求与圆c:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程

（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′（x）=1+[a/x]，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′（x）=
x2−(b−1)x+1
x]，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+[1/x]+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+[1/x]≥2，
x+[1/x]＜b-1有解，
只需要x+[1/x]的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′（x）=
x2−(b−1)x+1
x]=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
∴g（x₁）-g（x₂）=ln
x1
x2-[1/2]（
x1
x2-
x2
x1）
∵0＜x₁＜x₂，
∴设t=
x1
x2，0＜t＜1，
令h（t）=lnt-[1/2]（t-[1/t]），0＜t＜1，
则h′（t）=-
(t−1)2
2t2＜0，
∴h（t）在（0，1）上单调递减，
又∵b≥[7/2]，∴（b-1）²≥[25/4]，
∵0＜t＜1，∴4t²-17t+4≥0，
∴0＜t[1/4]，h（t）≥h（[1/4]）=[15/8]-2ln2，
故所求的最小值为[15/8]-2ln2．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线x+2y=0与圆x²+y²-2x=0联立，消去x，可得5y²+4y=0，∴y1＝0，y2＝−
4
5
∴

x1＝0
y1＝0，

x2＝
8
5
y2＝−
4
5，
∴|AB|＝
(x2−x1)2+(y2−y1)2＝
4
5
5
（2）所求圆的圆心为AB中点C(
4
5，−
2
5)，所求面积最小的圆的方程是(x−
4
5)

点评：
本题考点： 直线与圆相交的性质．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．

当a=0 时，两直线分别为 x+2y=0，和x=1，显然不满足垂直条件；
当a≠0 时，两直线的斜率分别为-[a+1/2]和[1/a]，由斜率之积等于-1得：-[a+1/2•
1
a]=-1
解得a=1
故答案为：1．

点评：
本题考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．

考点点评： 本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想．

（Ⅰ）由题设圆心C（a，b），半径r=5，
∵截y轴弦长为6，
∴a²+9=25，
∵a＞0，
∴a=4…（2分）
由C到直线l：x+2y=0的距离为
6
5
5，
∴d=
|4+2b|

5=
6
5
5，
∵b＞0，
∴b=1，
∴圆的方程为（x-4）²+（y-1）²=25；
（Ⅱ）①斜率存在时，设切线方程y=k（x+1），
由C到直线y=k（x+1）的距离
|5k-1|

1+k2=5…（8分）
∴k=-
12
5，
∴切线方程：12x+5y+12=0…（10分）
②斜率不存在时，方程x=-1，也满足题意，
由①②可知切线方程：12x+5y+12=0或x=-1…（12分）．

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′(x)＝1+
a
x，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′(x)＝
1
x+x−(b−1)=
x2−(b−1)x+1
x]，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+[1/x]+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+[1/x]≥2，
x+[1/x]＜b-1有解，
只需要x+[1/x]的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′(x)＝
1
x+x−(b−1)=
x2−(b−1)x+1
x]，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，设μ（x）=x²-（b-1）x+1，
则μ（0）=[ln（x₁+
1
2x12-（b-1）x₁]-[lnx₂+
1
2x22-（b-1）x₂]
=ln
x1
x2+
1
2(x12−x22)−(b−1)(x1−x2)
=ln
x1
x2+
1
2(x12−x22)−(x1+x2)(x1−x2)
=ln

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

由已知两直线2x-y=0和x+2y=0的斜率分别为：k₁=2，k2＝−
1
2，
∴k₁k₂=-1，
∴此两条直线互相垂直，
∴线段AB为直角三角形OAB的斜边，而P为斜边中点，由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10．
故答案为：10．

点评：
本题考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．

考点点评： 本题考查了相互垂直的直线的性质、直角三角形斜边中线的性质、两点间的距离公式，属于基础题．