线性微分方程中的“线性”是什么意思?

这题就是要确定 二阶常系数齐次线性微分方程 的两个系数而已
设 微分方程为 y''+ay'+by=0
最直接的方法 把 y=e^x 和y=e^2x 都带进去 求出a,b
a=-3 b=2
微分方程求解 是知道系数 就特征根
这题反过来 就是知道特征根 就系数
如果对这个熟悉的话 直接就可以看出答案
因为特征根 明显就是1和2
所以 -(1+2)=-3
1*2=2
直接就得出方程的系数了

线性方程满足叠加原理,比如 y''+a(t)y'=b(t)+c(t)的解y可以写作u''+a(t)u'=b(t),v''+a(t)v'=c(t),w''+a(t)w'=0 解的求和,y=u(t)+v(t)+c w(t)；
非线性方程不满足线性叠加原理,比如 x'x=b(t)+c(t)的解x就不可以写作y'y=b(t),z'z=c(t)的解的求和:x 不等于 y(t)+z(t)
判定一个方程是否是非线性的,不用关心导数,只需要看未知数（对于微分方程是看未知函数）是否出现了高于一次的情形,如果有,就是非线性的.

通解的定义是
如果含有n个任意常数C1,C2,C3,…,Cn的函数y=f(x,C1,C2,C3,…,Cn)是方程
F(x,y,y',y'',…,y^(n))的解,那么这样的解称为微分方程的通解
也就是说只要含有微分方程阶数个的常数,并且是微分方程的解的函数就是微分方程的通解,它并不要求包含全部解
所以求积分后可以不加绝对值,只求出sinx是正数的情况就可以了

线性指的是
这部分
f(x,x')=y^2*x'+x
a,b常数,x1,x2是两个解
把ax1+bx2代入
f(ax1+bx2,ax1'+bx2')
=y^2(ax1'+bx2')+(ax1+bx2)
=a(y^2x1'+ax1)+b(y^2x2'+ax2)
=af(x1,x1')+b(x2,x2')
所以是线性的
即以y为变量,x为因变量的微分方程是线性的
但是可以验证如果以x为变量,y为因变量的话就是非线性的

y^2dx-(y^2+2xy-x)dy=0
y^2dx=(y^2+2xy-x)dy
dx/dy=(y^2+2xy-x)/y²=1+[(2y-1)/y²]*x
即
dx/dy-[(2y-1)/y²]*x=1
所以
是非齐次线性微分方程

一阶微分方程
如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
若式子可变形为y'=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解
若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分求解
自己总结的,希望有所帮助

上图左边完整叫法是一阶线性齐次微分方程,其中的‘齐次’是定语,书上定义dy/dx+P(x)y=Q(x)为一阶线性微分方程,当Q(x)=0时,则称这方程是齐次的,若Q(x)≠0,则称方程是非齐次的.与上图右边的的齐次方程是有差别的,这个齐次方程是个名词,是个名称.请楼主慢慢体会.

这个……第一题是不是错拉……按理说任意两个非齐次方程的解的差应该是对应齐次方程的解,但是按照这个带进去不太对啊…………
第二题就是等比数列的求和?有等比求和公式,代入可以得出和为13/6.等比公式这样推出：设I=1+q+q^2+……+q^n,则q*I=q+q^2+……+q^(n+1),两者相减,得到I=（1-q^(n+1)）/(1-q),在这边由于是对n到正无穷求和,所以求一个无穷极限就可以了~

这样的题你最好把常微分方程的那本书看一遍,这都是第一张的内容,一看就记住里,重要的是记住他们的形式,

最好的做法是凑全微分.

其特征方程为：λ^4+2λ^2+1=0
解得：λ=±i(二重根)
其特解为：cosx,sinx,xcosx,xsinx
故通解为：y=C1*cosx+C2sinx+C3*xcosx+C4*xsinx

特征方程：r^2+1=0,r=±i
所以y1=C1sinx+C2cosx
显然一个特解为y2=x+e^x/2
所以y=y1+y2=C1sinx+C2cosx+x+e^x/2

设齐次线性方程
ay'''+by''+cy'+dy=0
y1'=-e^(-x) y1''=e^(-x) y1'''=-e^(-x)
y2'=2e^(-x)-2xe^(-x) y2''=-2e^(-x)-2e^(-x)+2xe^(-x) y2'''=4e^(-x)+2e^(-x)-2xe^(-x)
y3'=3e^x y3''=3e^x y3'''=3e^x
(a+b+c+d)e^x + (-a+b-c+d+6a-4b+2c)e^(-x)+(-2a+2b-2c+2d)xe^(-x)=0
a+b+c+d=0
5a-3b+c+d=0
-2a+2b-2c+2d=0
a=b,c=d,a=-c
所求齐次线性方程为
ay'''+ay''-ay'-ay=0,a为常数

dsolve('Dy-2*y/x=x^3','x')
ans =
1/2*x^4+x^2*C1

C取值的任意性。

对于n阶齐次线性微分方程,注意,不一定是常系数,也不一定是二阶,但一定是齐次.因为右边是0,所以如果y1,y2,……yn是方程的解,C1y1+C2y2+……Cnyn也是方程的解.自己去证明.
对于你说的二阶常系数齐次线性微分方程,delta

线性方程:代数方程,如y =2 x +7,其中任一个变量都为一次幂.这种方程的函数图象为一条直线,所以称为线性方程.
一个线性方程在实际应用中可以写作：
y = f(x)
其中f具有如下特性：
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(ax) = af(x)
这里a不是向量.
a为变量.
线性方程：在代数方程中,公含未知数的一次幂的方程称为线性方程.这种方程的函数图象为一条直线,所以称为线性方程.
微分方程:如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次冥,则称它为线性微分方程.
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程,也可以简单地叫做微分方程.
一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族.
如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解.对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组.
常微分方程的特点
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点.
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.
后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来.
一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的.
大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.
现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善.
二阶常系数齐次线性微分方程解法
见大学课本《微积分》.
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法.
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1,r2.
1 若实根r1不等于r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)

dy/dx=1-2y 分离变量求解 ,得：dy/(2y-1)= -dx ln|2y-1|= -2x+C1 2y-1=C2*e^(-2x) y=C*e^(-2x)+1/2 (C=C2/2)

∵ y=C1e^x+C2cos2x+C3sin2x
==>y'=C1e^x-2C2sin2x+2C3cos2x
y''=C1e^x-4C2cos2x-4C3sin2x
=5C1e^x-4(C1e^x+C2cos2x+C3sin2x)
=5C1e^x-4y..........(1)
y'''=5C1e^x-4y'..........(2)
∴由(1)式，得y''+4y=5C1e^x
由(2)式，得y'''+4y'=5C1e^x
则 y'''+4y'=y''+4y
==>y'''-y''+4y'-4y=0
故所求三阶常系数齐次微分方程是y'''-y''+4y'-4y=0。

没明白你的意思.如果老师这样讲的话就多余.既然y1,y2是非齐方程两个(不同的),那么y1-y2是齐方程的解,故原非齐方程的通解为:
y=C(y1-y2)+y1(这里加y2也可)

由根系关系,r1+r2= -p.若为重根,即r1=r2=r,即r+r=-p,因此2r+p=0

设通解为：y=C1*e^(0x)+C2*e^(-2x),
C2=0,C1=1,y1=1,C1=0,C2=1,y2=e^(-2x),
则特征方程为：r^2+2r=0,
则该二阶常系数齐次线性微分方程为:y"+2y'=0.

应是“二阶”常系数齐次线性微分方程.
y''+py'+qy=0,特征方程 r^2+pr+q=0,解出 特征根 r1,r2,讨论重根否再写出通解.
高等数学教科书上都有啊.

∵y1=e^x,y2=xe^x,y3=3sinx,y4=2cosx是所求方程的4个线性无关的特解
∴所求方程的特征方程的根是r1=r2=1,r3=i,r4=-i
==>所求方程的特征方程是(r^2+1)(r-1)^2=0
==>r^4-2r^3+2r^2-2r+1=0
==>y""-2y"'+2y"-2y'+y=0
故以y1=e^x,y2=xe^x,y3=3sinx,y4=2cosx为特解的四阶常系数齐次线性微分方程是
y""-2y"'+2y"-2y'+y=0.

∵2dx+(y²-6x)dy=0 ==>2e^(-3y)dx+(y²-6x)e^(-3y)dy=0
==>[2e^(-3y)dx-6xe^(-3y)dy]+y²e^(-3y)dy=0
==>2d[xe^(-3y)]-d[(y²/3+2y/9+2/27)e^(-3y)]=0
==>2xe^(-3y)-(y²/3+2y/9+2/27)e^(-3y)=C (C是积分常数)
∴原方程的通解是2xe^(-3y)-(y²/3+2y/9+2/27)e^(-3y)=C (C是积分常数).

.你就注明C或者C1是任意常数就行了.题目里C1=+/- e^C,都是范围在负无穷大到正无穷大内的任意常数,没有什么范围限制.

请另请高明!

把y,y',y''代入方程5就可以了
y = y1 v1 + y2 v2
y' = y1' v1 + y2' v2
y'' = y1' v1' + y2' v2' + y1'' v1 + y2'' v2
(y1' v1' + y2' v2' + y1'' v1 + y2'' v2) + P(y1' v1 + y2' v2) + Q(y1 v1 + y2 v2)=f

这个是伯努利方程,可化为线性方程,做法是把右边的y^6除到左边来,换元z=y^(-5),左边的第一项y'y^(-6)=-1/5×z',所以原方程化为-1/5×z'+z/x=x^2,这样就是一阶线性非齐次微分方程了,套用通解公式求解即可.

答案是d
根据线性方程的叠加原理,y''''-y=e^x与y''''-y=3sinx 的特解之和是y''''-y=e^x+3sinx 的特解.
y''''-y=0的特征方程是r^4-1=0,根是1,-1,i,-i.
因为1是特征方程的单根,所以y''''-y=e^x的特解可设为Axe^x.
因为±i是特征方程的单根,所以,y''''-y=3sinx 的特解可设为x(Bcosx+Csinx).
所以,y''''-y=e^x+3sinx 的特解可设为x(Ae^x+Bcosx+Csinx).

1.此方程的两个特征根为0和一,可以构造特征方程x^2-x=0,然后就可以反推出原方程.
2.根据叠加原理,如果x,y都是一个齐次线性微分方程的解,则x与y的线性叠加都是微分方程的解,所以实质上的解就只有前两个

(1)二阶常系数齐次线性微分方程 1.方程中每一项是否指：y''+py'+qy-f(x)=0中的：y'',py',qy,f(x)项 ——y''+py'+qy-f(x)=0是二阶常系数非齐次线性微分方程 2."“线性齐次”是方程中每一项都是未知函数或未知函数的导数的一次项的意思.";那么f(x)=0时,是0次项,不是一次项呀 ——f(x)=0是没有这一项,不是0次项.(2)二阶常系数齐次线性微分方程"“线性”是一次的意思,";那么f(x)=x^2时,是2次项 你听不懂?是未知函数或未知函数的导数的一次项,x是什么函数没有关系.,不是一次项呀

微分方程特解,除了有限的几种特殊形式,不然无一定程序,技巧+运气还要很多的灵感.说白了,这不是一般人干的事
通解就是把导数符号换成高阶多次方程,求根,然后.还是找本高数看吧,说得再多都不可能比书上清楚了

c*eps（2x）-0.5x-1.25
因为y'-2y=0 的特征方程为
r-2=0
所以同解 c*eps（2x）
现在只需找一个特解 就可以了
观察右边 是幂函数形式
设 特解为 a x+b
带入 可得 a=-0.5 b=-1.25
eps 为e为底的指数函数
所以 利用解的叠加原理 解为以上

线性就是对于每个阶次,幂指数最高次数为1.或者0,
例如
y'''+4y''+8y'+9y=0
每个阶次的次数的幂指数都是1.
形如下面的就是非线性的.
（y''')^2+4y''+8y'+9y=0
y'''幂指数最高次数为2.

线性微分方程的特征：
1、y是x的函数,y的所有导数,都是x的函数,y跟y 的所有导数都必须是一次幂,
也就是y或y的任何导函数(就是导数),除1之外都不可以有任何的次幂(除了0)；
2、y或y的任何导数都不可以复合：例如siny,不可以；lny,不可以；e^y,不可以；
、、、、、即使是y乘以y‘也不可以；
3、至于y跟y的各阶导数的前面的x,可以是任何只关于x跟常数的函数.如果y跟y
的各阶导数前面均是常数,不包含任何x的运算,这样就退化为常系数微分方程.
根据以上判据,只有D是线性微分方程.
A、ysin(xy)决定了它是非线性的,问题出在sin(xy),如果是sinx,就是线性.
B、ln(x+y)决定了它也是非线性的.lnx是；lny不是；ln(x+y)不是.
C、siny是非线性的,理由同A.

解特征方程就行了
然后代入公式

特征方程本身就是一个一元方程.
高阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是一个一元高次方程.
这里的特征方程一定能够得到与特征方程的次数相同个数的解.
对于一元一次和一元二次方程可以根据固定的公式得到它们的解.
但对于三次或者更高次的方程来说,尽管三次的也有求根公式,但是已经相当的麻烦了.因此只能根据自己的经验来求.

手算只能用分部积分法,结果如下.用符号计算软件 Maple 或 MatLAB 等很容易解决.


Maple 计算命令：
int(exp(-2*x)*x^4,x);


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x>0和x0的.至于为什么解一样,我们不必深究.

线性就是只有两种运算,第一种,常数*参量,第二种 参量+参量
比如微分方程中间,一定是ay''+by'+cy+d=0 y*y'这种项,更不会有lny‘这种项

　　严格的说,积分后lnx里的x是要加绝对值的,但在求解一阶线性微分方程时,由于一端带有一个任意常数C ,所得的正负都算到常数C里了,所以前面加不加绝对值结果都一样.如果你不放心,最好是加绝对值,这样肯定是对的,就不会有疑问了.

不懂追问

用微分算子主要还是要熟悉算子的那些个性质,至于用,就放心大胆用,不会出圈的

Y'' - 2Y'+ 5Y = 0,
设y = E ^ [F（X）],然后
Y'= E ^ [F（X）] * F' （X）,
Y'' = E ^ [F（X）] * [F'（X）] ^ 2 + E ^ [F（X）] * F（X）.
0 = Y“ - 2Y'+ 5Y = E ^ [F（X）] * [F'（x）] ^ 2 + E ^ [F（X）] * F” （X） - 2E ^ [F（X）] * F'（x）+ 5E ^ [F（X）,
0 = F'（X）] ^ 2 + F''（x） - 2F'（x）+ 5,
当F（X）= AX + B,A,b为常数时.
F''（x）= 0,
F'（x）= A.
0 = A ^ 2 - 2A + 5.
2 ^ 2 - 4 * 5 = -16
真正的功能差的一般解决方案
Y = 2c1e [X + B] [COS（2个）] + 2c2e ^ [X + B] [SIN（2X）]
= E ^ X [2c1e BCOS（2个）+ 2c2e ^ bsin（2个）
其中,C1,C2为任意常数.
C1 = 2c1e ^ C2 = 2c2e ^ B,
Y = E ^ X [C1cos（2个）+ C2sin（2X）]
> C1,C2为任意常数.
这是可能的特征方程无实根的申请者,一般解决方法?
我记性不好,不能记住的公式,感谢傻了推..
这种损害是费时的,好处是,把自己推过来,它的来龙去脉清楚一些.
不知道,我傻推你怀疑有点帮助?]

可分离变量微分方程
原方程可化为dp/p=dy/y
两边积分可得lnp=lny+c
p=C*y

你搞混概念了,齐次方程和齐次线性方程是不同的