中占有重要的地位,其中拉格朗日中值定理是核心,罗尔定理是其特殊情况,柯西定理是起推广.拉格朗日微分中值定理有许多推广,这些推广有一些基本的特点,这就是把定理条件中可微性概念拓宽,然后推广微分中值表达公式.微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地,在以后的学习中还会有其他的应用,再做更为全面的总结
关于微分中值定理的一道题.函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,且在(a,b)上可导.求证:对于任意正整数n,存在实数ξ
关于微分中值定理的一道题.
函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,且在(a,b)上可导.
求证:对于任意正整数n,存在实数ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f'(ξ)(b-ξ)/n成立.
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题目有问题
比如 f(x) = x ,a =1,b = 2 ,则 n>=2时,就找不到满足题意的实数ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f'(ξ)(b-ξ)/n成立.
少了条件 f(a)=0
加上 f(a)=0 ,构造函数 g(x) = (x-b)^n*f(x)
则 g(x)满足g(a)=g(b)=0,且在(a,b)上可导,
由中值定理知,存在实数ξ∈(a,b),使得 g'(ξ)=0,即n(ξ-b)^(n-1)*f(ξ)+(ξ-b)^n*f'(ξ)=0
整理即得结论.
微分中值定理证明:x>4时,2^x>x^2
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f(x)-f(4)=(x-4)f(ξ)' (4
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右边用柯西中值定理:
(f(x1)-f(x2))/(g(x1)-g(x2))=f'(p)/g'(p)
其中 x1
一道高等数学微分中值定理的题
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∵f(x)在[0,1]上有三阶导数
∴F(x)在[0,1]上三阶可导
∵F(0)=F(1)=0
∴存在ξ1∈(0,1),使得F'(ξ1)=0
F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)
∵F'(0)=F'(ξ1)=0
∴存在ξ2∈(0,ξ1),使得F''(ξ2)=0
F''(x)=2f(x)+2xf'(x)+2xf'(x)+x²f''(x)
∵F''(0)=F''(ξ2)=0
∴存在ξ∈(0,ξ2)(包含于(0,1)),使得F'''(ξ)=0
一道关于高等数学微分中值定理的证明题目.
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证明:令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)=0,F(1)=0.
f(x)在[0,1]上不恒等于x,所以存在一点η∈(0,1),使得f(η)≠η,即F(η)≠0.
若F(η)>0,则在[0,η]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(0,η),使得F'(ξ)=(F(η)-F(0))/η=F(η)/η>0,所以f'(ξ)>1.
若F(η)<0,则在[η,1]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(η,1),使得F'(ξ)=(F(1)-F(η))/(1-η)=-F(η)/(1-η)>0,所以f'(ξ)>1.
结论得证.
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经验土 共回答了17个问题 | 采纳率76.5%
Differential mean value theorem occupies an important position in the differential calculus.
Differential Mean Value Theorem for students master problem-solving skills, understanding of mathematical thinking, improve thinking ability is useful.
This paper first introduces the Rolle theorem, the content and form of the Lagrange mean value theorem, Cauchy Mean Value Theorem.
Second, given the application of the mean value theorem: to prove that the function is zero, the value of the formula; limited incremental export in value formula; proof of equations, inequalities, and monotonicity;
Finally, the analysis of Taylor in the mean value theorem and its applications.
薄荷小h兄 写得太好了
(高数)微分中值定理与导数应用的题,答案是2个.
zhentanxinyi1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
微分中值定理 问题lim (cosx-(e^-1/2 (x^2))/ (x^4)) x→0怎么算
baby661年前1
我要你们俩幸福 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
用泰勒公式:
cosx=1-x^2/2+x^4/4!+o(x^5)
e^(-1/(2x^2))=1-1/(2x^2)+[1/(2x^2)]^2/2+o(x^5)
所以:lim (cosx-(e^-1/2 (x^2))/ (x^4))
=lim(x^4/4!+(1/(2x^2))^2/2)/x^4
=1/24+1/8=1/6
高数.第十题证明.有关微分中值定理的题目
快乐小凡1年前1
xllmy 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%
10 证明:
设x∈(-1,1),且x≠0,由中值定理存在ξ在0和x之间,
使得f'(ξ)=(f(x)-f(0))/(x-0)=f(x)/x,∵|f'(ξ)|≤1
∴|f(x)|≤|x|
关于微分中值定理的证明题设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导,且f(a)=0.试证明存在一点&属于(0,a)
关于微分中值定理的证明题
设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导,且f(a)=0.试证明存在一点&属于(0,a),使f(&)+&f'(&)=0成立
vv令1年前2
liuog 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
(&f(&))'==f(&)+&f'(&)
利用这个即可
关于微分中值定理与导数的应用设f(x)在[1,2]上有二阶导数,且f(2)=0,又F(x)=(x-1)^2 *f(x),
关于微分中值定理与导数的应用
设f(x)在[1,2]上有二阶导数,且f(2)=0,又F(x)=(x-1)^2 *f(x),证明:在区间(1,2)内至少存在一点§,使得F"(§)=0
kenneyyyy1年前1
我本专一 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
由题设,f(x)在[1,2]上有2阶导数
考察函数F(x)=(x-1)²f(x)
显然F(x)在[1,2]上连续,在(1,2)可导且
F(1)=(1-1)²f(1)=(2-1)²·0=(2-1)²f(2)=f(2)
所以存在η∈(1,2)使得F'(η)=0
现在考察区间[1,η]包含于[1,2)
容易证明F'(x)在(1,η)可导,在[1,η]连续
∵F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f'(x)
∴ F'(1)=0·f(1)+0·f'(1)=0=F'(η)
故存在ξ∈(1,η)使得F'(ξ)=0
但是(1,η)包含于(1,2)
所以ξ∈(1,2)
证毕
用罗比达法则求极限的题按微分中值定理,当x>=0时有(x+1)^(1/2)-x^(1/2)=1/(2*(x+θ)^(1/
用罗比达法则求极限的题
按微分中值定理,当x>=0时有(x+1)^(1/2)-x^(1/2)=1/(2*(x+θ)^(1/2)),0<θ <1,
求limθ(当x趋于0+和x趋于正无穷时的两个值)
zhouqiaodidid1年前1
杀您丫的 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
先把θ化出来 θ=[1-8x^2-4x+8x(x^2+x)^(1/2)] / [8x+4-8(x^2+x)^(1/2)]
再根据罗比达法则,趋于0时上下乘以x,构造0/0;趋于无穷时除以X,构造无穷比无穷.我猜是这样吧.
请问微分中值定理,为啥要闭区间连续,开区间可导?
请问微分中值定理,为啥要闭区间连续,开区间可导?
请问微分中值定理为什么要闭区间连续,开区间可导就行,为什么不是闭区间可导,这样说得还省事,因为可导一定连续嘛,谢谢.
yeqing8881年前5
powerlyg 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%
怎么能说在闭区间可导呀?端点处 要么左极限不存在 要么右极限不存在 是不可导的
但为什么连续是闭区间呢 因为 连续 在左端点连续的意思是右连续 反之左连续
在区间每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数.如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续 反之右连续
左连续定义 lim x->x0- = f(x0-) = f(x0)
具体可以参见 同济高数五版 P61
证明方程 (X的5次方)-5X+1=0有且仅有一个小于1的正实根.目前正在学微分中值定理,希望方法与此有关...
证明方程 (X的5次方)-5X+1=0有且仅有一个小于1的正实根.目前正在学微分中值定理,希望方法与此有关...
证明方程
(X的5次方)-5X+1=0有且仅有一个小于1的正实根.
目前正在学微分中值定理,希望方法与此有关.
lilyyan1年前1
笑对花落 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%
令f=x^5-5x+1
f(0) >0
f(1)
关于微分中值定理拉格朗日中直定理说的是什么?
kijuc1年前1
批酸各吊 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%
1.在满足定理条件的前提下,函数f(x)上必有【一点的切线】与【f(x)在x=a,b处对应的两点(f(a)和f(b)点的连线平行).f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),等号后为x=a,b两点的连线斜率,等号前为f(x)上一点的导数的值,也就是f(x)上一点的斜率,两斜率相等,两线平行.这是几何上的理解方式.
微分中值定理有几个?微分中值定理一共有几个?
fern_win1年前2
冰水绿薄荷 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
拉格朗日中值定理
罗尔定理
柯西中值定理
本课题对微分中值定理进行深入研究.翻译成标准英文.在线翻译的不准
GT小宝1年前1
abrahamdong 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
The issue is the intensive study of differential mean value theorem.
微分和微分中值定理有关系吗
越策1年前1
盛夏的茉莉花 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
微分中值定理就是根据微分的运算性质而推出来的一些定理
常见的有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等.
解释下dy与△y还有微分中值定理
风花雪月童1年前1
幸福好傻 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%
dy就是函数的导数…等于f(x)的函数乘于自变量的增量,自变量的增量近似等于dx,
第二个是函数的增量,等于f(x+x0)-f(x),在定义微分的时候是函数的增量等于dy加上一个高阶无穷小!
微分中值定理有三个:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,内容大致相同,都是关于函数及其一阶导数的关系,泰勒中值定理一般不长用!
谢谢回答你的问题!
为什么拉格朗日中值定理是微分中值定理的的基础
为什么拉格朗日中值定理是微分中值定理的的基础
我是高三生,在自学微分中值定理,有一点比较奇怪,洛尔中值定理是拉氏定理的特殊情况,而拉氏定理又是柯西中值定理的特殊情况,而且拉氏定理的证明与柯西中值定理的证明都需要洛尔定理,怎么着拉格朗日中值定理也不能是基础啊
上海单单1年前1
苦瓜阿呆 共回答了23个问题 | 采纳率87%
  实际上这些定理都是等价的,只要其中一个成立就可以证明其它的也成立,任何一个都可作为基础.教材是按最简原则安排的,就是按洛尔定理----拉格朗日中值定理----柯西中值定理的顺序安排的.
微分中值定理的证明题我提示是用3次罗比达法则做,希望有人能解答
微分中值定理的证明题

我提示是用3次罗比达法则做,希望有人能解答
coldplay05151年前1
猪猪09 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
因为f(x)在[a,b]上连续,
所以存在c使得f(c)=max(f(x)) (x∈[a,b])
显然c∈(a,b),则f'(c)=0
由拉格朗日中值定理知:
存在d∈(a,c)使得f'(d)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0
所以存在t∈(d,c)(显然t∈(a,b))使得f''(t)=[f'(c)-f'(d)]/(c-d)
高数上册第三章微分中值定理这道题两条竖线是绝对值吗?f(a)、f(b)、g(a)、g(b)是相乘还是其他什么关系?我是自
高数上册第三章微分中值定理
这道题两条竖线是绝对值吗?f(a)、f(b)、g(a)、g(b)是相乘还是其他什么关系?我是自学,看不懂~
lifeixyong1年前2
qing1987 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
这道题两条竖线不是绝对值,是2阶行列式的符号,
以左边为例,左边的2阶行列式=f(a)*g(b)-f(b)*g(a).
高数 微分中值定理 证明
高数 微分中值定理 证明

tianjinhui1年前1
张扬四海 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%
设f(x)=arctanx+arccotx
则,f '(x)=1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0
根据拉格朗日中值定理的推论
∴ f(x)=C
又 f(1)=arctan1+arccot1=π/4+π/4=π/2
∴ C=π/2
∴ arctanx+arccotx=π/2
微分中值定理 证明题 高数
微分中值定理 证明题 高数

我即非我1年前2
风中企盼 共回答了19个问题 | 采纳率78.9%
1 设f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x²)
a=b时,不等式显然成立
而当a≠b时,(arctanb-arctana)/(b-a)
=(f(b)-f(a))/(b-a),由中值定理知存在
ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
∴|f(b)-f(a)/(b-a)|=|f'(ξ)|=|1/(1+ξ²)|≤1
∴|f(b)-f(a)|≤|b-a|,即|arctanb-arctana|≤|b-a|
2 在1题中令a=0,b=x,即得
|arctanx|≤|x|,又x≥0,∴arctanx≥0
即x≥arctanx
微分中值定理证明问题已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,f(0)=1,求证:在(0,1)内至少存在一
微分中值定理证明问题
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,f(0)=1,求证:在(0,1)内至少存在一点c,使得f'(c)=-f(c)/c
大口喝可乐1年前1
123xiaoyan 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
这类问题主要是构造函数,构造函数时一般可以看成微分方程的题

这道题,本身出错了,不是f(0)=1,应该是f(1)=0,
如果是f(0)=1,那么我令f(x)=1,满足题设,但f'(c)=0不等于-1/c

令F(x)=xf(x)
F(0)=0,F(1)=0
故(0,1)内至少存在一点c,有F'(c)=0
即cf'(c)+f(c)=0,即f'(c)=-f(c)/c
高等数学微分中值定理的证明 设 a>b>0,证明:a-b / a < ln a/b < a-b / b
彭嘉欣1年前1
oirtuweriotuoerw 共回答了20个问题 | 采纳率85%
设f(x)=lnx,则f'(x)=1/x,
对f(x)在区间[b,a]上应用拉格朗日中值定理得,lna-lnb=(a-b)/c,其中a>c>b>0,
故(a-b)/a
微分中值定理问题已知f(x)于[a,b]上二阶可导,A(a,f(a)),B(b,f(b)).线段AB交y=f(x)曲线于
微分中值定理问题
已知f(x)于[a,b]上二阶可导,A(a,f(a)),B(b,f(b)).线段AB交y=f(x)曲线于另一点C.求证:存在μ∈(a,b),使得f(x)的二阶导数f''(x)=0、没悬赏了,
dtlm0071年前1
8808509 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%
设点C的坐标为(c,f(c)),易知a