(x+5y)²-(2x+10y)(3x-y)+(3x-y)²

（1）由

x2+y2+2x+2y−8＝0
x2+y2−2x+10y−24＝0⇒x-2y+4=0．
∴圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0的公共弦AB所在的直线方程为x-2y+4=0；
（2）由（1）得x=2y-4，代入x²+y²+2x+2y-8=0中得，y²-2y=0，
∴

x＝−4
y＝0或

x＝0
y＝2，即A（-4，0），B（0，2），
又圆心在直线y=-x上，
设圆心为M（x，-x），则|MA|=|MB|，|MA|²=|MB|²，
即（x+4）²+（-x）²=x²+（-x-2）²，解得x=-3．
∴圆心M（-3，3），半径|MA|=
10．
∴圆心在直线y=-x上，且经过A、B两点的圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．
（3）由A（-4，0），B（0，2），
则AB中点为（-2，1），
1
2|AB|＝
1
2

点评：
本题考点： 圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 本题考查了圆与圆位置关系的判定，考查了圆的方程的求法，训练了圆系方程的用法，是中档题．

（1）经过圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0的公共点的圆系方程为：
x²+y²+2x+2y-8+λ（x²+y²-2x+10y-24）=0
令λ=-1，可得公共弦所在直线方程：x-2y+4=0；
（2）由

x 2+y 2+2x+2y−8＝0
x 2+y 2−2x+10y−24＝0 ，
解得

x＝−4
y＝0或

x＝0
y＝2，
∴A，B两点的（-4，0），（0，2），
其中点的坐标为（-2，1），|AB|=
(−4)2+22＝2

点评：
本题考点： 相交弦所在直线的方程；轨迹方程．

考点点评： 本题是基础题，考查圆系方程的有关知识，公共弦所在直线方程，考查计算能力．此题考查了直线与圆相交的性质，根据题意设出所求圆的方程，找出圆心坐标，得出圆心在直线2x+y+4=0上时面积最小是解本题的关键．

联立两圆C₁：x²+y²-2x+10y-24=0，C₂：x²+y²+2x+2y-8=0，解得两圆的交点（0，2）和（-4，0）
以两圆公共弦为直径的圆，则圆心的坐标x=[0-4/2=-2，y=
2+0
2]=1，即（-2，1）
圆的半径r=[1/2]
4+16=
5
∴以两圆公共弦为直径的圆的方程是（x+2）²+（y-1）²=5
故答案为：（x+2）²+（y-1）²=5

点评：
本题考点： 圆方程的综合应用．

考点点评： 本题考查圆的标准方程，考查圆与圆的位置关系，确定两圆的交点是解题的关键．

（1）将两圆化为标准方程，得C₁：（x-1）²+（y+5）²=50，C₂：（x+1）²+（y+1）²=10
∴圆C₁的圆心为（1，-5），半径为r₁=5
2；圆C₂的圆心为（-1，-1），半径为r₂=
10…（4分）
又∵|C₁C₂|=
(1+1)2+(−5+1)2=2
5，r₁+r₂=5
2+
10，r₁-r₂=5
2-
10，
可得 r₁-r₂＜|C₁C₂|＜r₁+r₂…（5分）
∴

点评：
本题考点： 相交弦所在直线的方程；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 本题给出两个定圆，求它们的公共弦所在直线方程并求弦长，着重考查了圆的标准方程与一般方程、圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．

（1）由两圆方程相减即得x-2y+4=0，此为公共弦AB所在的直线方程．
圆心C₁（-1，1），半径r₁=
10
C₁到直线AB的距离为d=
|−1+2+4|

5=
5，
∴公共弦长|AB|=2
r12−d2=2
5；
（2）圆心C₂（1，-5），过C₁，C₂的直线方程为[y+1/−5+1＝
x+1
1+1]，即2x+y+3=0．
由

2x+y+3＝0
y＝−x得所求圆的圆心为（-3，3），
它到AB的距离为d=
|−3−6+4|

点评：
本题考点： 相交弦所在直线的方程；圆系方程．

考点点评： 本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

联立两圆C₁：x²+y²-2x+10y-24=0，C₂：x²+y²+2x+2y-8=0，解得两圆的交点（0，2）和（-4，0）
以两圆公共弦为直径的圆，则圆心的坐标x=[0-4/2=-2，y=
2+0
2]=1，即（-2，1）
圆的半径r=[1/2]
4+16=
5
∴以两圆公共弦为直径的圆的方程是（x+2）²+（y-1）²=5
故答案为：（x+2）²+（y-1）²=5

点评：
本题考点： 圆方程的综合应用．

考点点评： 本题考查圆的标准方程，考查圆与圆的位置关系，确定两圆的交点是解题的关键．