费马点是什么?若有一个普通带有60度的三角形,AB与BC为夹边,费马点为P,PA=3,且PC=4,求PB

费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点. (1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
当△ABC直角三角形时,显然满足情况(1)

我来试试吧...
其实LZ可以换个思考的方式...
利用费马点来证明
证明：先证明∠AFB=∠BFC=∠CFA=120
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60=∠ABA1,
△CC1B≌△AA1B,得∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60,得∠PCB+∠CBP=60,∠CPB=120
同理,∠APB=120度,∠APC=120度
再证明AF+BF+CF=CC'
设三内角皆小于120°的△ABC内费马点F,连接AF,BF,CF
将△BFA沿B点旋转60°得到△BF'C',BC'与BC'重合.
连接F'F,∠F'BF=60,则三角形BFF'为正△
∠CFA=120度,因此C、F、F'三点在同一直线上,
∠AF'C=∠CFA=120,∠AF'F=60,则∠C'FF=180度,
C、F、F'、C'四点在同一直线上
所以,故FA+FB+FC=CC'
最后证明三线共点,
C、F、F'、C'四点在同一直线上
则F在CC'上,
同理可得F在BB',AA'上,
所以三线交于一点,且该点位F

将△APC以点C为旋转中心旋转60度与△B1DC重合,连结PD,则△PDC为等边三角形,所以∠CPD=60度又∠BPC=120度,因此B、P、D三点在同一直线上,又∠APC=120度,所以B、P、D、B1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=BB1.

在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.
(2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点.

根据费马点的定义,APB,BPC,CPA都是120°,下面以BC为一条边,向外做一个正三角形△BCM,再由费马点的证明过程,P在AM上（这一步可以百度百科）
在PM上取点N,使得∠PBN=60°,由∠APB=120°,所以∠BPN=60°,所以△BPN是正三角形,所以BN=BP,
易证△BPC≌△BNM,所以NM=PC=4
由∠APB=∠BNM=120°,∠ABP=∠BMN,所以△APB∽△BNM
所以PB*NB=AP*NM=3*4=12
所以PB=2√3

解题思路：根据费马点的定义，在BB′上取点P，使∠BPC=120°，再在PB′上取PE=PC，然后连接CE，根据等边三角形的判定可以证明△PCE是等边三角形，从而得到PC=CE，∠PCE=60°，根据角的关系可以推出∠PCA=∠ECB′，再利用边角边证明ACP与△B′CE全等，根据全等三角形对应边相等可得PA=EB′，∠APC=∠CEB′=120°，从而可得点P为△ABC的费马点，并且BB′=PA+PB+PC．

证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，
连接AP，再在PB′上截取PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，
∵△ACB′为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点，
∴BB′过△ABC的费马点P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．

点评：
本题考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，根据新定义，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

费马点的性质是固定不变的,那就是:
在所有点中,这个点到三角形三个顶点的距离之和最小.

解题思路：（1）根据已知首先得出△PCE为等边三角形，进而得出△ACP≌△BCE（SAS）即AP=BE=BP+PE=BP+PC；
（2）利用（1）中结论得出P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解；
（3）在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解．

（1）如图2，延长BP至E，使PE=PC．
∵在等边△ABC中，
∴∠EPC=∠BAC=60°，
∵PC=PE，
∴△PCE为等边三角形，
∴PC=PE，∠PCE=60°，
∴∠BCP+∠PCE=∠ACB+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCE，
∵在△ACP和△BCE中，


BC＝AC
∠BCE＝∠ACP
CE＝PC，
∴△ACP≌△BCE（SAS）．
∴AP=BE=BP+PE=BP+PC；



（2）由（1）得出：第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在



BC上取一点P₀，连接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段AD的长度即为△ABC的费马距离．

（3）如图4，以BC为边在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD．
∴AD的长就是△ABC的费马距离．
可得∠ABD=90°
∴AD=
AB2+BD2=5（km）．
∴输水管总长度的最小值为5千米．
故答案为：P₀D；AD．

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 此题主要考查了等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．

学术论文开头都是背景交代或问题描述,也就是概述,然后引出问题,你按照这个思路写就行了,结尾部分一般是结论或研究结果和讨论.找一篇数学学报上的学术文章做模板.

浅谈三角形的费马点
法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题,近几年仍有不少文献对此介绍．
本文试以课本上的习题、例题为素材,根据初中学生的认知水平,针对这个问题拟定一则思维训练材料,引导学生通过自己的思维和学习,初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．
1．三角形的费马点
已知：如图1,ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．
这个题目证明比较容易,下面提几个问题供同学们思考．
思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF,并连接AF如图2,可得到什么结论?是否有
(1)BE=CD=AF?
(2)BE、CD、AF三线交于一点O?
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°?
思考2 如将原题的图1改成图3,并连接DE,还能得到什么结论?
(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．
(2)若∠ADC=120°,则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线,由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°,易证AD＋DC＞DE．得到下列命题．
定理1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．
思考3 根据上述定理,在图2中还有
(1)OA＋OB＋OC=AF．
(2)在ΔABC内另取一点O,总有
O′A＋O′B＋O′C＞AF,
即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．
(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．
定理2 三角形每一内角都小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°时,此角的顶点即为费马点．
2．水管线路最短问题
如图4,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄供水,修在河边什么地方,可使所用水管最短?
这是一个很有意义的应用题,在公路,自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水,那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时,在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB,可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧,点C为L上一个动点的费尔马问题,下面分两类情况讨论这个问题．
(1)AB与L的夹角小于30”．
如图5,以AB为一边作正三角形ABM,并作ΔABM的外接圆．
当所作外接圆与直线L相离或相切时,从M点作直线L的垂线,交圆于O点,垂足为C．C即为水泵站位置,先把水引到O点,再从O点分别向A、B两地供水,此时点O 更短,即在L上另选一点都不会改进．
优的了,因为∠ABC≥120°,费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧,如图7,此时△ABC的费马点O必在在点P上,故L上点P的左侧不会有更好的点可选,同理Q点的右边也找不出更好的点．
(2)AB与L的夹角不小于30°．
如图8,若A点离直线L较近,作AC⊥L交于C,点C为水泵站位置,因为∠CAB≥120°,点A即为ΔABC的费马点,此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时,ΔABC′的费马点仍在A点,易知 弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切),故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．
综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．
3．两个应用题
文(4)谈到95年全国高考命题组,对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：
(1)一条河宽1km,两岸各有一座城市A与B,A与B的直线距离是4km,今须铺设一条电缆连A与B,已知地下电缆修建费用为2万元/km,水下电缆为4万元/km,假定河两岸是直线,问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小?
(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上,须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发,可沿此网络中的线达到别的点),问此网络应以什么方式连接这四个点,方可使所用的线总长最小?
汤建新,赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论,并给出一个很巧妙的解答,使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解,因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍,如图9,实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC＋2BC最小,取B点关于L的对称点B′,因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点,取∠BCA=120°即得．
关于(2)题如图10,易知不论如何连接,所求的网络必通过正方形中心O点,问题转化为ΔABO与ΔDCO的费马问题,也可以转化为问题(1),详细解答请同学们考虑．

6c3

费马
费马点 的两证明方法
2007年12月22日 星期六 23:39
费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点.
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点.
1
1、费马点不在三角形外,这个就不用证了,很显然.但为了严谨,还是说一下
2、当有一个内角大于等于120度时候
对三角形内任一点P
延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP,PC'=PC,（说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点
3、当所有内角都小于120°时
做出△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点,如图,再作任一异于P的点P',连结P'A,P'B,P'C,过P'作P'H垂直EF于H
易知∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,计边长为d,面积为S
则有2S=d(PA+PB+PC)
∵P'A≥P'H
所以2S△EP'F≤P'A*d
同理有
2S△DP'F≤P'B*d
2S△EP'D≤P'C*d
相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C,当且仅当P,P'重合时取到等号
所以P是费马点
2
虽然不知道费马点在那里,我们先假设他在某个位置,做出来,证明他不可能具有某些性质,最后确定他的位置,这个证明仅限于三个内角都小于120度的时候.
以A,C为焦点,AP+PC为长轴长,做椭圆,以B为圆心,BP为半径,做圆
我们先假定椭圆与原是相交的,并取他们公共部分内部一点P'
则P'在圆内也在椭圆内
所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC,与假设矛盾,所以圆与椭圆必相切（不可能没有公共点吧,因为都过P）
做他们的公切线,并作直线BP,显然BP与公切线垂直
由椭圆的几何性质易知,BP平分角APC,所以∠APB=∠CPB
同理有∠APC=∠CPB
所以∠APC=∠APB=∠CPB=120°
即为费马点

2根号3,即根号12.

在一个三角形中,到3个顶点距离之和（PA+PA+PC）最小的点叫做这个三角形的费马点
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角（即∠APB=∠BPC=∠APC=120°）.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.
(2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点.
常用的条件应该是就是：∠APB=∠BPC=∠APC=120°

第一种：把三角形PAB绕A点顺时针旋转60度得三角形QAD,则D,A,C在同一直线上.
AP=AQ,AB=AD,且角PAQ=角BAD=60
所以,三角形PAQ和三角形BAD均为正三角形.
所以,AP=PQ,AD=AB
由三角形APB全等于三角形AQD知：PB=QD
而DQ+PQ+PC>AD+AC,即：PA+PB+PC>AB+AC
第二种：把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′,如图
∴∠CAC′=∠PAP′=60°,AC=AC′,AP=AP′,PC=P′C,
∴△APP′为等边三角形,
∴PP′=AP,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAC′=120°+60°=180°,
即B,A,C′共线,
∴BC′＜BP+PP′+P′C,
即AB+AC＜AP+BP+CP．

这是009年湖州中考题
网上搜索2009年湖州中考数学,可以得到详细答案

以底边为边往外作等边三角形,然后作等边三角形的外接圆,它与顶角平分线的交点为费马点

http://baike.baidu.com/view/184329.htm#sub184329
你可以尝试用几何画板画一下

费马点
定义
在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点.
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
（1） 等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线.是内切圆和外切圆的中心.△BPC≌△CPA≌△PBA.
（2） 当BC=BA但CA≠AB时,BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线.
证明
(1)费马点对边的张角为120度.
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度,∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,
又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合）,连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1

【看我的图吧,有几个字母我改了】
1）第一步：求证∠DPC=60°
证：∵△ABE是等边三角形
∴AE=AB,∠BAE=60°
同理,AD=AC,∠DAC=∠ACD=60°
∴∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC
即∠EAC=∠BAD
在△EAC与△BAD中
EA=BA
∠EAC=∠BAD
AC=AD
∴△EAC≌△BAD（SAS）
∴∠ADM=∠MCP
在△MPC中,∠MPC+∠MCP+∠CMP=180°
在△MAD中,∠DAM+∠ADM+∠AMD=180°
∵∠AMD=∠CMP
∴∠MPC=∠DAM=60°
2）第二步：求证：AP+CP+BP=BD
证：作∠PCE=60°交BD于E
∵∠PCE=60°,∠MPC==60°
∴△PCE是等边三角形
∴CP=CE=PE,∠PCE=60°
∴∠PCE=∠ACD
∴∠PCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE
即∠ACP=∠DCE
在△ACP与△DCE中
AC=DC
∠ACP=∠DCE
CP=CE
∴△ACP≌△DCE（SAS）
∴AP=DE
∴AP+PC+BP=DE+PE+BP=BD
3）求证：AP+CP+BP最短
证：取与P不同的一点O,连接AO,BO,CO,在四边形ABCD内作等边三角形OCF,连接DF.
∵△OCF是等边三角形
∴OF=OC=FC,∠OCF=60°
∴∠OCF=∠ACD
∴∠OCF-∠ACF=∠ACD-∠ACF
即∠ACO=∠DCF
在△ACO与△DCF中
AC=DC
∠ACO=∠DCF
CO=CF
∴△ACO≌△DC（SAS）
∴AO=DF
∴AO+CO+BO=DF+OF+BO＞BD= AP+PC+BP
∴AP+CP+BP最短
【打字很辛苦,楼主能早点采纳么】

解题思路：根据费马点的定义，在BB′上取点P，使∠BPC=120°，再在PB′上取PE=PC，然后连接CE，根据等边三角形的判定可以证明△PCE是等边三角形，从而得到PC=CE，∠PCE=60°，根据角的关系可以推出∠PCA=∠ECB′，再利用边角边证明ACP与△B′CE全等，根据全等三角形对应边相等可得PA=EB′，∠APC=∠CEB′=120°，从而可得点P为△ABC的费马点，并且BB′=PA+PB+PC．

证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，
连接AP，再在PB′上截取PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，
∵△ACB′为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点，
∴BB′过△ABC的费马点P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．

点评：
本题考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，根据新定义，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴[PA/PB]=[PB/PC]
∴PB²=PA?PC=12，
∴PB=2
3；


（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．

∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°．
∵△ACB'为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB'=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC．

（3）如下图，
作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；

证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，

∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
又∵FA=FC，
∴四边形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC与△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM=CA，
再连接AM、DM、EM （辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）
易证△AMC为等边三角形，
在△ABC与△MEC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，
又∵DB=AB，
∴DB=ME，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，
∴∠DBC=∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，
∴四边形DBEM是平行四边形，
∴S_△BDM+S_△DAM+S_△MAC=S_△BEM+S_△EMC+S_△ACF，
即S_△ABC+S_△ABD=S_△BCE+S_△ACF．

目前尚无证明

当三角形有一个内角大于或等于120°的时候,费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点.知道这个三角一证就出来

比较简单的一道题目
连接PB‘
因为是费马点,角APC=120度,而角AB'C=60度,两者和为180度,所以APCB'四点共圆
角B'PC=B'AC=60度,角BPC=120度,角B'PB=180度,P在BB'上

B'太麻烦,用D来代替好了
在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACD连接BD,CD
因为是锐角三角形,即可在BD上选取一点P,使得角APB等于120度
则角APD等于60度,又角ACD等于60度
所以A,P,C,D四点共圆
所以角CPD等于角CAD等于60度
综上,角APC等于角BPC等于120度,可知P为费马点
下证BD=PA+PB+PC
延长PC并截取CE=AP,连接ED
因为内接的关系,易知角PAD+角PCD=180度,角PAD=角ECD
易证△PAD≌△ECD,又∵角DEP=角DPE=60度
∴PD=ED=PE=PC+CE=PC+PA
得证BD=PA+PB+PC

是pdf格式的,下载下来看,用Acrobat Reade

点P到三角形顶点平方和的最小,
所以,点P是三角形的重心.
证明我就不证了,利用坐标法,可以证明.
下面用a、b、c表示这个平方和：
重心到顶点的距离=中线的2/3,因此,只需算出中线长度即可.
以求BC边上的中线AD为例
在三角形ABC中,由余弦定理,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
在三角形ABD中,再利用余弦定理
AD^2=c^2+(a/2)^2-2c*(a/2)cosB=(b^2+c^2)/2-a^2/4
所以,PA^2=(2/3AD)^2=4/9AD^2=(2b^2+2c^2-a^2)/9
同理,PB^2=(2a^2+2c^2-b^2)/9
PC^2=(2a^2+2b^2-c^2)/9
PA^2+PB^2+PC^2=(a^2+b^2+c^2)/3

费马点定义
在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.(2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点.
编辑本段费马点的判定
（1）对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点.费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.
编辑本段证明
我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度.△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度,∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.(3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合）,连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1

打不开!

1.阿波罗尼斯（Apollonius）圆 一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n,则点P的轨迹,是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称“阿氏圆” 2.帕斯卡（Paskal）定理： 已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BC、EF延长线交于点H,边CD、FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线 3. 4.摩莱（Morley）三角形： 在已知△ABC三内角的三等分线中,分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F,则三角形DDE是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形. 5.费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点,当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时,PA＋PB＋PC的值最小,这个点P称为△ABC的费尔马点. 6.泰博定理：取平行四边形的边为正方形的边,作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）.正方形的中心点所组成的四边形为正方形；取正方形的两条邻边为三角形的边,作两个等边三角形（同时在正方形内或外皆可）.这两个三角形不在正方形边上的顶点,和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点,组成一等边三角形；给定任意三角形ABC,BC上任意一点M,作两个圆形,均与AM、BC、外接圆相切,该两圆的圆心和三角形内接圆心共线 7.凡·奥贝尔定理：给定一个四边形,在其边外侧构造一个正方形.将相对的正方形的中心连起,得出两条线段.线段的长度相等且垂直（凡·奥贝尔定理适用于凹四边形）.

我们更习惯用a,b,c来表示三角形三条边,A,B,C表示三角形的三个内角
设费马点P,分情况讨论:
1.A≥120度时,P=A,PA+PB+PC=AB+AC=b+c
2.B≥120度时,P=B,PA+PB+PC=AB+BC=a+c
3.C≥120度时,P=C,PA+PB+PC=BC+AC=a+b
4.A,B,C均小于120度时
设PA=x,PB=y,PC=z,∠APB=∠BPC=∠CPA=120度
那么由余弦定理
x^2+y^2+xy=c^2
y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+xz=b^2
三式相加
(x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+3(xy+yz+zx))/2 .(1)
由正弦定理
√3xy/4=S⊿PAB
√3yz/4=S⊿PBC
√3zx/4=S⊿PAC
三式相加
xy+yz+zx=4S⊿ABC/√3 ...(2)
由海伦公式
S⊿ABC=√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/4 ...(3)
由(1),(2),(3),解得
PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}
这就是要求的表达式

任意△ABC.分别以AB,BC,CA为边,向外作等边三角形△ABD,△BCE,△ACF.连结AE,BF,CD.易证,AE,BF,CD三线交于一点O,该点O即是费尔马点.因此,任意三角形均有一个费尔马点.

怎么证明费马点到三角形顶点距离最短?2006年4月9日 (一) 以数学方法证明费马点的存在及其特性：
Ⅰ.其实在之前就有一些有名的数学家提出相关的作 法及证明,我把文献上找到的一一列於附件说明,另外我也试著做做看是否有其他的方式可以求出费马点：
1.费马点之求法
(1) 做一三内角均小於120°之△ABC.
(2) 以 ,为一边,分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE.
(3) 连接 ,交於P点,则P点即为所求.
2.费马点的性质：L= + + 为最小值.
首先证明由上述作法做的费马点存在-----
ㄅ.旋转△BPC,
使 与 重合（ = ）,
P点落在H处
则∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（证明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A,P,H,G三点共线
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = ,=
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH为正△,得 =
知存在一点P使得 + + = + + =
再来证明所求出的点至三顶点距离最小
ㄅ.在ABC内另取一点Q异於P,
连接 、 、
ㄆ.参考步骤（1）之证法同理可证得 + + = + +
ㄇ.
故P点使 + + 为最小值
Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部,那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形,是否能找到一点至三顶点距离和最短?
(1) △ABC的∠A＞120°,P为△ABC内部任一点
延长 至B',使 =
做∠B'AP'=∠BAP,取 =
故△B'AP' △BAP,得 = .
於是 + + = + + ,
(2) 但因∠A＞120°,故∠B'AB＜60°,
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°,故 ＞
则 + + ＞ + + ＞ + ,即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合,则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点.
(3) 证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°,则费马点即为该内角的顶点.
Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点,但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ!也就是如果改变形状后是否能找到一点P点,使得P点至顶点距离和最小,我们以下就最简单的四边形先做讨论
(1) 已知：四边形ABCD
求作：ABCD内的P点
做法：在四边形ABCD中
∵对角线为直线
∴对角线 为A、C之间的最小距离
同理对角线 为B、D之间的最小距离
发现：、 之交点P为四边形ABCD内之一点使得 + + + 为最小值
即P点至四边形四个顶点距离和最小
(2) 证明
在四边形ABCD内另取一点P'异於P
连接 、 、 、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞ 且 + ＞ （任两边和大於第三边）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P点使 + + + 为最小值
(二) 运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说『数学是科学之
母』,那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ?参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验：
1.实验一：从三力平衡证明费马点的性质－ 、 、 所夹的三个角必为120°.
(1) 以木条为边组装正三角形,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,另一端连在一起代表P点.
(2) 让重物自然垂下到达静止状态,量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）.
(3) 因为三重物重量相等,三条线的张力亦相同,即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的「封闭三角形（参考图B）」为正三角形,亦即该力图之三力所夹的三个角
皆为120°.
(4) 将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方,纪录P点座标,再和（三）求出之P点一次函数,以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合.
(5) 重复以上步骤5次,并改变三角形的形状重复操作.
2.实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性.
(1) 以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,由实验一已知P点为费马点.
(2) 於P点（费马点）悬挂一黏土块W,让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C）,量测此时P点与水平面之垂直距离,分别作三次后取平均值,高度为hP.
(3) 将P点任意移

费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
当△ABC直角三角形时,显然满足情况(1)

我知道费马点：
定义：
在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点.
位置：
在平面三角形中:
(1).三内角皆小於120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

就是构造三个等边三角形,从而把三角形的边转化成其他的线段.

（1）对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点.
费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.
已被证明,那么只有费马点才可、
坐标轴中寻找的话,都已经知道三角形内部对3边张角均为120°的点了
自然容易确定这个点
当三角形ABC三内角皆小于120°时,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点
等边三角形的费马点就是三个角的角平分线的交点

对不起!这下人丢大了:( 我前面的回答是凭多年前的印象胡说的.被你一提醒想起来了.这错印象好象就是在当初证明三个内角都小于120度的三角形费马点的过程中留下的.是中间步骤中有这么点印象.你是对的,就是那个钝角.再次抱歉!
对,这个证明是完全不同的.我再想想看.想到了一定立即告诉你.不过不一定想得起来.许多年前了.怕你按我前面的胡说去想,耽误时间,所以先来打个招呼.对不起啦!
啊!成功啦!这下总算挽回点脸面:p 你一定已经不抱什么希望了吧?其实他们这网页我也早就查到了.还不止一处.不知道怎么都是这副模样,没一个全的.看来看去也猜不出里面的空是什么,就没贴过来.不过今天我还是以它为范.画来画去总算弄出来了.我把胡乱涂鸦的草图贴到相册上去.光线关系拍得不好.但可以看清.如果你无法打开请告诉我.再想办法.
简单思路是这样的：
△ABC的∠A＞120°,P为任一点 （这里原来的证明有个漏洞,它说‘P为△ABC内部任一点’,没给出为什么不能象我先前胡言的那样在外面.好在我试了下在外面也可这样证法）
旋转 △BAP 至 B'A 与 CA 一直线,成 △B'AP' 全等于 △BAP
因∠A＞120°,故∠B'AB＜60°,
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°,故 AP＞PP'
则 CP + PB + PA ＞ CP + PP' + BP'＞ CA + AB'
即 CP + PB + PA ＞＞ CA + AB
：））） 你看里面什么问题吗?
楼上 AsongMyouyu 说才被解决的是费马大定理,跟这里的问题风马牛不相及.是这个还了得?!世界顶尖数学家一百多年都没能证出的.我们在这百度上讨论啊?!