15.2.2完全平方公式5.(1)已知x²-3x+1=0,求1/x²（x²分之1）的值（2

教学任务分析
教
学
目
标 知识与能力 完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何背景；体会公式中字母的广泛含义,它可以是数,也可以是整式．
过程与方法 （1）经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力．
（2）重视学生对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力．
情感与态度 了解数学的历史,激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化,有意识地培养学生的创新能力．
教学重点 （1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；
（2）完全平方公式的应用．
教学难点 完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用．
教学方法 创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．
教学过程设计
一、 激发学生兴趣,引出本节内容
活动1 探究,计算下列各式,你能发现什么规律?
（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；
（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；
（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；
（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．
答案：（1）p2+2p+1； （2）m2+4m+4； （3）p2－2p+1； （4）m2－4m+4．
活动2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝ ,是否对任意的a、b,上述式子都成立呢?
学生活动设计
学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算,观察计算结果,寻找一般性的结论,并进行归纳,用多项式乘法法则可得
（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2．?
（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2
=a2－2ab+b2．?
所以
（a+b）2 = a2+2ab+b2,
（a－b）2 = a2－2ab+b2．
教师活动设计
引导学生利用多项式的乘法法则进行推理,证明活动1中发现的结论的正确性．
二、问题引申,总结归纳完全平方公式
活动3
学生活动设计
分组讨论,合作交流,归纳完全平方公式的特点．
归纳
两数和（或差）的平方,等于它们的平方和,加（或减）它们的积的2倍,即
（a+b）2=a2+2ab+b2,
（a－b）2=a2－2ab+b2．
教师活动设计
在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：
（1）左边为两个数的和或差的平方；
（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．
活动4 你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?
活动5 利用完全平方公式计算：
（1）（－x+2y）2； （2）（－x－y）2；
（3）（x+y－z）2； （4）（x+y）2－（x－y）2．
学生活动设计
部分学生板演,然后学生交流分析过程：此题需灵活运用完全平方公式：
（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2,再运用完全平方公式；
（2）题可以转化为（x+y）2,利用和的完全平方公式；
（3）题利用加法结合律变形为〔（x+y）－z〕2,或〔x+（y－z）〕2、〔（x－z）+y〕2,再用完全平方公式计算；
（4）题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算．
〔解答〕
（1）方法一：（－x+2y）2=（2y－x）2 = 4y2－4xy + x2；
方法二：（－x+2y）2=〔－（x－2y）〕2=（x－2y）2 = x2－4xy+4y2；
（2）（－x－y）2 =〔－（x+y）〕2=（x+y）2 = x2+2xy+y2；
（3）（x+y－z）2=〔（x+y）－z〕2 =（x+y）2－2（x+y）•z + z2
= x2+y2+z2+2xy－2 zx－2yz；
（4）方法一：（x+y）2－（x－y）2=（x2+2xy + y2）－（x2－2xy + y2）= 4xy；
方法二：（x+y）2－（x－y）2 =〔（x+y）+（x－y）〕〔（x+y）－（x－y）〕= 4xy．
教师活动设计
让学生分析自己的计算过程中可能出现的问题．
例 运用完全平方公式计算（1）1022； （2）992．
活动六 思考
（a+b）2与（－a－b）2相等吗?为什么?
（a－b）2与（b－a）2相等吗?为什么?
（a－b）2与a2－b2相等吗?为什么?
练习：
1．运用完全平方公式计算
（1）（x+6）2； （2）（y－5）2； （3）（－2x+5）2．
2．下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?
（1）（a+ b）2 = a2 +b2； （2）（a – b）2 =a2 – b2．
三、应用提高、拓展创新
活动7 添括号法则
去括号 a+（b+c） = a+b+c； a－（b+c）= a－b－c．
a+b+c = a+（b+c）； a–b– c = a–（b + c）．
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号．
例 运用乘法公式计算
（1）（x +2y－3）（x－2y +3）； （2）（a + b +c ）2．〔解答〕略
练习 拓展：
已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值．
学生活动设计
学生进行讨论,观察等式的特点,适当变形,发现已知x+y=8,形式是1次的,而所求的x2+y2形式是二次的,因此想到把1次升到2次,于是可以考虑把x+y = 8两边同时平方,得到x2+2xy＋y2＝64,再把xy＝12代入即可（或者直接把x2+y2变形,x2+y2＝（x＋y）2－2xy．
教师活动设计
教师引导学生寻找不同解决问题的方法,鼓励学生大胆交流．
〔解答〕略
四、归纳小结、布置作业
小结：完全平方公式．
作业：习题 15．2 第2、3、4、5、6、7、8、9题．
教学任务分析
教
学
目
标 知识与能力 经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算．
过程与方法 在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力．
情感与态度 在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美．
教学重点 平方差公式的推导和应用．
教学难点 灵活运用平方差公式解决实际问题．
教学方法 创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．
教学过程设计
一、 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加．
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．
活动2 计算下列各题,你能发现什么规律?
（1）（x+1）（x－1）； （2）（a+2）（a－2）；
（3）（3－x）（3+x）； （4）（2m+n）（2m－n）．
再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2．
得出平方差公式
（a+b）（a－b）= a2－b2．
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．
活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形（如图1）,然后拼成如图2的长方形,你能根据图中的面积说明平方差公式吗?

图1 图2
学生活动设计
学生动手操作,观察图形,计算阴影部分的面积．经过思考可以发现,图1中剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为
（a2－b2）．
在图2中,长方形的长和宽分别为（a+b）、（a－b）,所以面积为
（a+b）（a－b）．
这两部分面积应该是相等的,即（a+b）（a－b）= a2－b2．
教师活动设计
引导学生动手操作,自主探索,发现规律,进行归纳,初步感受平方差公式．
在本活动中教师主要关注：
（1）学生能否自己主动参与探索过程；
（2）学生在交流中所投入的情感和态度．
例题 计算：
（1）（3x＋2）（3 x－2）； （2）（b+2a）（2a－b）；
（3）（－x+2y）（－x－2y）．
学生活动设计
学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算,观察计算结果,寻找一般性的结论,并进行归纳．
学生板演,然后进行分析：
上述算式都是两个数的和与差的积,根据结果发现平方差公式．
两个数的和与差的积,等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a－b）=a2－b2．
教师活动设计
在活动3的基础上,进一步验证两数差与两数和的积的规律,充分发挥学生主体性,让学生自主探索、发现归纳结论．
二、知识应用,加深对平方差公式的理解
活动4 下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是（ ）
（1）（x+1）（1+x）； （2）（ a+b）（b－ a）；
（3）（－a+b）（a－b）； （4）（x2－y）（x+y2）；
（5）（－a－b）（a－b）； （6）（c2－d2）（d 2+c2）．
学生活动设计
学生分组讨论,合作交流,归纳何时才能运用平方差公式．
只有（2）、（5）、（6）能用平方差公式．因为（2）（ a+b）（b－ a）利用加法交换律可得（ a+b）（b－ a）=（b+ a）（b－ a）,表示b与 a这两个数的和与差的积,符合平方差公式的特点；（5）（－a－b）（a－b）,同样可利用加法交换律得（－a－b）（a－b）=（－b－a）（－b+a）,表示－b与a这两个数和与差的积,也符合平方差公式的特点；（6）（c2－d2）（d2+c2）利用加法和乘法交换律得（c2－d2）（d 2+c2）=（c2+d2）（c2－d2）,表示c2与d2这两个数和与差的积,同样符合平方差公式的特点．
（1）、（3）、（4）不能用平方差公式,因为表示的不是两个数的和与差的积的形式．
教师活动设计
在交流中让学生归纳平方差公式的特征：
（1）左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的平方差．
利用平方差公式计算：
（1）（5+6x）（5－6x）； （2）（x－2y）（x+2y）；
（3）（－m+n）（－m－n）．
师生活动设计
首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式．（5+6x）（5－6x）是5与6x这两个数的和与差的积的形式；（x－2y）（x+2y）是x与2y这两个数的和与差的积的形式；（－m+n）（－m－n）是－m与n这两个数的和与差的形式,于是可以运用平方差公式．
答案：（1）25－36x2； （2）x2－4y2； （3）m2－n2．
三、应用提高、拓展创新
活动5 科学探究
给出下列算式：32－12 = 8 = 8×1；
52－32 = 16 = 8×2；
72－52 = 24 = 8×3；
92－72 = 32 = 8×4．
（1）观察上面一系列式子,你能发现什么规律?
连续两个奇数的平方差是8的倍数．
（2）用含n的式子表示,即
（2n+1）2－（2n－1）2 = 8n （n为正整数）．
（3）计算 20052－20032= 8016 , 此时n=1002．
四、归纳小结、布置作业
小结：
1．通过本节课的学习我有哪些收获?
2．通过本节课的学习我有哪些疑惑?
3．通过本节课的学习我有哪些感受?作业：1．第153页 练习 习题 15．2 第1题．