新知中学初三年级准备购买10只米奇品牌的笔袋，每只笔袋配x（x≥3）支水笔作为奖品，已知A，B两家超市都有这个牌子的笔袋

证明：（1）①分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
∴AB∥CD；
∴ME=NF；
∵S_△ABM=[1/2AB•ME，S_△ABN=
1
2AB•NF，
∴S_△ABM=S_△ABN（1分）
②相等；理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K；
则∠DHA=∠EKB=90°；
∵AD∥BE，
∴∠DAH=∠EBK；
∵AD=BE，
∴△DAH≌△EBK；
∴DH=EK；（2分）
∵CD∥AB∥EF，
∴S_△ABM=
1
2AB•DH，S_△ABG=
1
2AB•EK，
∴S_△ABM=S_△ABG；（3分）
（2）存在．（4分）
因为抛物线的顶点坐标是C（1，4），
所以，可设抛物线的表达式为y=a（x-1）²+4；
又因为抛物线经过点A（3，0），
所以将其坐标代入上式，得0=a（3-1）²+4，解得a=-1；
∴该抛物线的表达式为y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3；（5分）
∴D点坐标为（0，3）；
设直线AD的表达式为y=kx+3，
代入点A的坐标，得0=3k+3，解得k=-1；
∴直线AD的表达式为y=-x+3；
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H；则H点的纵坐标为-1+3=2；
∴CH=CG-HG=4-2=2；（6分）
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m²+2m+3；
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3-m，EF∥CG；
由﹙1﹚可知：若EP=CH，则△ADE与△ADC的面积相等；
①若E点在直线AD的上方，
则PF=3-m，EF=-m²+2m+3，
∴EP=EF-PF=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m；

∴-m²+3m=2，
解得m₁=2，m₂=1；（7分）
当m=2时，PF=3-2=1，EF=1+2=3；
∴E点坐标为（2，3）；
同理当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合；（8分）
②若E点在直线AD的下方，
则PE=（3-m）-（-m²+2m+3）=m²-3m；（9分）
∴m²-3m=2，
解得m3＝
3+
17
2]，m4＝
3−
17
2；（10分）
当m＝
3+
17
2时，E点的纵坐标为3−
3+
17
2−2＝−
1+

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了平行线的性质、三角形面积的求法、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法等知识；同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求高，难度较大．

（1）作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF，
∵S_△ABC=S_△ABD，
∴[1/2]AB•CE=[1/2]AB•DF，CE=DF．
∴四边形CDFE为矩形，AB∥CD；

（2）连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，
∴S_△MEF=[1/2]ME•OE=[1/2]k；S_△NEF=[1/2]NF•OF=[1/2]k，
∴S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，
∴M，N到EF的距离相等，即PM=NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，
∴MN∥EF．

点评：
本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 此题由浅入深探究问题，体现了数学化归思想．是一类比较创新的题型．同学们要擅于归纳总结．

（1）作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF，
∵S_△ABC=S_△ABD，
∴[1/2]AB•CE=[1/2]AB•DF，CE=DF．
∴四边形CDFE为矩形，AB∥CD；

（2）连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，
∴S_△MEF=[1/2]ME•OE=[1/2]k；S_△NEF=[1/2]NF•OF=[1/2]k，
∴S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，
∴M，N到EF的距离相等，即PM=NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，
∴MN∥EF．

点评：
本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 此题由浅入深探究问题，体现了数学化归思想．是一类比较创新的题型．同学们要擅于归纳总结．

（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=四0°，（1分）
∴CG∥DH
∵△ABC与△ABD八面积相等
∴CG=DH（d分）
∴四边形CGHD为平行四边形
∴AB∥CD．（4分）

（d）①证明：连接MF，NE，（6分）
设点M八坐标为（x₁，y₁），点N八坐标为（x_d，y_d），
∵点M，N在反比例函数y＝
得
x（得＞0）八图象o，
∴x₁y₁=得，x_dy_d=得，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x_d，
∴S_△EFM=[1/d]x₁•y₁=[1/d]得，（7分）
S_△EFN=[1/d]x_d•y_d=[1/d]得，（v分）
∴S_△EFM=S_△EFN；（四分）
∴由（1）z八结论可知：MN∥EF．

②由（1）z八结论可知：MN∥EF．（10分）
（若生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）

点评：
本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 本题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决（1）中的证明是解决本题的关键．

（1）作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF，
∵S_△ABC=S_△ABD，
∴[1/2]AB•CE=[1/2]AB•DF，CE=DF．
∴四边形CDFE为矩形，AB∥CD；


（2）连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，
∴S_△MEF=[1/2]ME•OE=[1/2]k；S_△NEF=[1/2]NF•OF=[1/2]k，
∴S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，
∴M，N到EF的距离相等，即PM=NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，
∴MN∥EF．

点评：
本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 此题由浅入深探究问题，体现了数学化归思想．是一类比较创新的题型．同学们要擅于归纳总结．

（1）作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF，
∵S_△ABC=S_△ABD，
∴[1/2]AB•CE=[1/2]AB•DF，CE=DF．
∴四边形CDFE为矩形，AB∥CD；

（2）连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，
∴S_△MEF=[1/2]ME•OE=[1/2]k；S_△NEF=[1/2]NF•OF=[1/2]k，
∴S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，
∴M，N到EF的距离相等，即PM=NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，
∴MN∥EF．

点评：
本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 此题由浅入深探究问题，体现了数学化归思想．是一类比较创新的题型．同学们要擅于归纳总结．

（1）去A超市购买所需费用：y_A=0.9（20×10+10x），即：y_A=9x+180；
去B超市购买所需费用y_B=20×10+10（x-3），
即y_B=10x+170，
当y_A＜y_B时，即9x+180＜10x+170，x＞10，去A超市购买更合算；
当y_A=y_B时，即9x+180=10x+170，x=10，去A超市或B超市购买一样；
当y_A＞y_B时，即9x+180＞10x+170，x＜10，
当3≤x＜10时，去B超市购买更合算，
综上所述：当x＞10时，去A超市购买更合算；当x=10时，去A超市或B超市购买一样；
当3≤x＜10时，去B超市购买更合算；
（2）当x=12时，即购买10只笔袋应配120支水笔，
设总费用为b，在A超市买a只笔袋，
则在B超市买（10-a）只笔袋，送3（10-a）支水笔，
因为A超市所有商品均打九折销售，所以剩[120-3（10-a）]支水笔应在A超市买，
∴b=0.9[20a+120-3（10-a）]+20（10-a）
∴b=0.7a+281，（0≤a≤10），
当a=0时，b=281为最小．
∴最佳方案为：只在B超市购买10只笔袋，同时获得送30支水笔，然后去A超市按九折购买90支水笔．

点评：
本题考点： 一次函数的应用．

考点点评： 主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能力．

（1）作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF，
∵S_△ABC=S_△ABD，
∴[1/2]AB•CE=[1/2]AB•DF，CE=DF．
∴四边形CDFE为矩形，AB∥CD；

（2）连接MF、NE，过M作MP⊥EF，过N作NQ⊥EF，则MP∥NQ，
∴S_△MEF=[1/2]ME•OE=[1/2]k；S_△NEF=[1/2]NF•OF=[1/2]k，
∴S_△MEF=S_△NEF，且同底边EF，
∴M，N到EF的距离相等，即PM=NQ，
∴四边形MPQN为平行四边形，
∴MN∥EF．

点评：
本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 此题由浅入深探究问题，体现了数学化归思想．是一类比较创新的题型．同学们要擅于归纳总结．