如图BC是半圆⊙O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.
![](images/u2507.png)
![](upload/img/7225ce798d01bedc8695d50744b3d5a0_thumb.jpg)
(1)求证:AC•BC=2•BD•CD;
(2)P是BD的中点,过P作PQ∥AB交OA于点Q,若AE=3,CD=2
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海南康美 共回答了18个问题
|采纳率88.9%- 解题思路:(1)连接OD交AC于H,根据垂径定理求出OD⊥AC,AC=2AH=2CH,证△CDB∽△DHC,推出BD•CD=HC•BC即可;
(2)设EH=x,AD2=DH2+AH2,证△DHE∽△CHD,推出DH2=EH•AH,得到方程,求出方程的解,求出DH、AH、AC、AB,连接OP,延长OP交AB于M,根据平行线分线段成比例定理得到
BM=OD=5,OP=PM,根据三角形的中位线定理求出即可.(1)证明:连接OD交AC于H,
∵D是弧AC的中点,
∴
AD=
CD,
∴∠ACD=∠DBC,
∵BC是圆O的直径,
∴∠BDC=90°,
∵弧AD=弧CD,OD是半径,
∴OD⊥AC,AC=2AH=2CH,
∴∠DHC=∠BDC=90°,
∵∠ACD=∠DBC,
∴△CDB∽△DHC,
∴[BD/HC]=[BC/CD],
BD•CD=HC•BC,
∴2BD•CD=2HC•BC,
即AC•BC=2•BD•CD.
(2)∵弧AD=弧CD,
∴OD⊥AC,AC=2AH=2CH,
∴∠DHC=∠DHE=90°,∠DEH+∠EDH=90°,
∵∠EDH+∠CDH=90°,
∴∠DEH=∠CDH,
∴△DHE∽△CHD,
∴DH2=EH•AH,
设EH=x,AD2=DH2+AH2,
∴x(x+3)+(3+x)2=(2
5)2,
解得:x=1,DH=2,
设圆O的半径是R,
在△OAH中,由勾股定理得:R2=(R-2)2+(3+1)2,
解得:R=5,BC=10,OD=5,AC=2×4=8,
由勾股定理得:AB=
BC2−AC2=6,
连接OP,延长OP交AB于M,
∵BC是圆O的直径,
∴∠B=90°,
∵OD⊥AC,
∴OD∥AB,
∴[DO/BM]=[DP/BP]=[OP/PM],
∵P为BD的中点,
∴BP=PD,
∴BM=OD=5,OP=PM,
∴PQ=[1/2]AM=[1/2](AB-OD)=[1/2]×(6-5)=[1/2],
答:PQ的长是[1/2].点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;垂径定理;圆周角定理;平行线分线段成比例.
考点点评: 本题主要考查对平行线分线段成比例定理,勾股定理,相似三角形的性质和判定,垂径定理,圆周角定理等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键. - 1年前
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∴ΔABC是等腰三角形
∴圆心O在BC边的高上
连接AO延长线交BC于D则D为BC中点
∴AD⊥BC
∵sin∠ABC=4/5
∴AD=ABsin∠ABC=10*4/5=8
∴根据勾股定理:
BD=√(AB²-AD²)=6,
∴BC=2BD=12
设OA=OB=r
则OB²=BD²+OD²
r²=36+(8-r)²
∴36+64-16r=0
∴r=25/4
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