求施密特正交化的验证过程把a1,a2,...ar规范正交化,取b1=a1b2=a2-[b1,a2]b1/[b1,b1].

西湖水煮鱼2022-10-04 11:39:541条回答

求施密特正交化的验证过程
把a1,a2,...ar规范正交化,取b1=a1
b2=a2-[b1,a2]b1/[b1,b1]
...
br=ar-[b1,ar]b1/[b1,b1]-[b2,ar]b2/[b2,b2]-...-[br-1,ar]br-1/[br-1,br-1]
容易验证b1,...br两两正交,且与a1,a2,...ar等价.
验证b1与br的就可以了.

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冷月诗魂 共回答了20个问题 | 采纳率95%
其实很简单呀:显然b2、b3都与b1正交,于是假定n<r时bn都与b1正交,从而:[b1,br]=[b1,ar-[b1,ar]b1/[b1,b1]-[b2,ar]b2/[b2,b2]-...-[br-1,ar]br-1/[br-1,br-1]],考虑到[b1,bn]=0,n<r[b1,br]=[b1,ar-[b1,ar]b1/[b1,b...
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kingboss001 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%
(2)设a1^T=(1,1,1),a2^T=(0,1,1),a3^T=(0,0,1)用施密特解一道 β1=α1=(1,1,1)^T β2=α2-[<α2,β1>/<β1,β1>
谁能给解释下“施密特正交化过程”的原理
谁能给解释下“施密特正交化过程”的原理
[v(1)]^T*{v(2) - [v(1)]^Tv(2)v(1)}
这个式子中^ T 还有这个式子看不太懂?
附:您的回答:先看2个(列)向量的正交化.
设2向量V(1),V(2)线性无关.
v(1) = V(1)/|V(1)|,v(2) = V(2)/|V(2)|是对应的2个单位向量.
则,
[v(1)]^T*{v(2) - [v(1)]^Tv(2)v(1)}
= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^T*[v(1)]^Tv(2)*v(1)
= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^Tv(2)*[v(1)]^T*v(1)【注意到,[v(1)]^Tv(2)是1个数.因此,可以提到乘积的前面来.而v(1)是单位向量,因此[v(1)]^Tv(1)=|v(1)|^2 = 1^2 = 1.】
= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^Tv(2)*1
= 0
所以,
向量v(1)与v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)相互垂直.
u(1)=v(1),u(2) = {v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)}/|v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)|就是相互垂直的2个单位向量.
假设v(1),v(2),...,v(k)是k个相互垂直的单位向量,v(k+1)与v(1),v(2),...,v(k)线性无关.
则对于 i = 1,2,...,n.都有,
[v(i)]^T{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(i)]^T*[v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(i)]^T*[v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^T*[v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(i)]^T*[v(k)]^Tv(k+1)v(k)
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)*[v(i)]^T*v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)*[v(i)]^T*v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)[v(i)]^T*v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)[v(i)]^T*v(k)
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)*0 - [v(2)]^Tv(k+1)*0 - ...- [v(i)]^Tv(k+1)*1 - ...- [v(k)]^Tv(k+1)*0
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(i)]^Tv(k+1)
= 0.
因此,
向量{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}和v(1),v(2),...,v(k)都相互垂直.
u(1)=v(1),u(2)=v(2),...,u(k)=v(k),u(k+1) = {v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}/|{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}| 是相互垂直的k+1个单位向量
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Jasmine2105 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%
2^3 表示 2的3次幂.
对矩阵A,A^T表示矩阵A的转置矩阵【就是行列互换以后的矩阵】.
对列向量V,V^T表示列向量A转置后的行向量.
一组向量的施密特正交化是它在一组基下的坐标的正交化然后乘以这组坐标吗?为何?
一组向量的施密特正交化是它在一组基下的坐标的正交化然后乘以这组坐标吗?为何?
施密特正交化我会的,就是问如果一组向量不直接正交化而是先把它在一组正交基下的坐标正交化以后再乘以这组基,是不是跟直接正交化的结果是一样的?
例如:A在正交基B下坐标为C,A的施密特正交化为D,C的施密特正交化为E,那么D=BE,对否?
蓝精灵的爱1年前2
汪汪92 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
变换结果是不一样的.施密特正交化是依赖于基的,如果你把施密特变换写成矩阵形式就可以看出来,设A为变换矩阵:
Y=AX,Y=BP-1PX.
A不等于B的.因为B的内积是在PX变换后计算的.你再将PX变换回来,即P-1PX,但没有将B
变换回来.
其实要获得正交基,并不只有施密特变换一种方法.
求实对称矩阵本身时 什么时候需要用施密特正交化和规范化 有的题目直接求出特征值的特征向量就求出了
求实对称矩阵本身时 什么时候需要用施密特正交化和规范化 有的题目直接求出特征值的特征向量就求出了
求实对称矩阵本身时 什么时候需要用施密特正交化和规范化有的题目直接求出特征值的特征向量就求出了实对称矩阵 而有的题目求出特征向量后继续规范化再求实对称矩阵.


云中丽影儿1年前1
星际无限美 共回答了12个问题 | 采纳率100%
若涉及二次型,则需要正交单位化.这是因为二次型的变换是合同变换,需要正交相似
而单纯考虑实对称矩阵,就不必正交单位化了
此时正交单位化的唯一优势是 不必求 P^-1,P^-1 = P^T
给出的几个例题都不必正交单位化
用施密特正交化方法将下列向量组正交单位化 a1=(1,2,-1)^T ,a2=(-1,3,1)^T,a3=(4,-1,0
用施密特正交化方法将下列向量组正交单位化 a1=(1,2,-1)^T ,a2=(-1,3,1)^T,a3=(4,-1,0)
58841351年前1
雨落肩上 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
你直接套用施密特正交化公式不就行了吗?公式不知道翻书或者百度.
谁能给解释下“施密特正交化过程”的原理?
谁能给解释下“施密特正交化过程”的原理?
我的意思就是想问一下 怎么经过这一系列过程,就成为了规范正交基了呢?
751128wd1年前1
三角圆舞 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%
先看2个(列)向量的正交化.
设2向量V(1),V(2)线性无关.
v(1) = V(1)/|V(1)|,v(2) = V(2)/|V(2)|是对应的2个单位向量.
则,
[v(1)]^T*{v(2) - [v(1)]^Tv(2)v(1)}
= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^T*[v(1)]^Tv(2)*v(1)
= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^Tv(2)*[v(1)]^T*v(1)【注意到,[v(1)]^Tv(2)是1个数.因此,可以提到乘积的前面来.而v(1)是单位向量,因此[v(1)]^Tv(1)=|v(1)|^2 = 1^2 = 1.】
= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^Tv(2)*1
= 0
所以,
向量v(1)与v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)相互垂直.
u(1)=v(1),u(2) = {v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)}/|v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)|就是相互垂直的2个单位向量.
假设v(1),v(2),...,v(k)是k个相互垂直的单位向量,v(k+1)与v(1),v(2),...,v(k)线性无关.
则对于 i = 1,2,...,n.都有,
[v(i)]^T{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(i)]^T*[v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(i)]^T*[v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^T*[v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(i)]^T*[v(k)]^Tv(k+1)v(k)
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)*[v(i)]^T*v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)*[v(i)]^T*v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)[v(i)]^T*v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)[v(i)]^T*v(k)
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)*0 - [v(2)]^Tv(k+1)*0 - ...- [v(i)]^Tv(k+1)*1 - ...- [v(k)]^Tv(k+1)*0
= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(i)]^Tv(k+1)
= 0.
因此,
向量{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}和v(1),v(2),...,v(k)都相互垂直.
u(1)=v(1),u(2)=v(2),...,u(k)=v(k),u(k+1) = {v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}/|{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ...- [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ...- [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}| 是相互垂直的k+1个单位向量.
施密特正交化过程两个向量组为什么等价?
心宝贝1年前2
shunshuiliu 共回答了26个问题 | 采纳率96.2%
这个写起来太麻烦,我把意思说一下吧
施密特正交化过程:
b1 = a1
b2 = a2 - k1b1
是这样吧
变换一下就有
b1 = a1
b2 = a2 - k1a1
所以,b1,b2 可由 a1,a2 线性表示.
同样有
a1 = b1
a2 = b2 + k1b1
所以 a1,a2 可由 b1,b2 线性表示
所以 现个向量组可互相线性表示,所以它们等价.
可推广到一般情况
施密特正交化如何计算a1=(1,1,0)T a2=(1,0,1)T a3=(0,1,1)T 把这组向量用施密特正交化过程
施密特正交化如何计算
a1=(1,1,0)T a2=(1,0,1)T a3=(0,1,1)T 把这组向量用施密特正交化过程正交规范化.
看书做了很多次还是不对,知道正交化过程,但是计算有问题.比如内积够怎么做除法?
快乐很远1年前1
娃哈哈d10 共回答了24个问题 | 采纳率95.8%
简单,但是不好打上来啊,书上不都有例题嘛
令b1=a1=(1,1,0)T
b2=a2-([b1,a2]/[b1,b1])*b1=(1,0,1)T-1/2(1,1,0)=1/2(1,-1,2)
b3同理
再把b1,b2,b3,单位化就行了啊
[b1,a2]就是的乘积
实在不好打啊 搜狗又坏了不得 我在用标准啊
施密特正交化是怎么回事?在明确“实对称矩阵”可以相似对角化后,我们求得的特征值所对应的“特征向量”拼起来矩阵P已经满足将
施密特正交化是怎么回事?
在明确“实对称矩阵”可以相似对角化后,我们求得的特征值所对应的“特征向量”拼起来矩阵P已经满足将A与对角矩阵相似了,此时是要找到一个正交矩阵T,为此把P人为进行施密特正交化,构造出正交矩阵,那么此时的P是被改变了吗?空间内是怎样的变化?还能保证改造出来的矩阵T仍是可以让A与原来的那个对角阵相似吗?
guoaboli1年前1
黑色阳光 共回答了23个问题 | 采纳率82.6%
施密特正交化重要的一步是单位化,正交化后的P当然变化了,因为如果不正交化P就不一定是正交矩阵,正交化后是正交阵,由于正交阵的转置就是逆,可以保证相似,而且还可以省去矩阵求你的繁琐过程,只需求转置就行了
施密特正交化过程向量n1=(1,1,0)^T,n2=(-1,0,1)^T2个向量都是列向量,用施密特正交化这个求,是n2
施密特正交化过程
向量n1=(1,1,0)^T,n2=(-1,0,1)^T
2个向量都是列向量,
用施密特正交化这个求,是
n2化成 n1-(n2,n1)/(n1,n1)*n1
我想问的是
(n2,n1)/(n1,n1)这个式子是什么意思,怎么求?
Asuka1372061年前2
钟洛水 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%
(n2,n1)的意思是 向量 n2 与向量 n1的 内积
即对应坐标相乘的和
例如 (n2,n1) = 1*(-1) + 1*0 + 0*1 = -1
求施密特正交化有什么用?
greatpt1年前3
cldsj 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%
把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特(Schimidt)正交化过程.
把a1,a2,...ar规范正交化,取b1=a1
b2=a2-[b1,a2]b1/[b1,b1]
...
br=ar-[b1,ar]b1/[b1,b1]-[b2,ar]b2/[b2,b2]-...-[br-1,ar]br-1/[br-1,br-1]
容易验证b1,...br两两正交,且与a1,a2,...ar等价.
然后单位化,取e1=b1/||b1||,e2=b2/||b2||,...er=br/||br||
就是V的一个规范正交基.
上述从无关向量组A导出正交向量组B的过程就是施密特(Schimidt)正交化过程.
r和r-1什么的都是脚标哦,这里打不出来.
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晕7991年前1
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1=a1=(1,2,2,-1)^T
b2=a2-[b1,a2]*b1/[b1,b1] = (2,3,-3,2)^T
b3=a3-[a3,b1]*b1/[b1,b1]-[a3,b2]*b2/[b2,b2] = (2,-1,-1,-2)^T
线性代数,二次型化正交变换成标准型时,只要重的特征值都要施密特正交化吗?
qf04211年前1
双黄连颗粒 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%
这不是例外不例外的问题
是相应齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的基础解系 是否正交向量组的问题
如果你求出的基础解系中的向量两两正交, 则就不必正交化了
比如齐次线性方程组是 x1+x2+x3=0
基础解系可以取为 (1,-1,0)^T, (1,1,-2)^T