用拉格朗日常数法解求表面积为a^2,而体积最大的长方体的长宽高la拉格朗日乘数法

读者一定记住说到函数的中值定理一定是该函数在某点（如a或0）的中值定理因为中值定理是用来解决函数的非特殊点的函数值这往往很困难甚至不可能求得出,因此我们可以考虑在这一点附近找特殊值用极限来逼近,这个公式通常用来求一些难以求出的极限问题,至于与拉格朗日等关系吗建议读者多看书,多思考思考!希望对你有些启发!

函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.

拉格朗日的定理要求在开区间（）内选取点,左右端点是取不到的.
[y(2)-y(-1)]/2-(-1)=dy/dx(x0) -1

不行的

拉格朗日配方法 是可逆变换, X=PY, P一定可逆, 故P是方阵

是一样的.各有各的优势与缺点,拉氏插值形式对称,便于记忆便于编程,但是系数要依赖于插值节点,在增加或减少节点时,必须重新计算.牛顿插值就解决了拉氏插值的缺点.求解线性方程组求解还是很麻烦的,为了避免这个麻烦事,才用插值公式的.

f(x) =1/(x-1)=(x-1)^(-1)
于是
f'(x) = -(x-1)^(-2),f''(x) = -(-2)(x-1)^(-3),· · · ,f^(n)(x) = (-1)^n*(n!)(x-1)^(n+1)
再求x=0的各个值
f(0)=-1,f'(0)=-1,f''(0)=-2,.f^(n)(0)=-n!
从而带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式为
1/(x-1)=-1-x-x²-...-x^n+o(x^n)

f(x)=(1-x)/(1+x)=-1+2/(1+x)
f '(x)=-2/(1+x)²
f ''(x)=2*2!/(1+x)³
f '''(x)=-2*3!/(1+x)^4
.
看出规律,正负相间
[f(x)]^(m)=2(-1)^m*m!/(1+x)^(m+1)
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力学为主.拉格朗日与欧拉观点的区别与联系
拉格朗日与欧拉观点的区别 ：拉格朗日观点 是 用 拉格朗日 坐标,是 跟驰 物点 的；欧拉观点 用的是欧拉坐标,是几何空间的点.方程组也有所不同.
联系拉格朗日与欧拉观点的联系：都能 解决 有关问题,相辅相成.用的物理 原理 相同.

如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b],使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

f(x)=1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+...+(-1)^(n-1)(x-1)^n+R
R=(-1)^n(x-1)^(n+1)/ξ^(n+2) ξ是1与x之间的某个值
f'(x) f"(x)...求出来带入1就行了,按x-1展开也就是在x=1点的泰勒展开式

设三个零点分别为a＜b＜c
则由罗尔定理,存在m∈（a,b）,n∈（b,c）
使f‘（m）=f‘（n）=0
所以f‘（x）在[m,n]上满足罗尔定理的所有条件
于是存在ξ∈（m,n）
使f‘‘（ξ）=0

拉格朗日是法国著名数学家、物理学家.而,
这就是一句俏皮话而已,没有特别的意思,与”吓了我一跳“意思差不多.

Sn=f（x）-Rn,如果Rn趋于0,两把同时取极限,Sn一定是收敛到f(x)的.

表面上看,
柯西中值定理包含泰勒中值定理（因为泰勒定理是由柯西定理证明出来的）,泰勒包含拉格朗日中值定理,拉格朗日包含罗尔中值定理.
从本质上看,【这几个定理是等价的】.
因为,拉格朗日可以推出柯西定理,柯西定理可以推出泰勒定理,泰勒定理可以推出拉格朗日定理.而拉格朗日与罗尔可以互推.所以这几个定理本质上是等价的.
教科书上所说的包含关系指的是形式上的.并不是本质上的.
罗比达法则是柯西定理在求极限时的一个应用.

f（x）=f（x0）＋f‘（ξ）（x-x0）
确实是拉格朗日中值公式.

是由(2m+1)π/2得来的

这个就是高中三角函数的内容,我们知道sin(x+π/2)=(-1)^0*cosx,sin(x+3π/2)=sin(x+π/2+π)=-sin(x+π/2)=(-1)^1*cosx,同理six(x+5π/2)=(-1)^2*cosx...以此类推,就有sin[x+(2n+1)π/2]=(-1)^n*cosx

f(x)=x^(1/2) f(4)=2
f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4
f''(x)=-1/2^2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5
f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8
f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)
∴函数f（x）＝√x按（x－4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式:
√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4

公式有问题.
应该是
这样才对.


改正公式之后,把m=1代入 恰好就等于 (-1)^(1-1) x^(2-1)/(2-1)!+ R2 = x+R2
所以sinx ≈x

不是
带拉格朗日余项的泰勒公式是描述整体
皮亚诺余项的泰勒公式描述局部
描述的是什么呢?
是函数和各阶导数的关系.

你需要拉格朗日余项公式

由于f中不含平方项,解法中的换元变换,是很常用的一种将积为平方的方法,思路来源于完全平方如,4xy=(x+y)^2-(x-y)^2
将y用x2代替就是解法中的设法了.

这个题目的意思是：把要展开的函数 f（x）= sin x 的各阶导数代进去.因为 x = 0 的导数是循环出现的,所以原公式中的奇数项都是“0”.题目中的“x”那一项,其实是原公式中的第二项“f'（0）x”换句话说,所有原公式的奇数项都是“0”,4k+2项的系数都是正的,4k项的系数都是负的.因为分母是从“0!”开始的,所以分母是“（2m-1）!”的那一项（即：除了余项外的最后一项）,其实是原公式的第2m项,即第n项.它是一个偶数项,那么就要区分它的正负.如果m是个奇数,第2m属于4k+2项,系数应该是正的；如果m是个偶数,第2m属于4k项,应该是负的.说道这里,你应该明白了：若m是奇数,为了取系数为正,应该是-1的偶次方,所以应该是m-1次方（当然,m+1次方等等也可以）若m是偶数,为了取系数为负,应该是-1的奇次方,同样应该是m-1次方（当然,m+1次方等等也可以） 总结：要具体看是第几项,而不用看系数的方次的表达形式.

用拉格朗日中值定理证明问题,很关键的就是,
对【哪个函数】、在【哪个区间】来用定理.
所问的问题恰好就是这个.
①为什么要令那样的f(t),就是因为,
Lnt与题目中的不等式能够【建立联系】并且证明出来.
比如令一个sin函数,它与需要证明的不等式【联系不起来】
不妨说,构造辅助函数,就如同几何证明题中辅助线的添加.
②因为f(t)=Lnt在t>0时都是连续的,所以,f(t)在 [1,1+x] 上是连续的.
③因为§是有一个范围的,所以,可以对§进行放缩,
则得到倒数第二行x/§的放缩结果,
是把这个结果用到,倒数第三行用了拉格朗日后的那个等式左边,得出答案.

对你提出n取奇数2m-1的情形,余项展到2m次,你可以看看得到的结果sin(θx+mπ）x^2m/(2m)!而sin(θx+mπ)~θx,事实上余项还是和x^(2m+1)同阶.并且造成误差估计偏大,事实上更小.
sinx任意阶可导,余项展到技术次方,没有这些问题.

因为要收敛

由柯西中值定理,得f'(x1)=(f(b)—f(a))/(b—a),g'(x2)=(g(b)—g(a))/(b—a),二式相除,只能得到
f'(x1)/g'(x2)=(f(b)—f(a))/(g(b)—g(a)),你无法保证x1=x2,所以无法直接利用柯西中值定理.

请看以下示意图 大约经过100多小时,“嫦娥2号”将抵达38万公里之外的轨道设计不同：嫦娥二号轨道设计有四点变化：一是嫦娥二号由运载火箭直接

展开到4次余项的形式：
cos(x)=1-x^2/2+cos(x0)*x^4/24
x0位于0到x之间,是中值点
你这道题目肯定x的范围有一个限制
在这个限制下
cos（x0）>=0
所以cos(x0)*x^4/24>=0
所以1-x^2/2小于等于cos(x)
另一边同理

1、先求1/(1+x)=(1+x)^(-1)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+(-1)^(n+1)*ξ^n,其中ξ在0与x之间
如果不会代,就把上面这个式子作为一个公式记住,这个式子本身也是十分重要的.
f(x)=(1-x-1+1)/(1+x)=2/(1+x)-1
=2(1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+(-1)^(n+1)*ξ^n)-1
=1-2x+2x^2-2x^3+...+(-1)^n2x^n+(-1)^(n+1)*2ξ^n 其中ξ在0与x之间
2、∫arctanX/(x^2*(1+x^2)) dx
=∫arctanx/x^2 dx-∫arctanx/(1+x^2) dx
=-∫arctanx d(1/x)-∫arctanx d(arctanx)
=-1/xarctanx+∫(1/x)*1/(1+x^2) dx-(1/2)(arctanx)^2
下面计算中间这个积分
∫1/[x(1+x^2)] dx
先拆项：1/[x(1+x^2)]=A/x+(Bx+C)/(1+x^2),相加比较系数后得：A=1,B=-1,C=0
则∫1/[x(1+x^2)] dx=∫1/x dx-∫x/(1+x^2) dx
=ln|x|-1/2∫1/(1+x^2) d(x^2)
=ln|x|-ln(1+x^2)+C
代回原式得：原式=-1/xarctanx+ln|x|-ln(1+x^2)-(1/2)(arctanx)^2+C
3、注意到,所求面积=三角形面积分-四分之一椭圆面积
而那个“四分之一椭圆面积”是不会变的,因此本题就是求三角形面积的最小值.
设P点坐标为(u,v),先求该点处切线斜率：椭圆两边求导2x/a^2+2yy'/b^2=0
将(u,v)代入得：y'=-(b^2u)/(a^2v)
切线方程为：y-v=-(b^2u)/(a^2v)*(x-u)
切线与x轴交点为：(a^2v^2+b^2u^2)/(b^2u)
切线与y轴交点为：(a^2v^2+b^2u^2)/(a^2v)
注意,u,v是满足椭圆方程的,由椭圆方程知：a^2v^2+b^2u^2=a^2b^2,则
切线与x轴交点为：a^2/u
切线与y轴交点为：b^2/v
则三角形面积为：(1/2)*(a^2b^2)/(uv)
求其最小值点,相当于求uv的最大值点
本题转化为求uv的最大值,且u,v满足u^2/a^2+v^2/b^2=1
用拉格朗日乘数法
设F(u,v,λ)=uv+λ(u^2/a^2+v^2/b^2-1)
Fu=v+2λu/a^2=0
Fv=u+2λv/b^2=0
u^2/a^2+v^2/b^2-1=0
解得：u^2/a^2=v^2/b^2
得：u=a/√2,v=b/√2

只要n阶可导就可以了,因为Peano余项不一定要用Lagrange余项来推导.
只能说当n+1阶可导时Lagrange余项要比Peano余项强.
补充：
1.带Peano余项的Taylor公式可以反复利用L'Hospital法则来推导.带Lagrange余项的Taylor公式需要用中值定理来推导,这个公式也叫Taylor中值定理.
2.Peano余项需要的条件弱,结论也弱,Lagrange余项需要的条件强,结论也强得多.Peano余项只能反映局部性质,Lagrange余项则反映了全局性质,因为这个是中值定理.

拉格朗日点的五个特解L1　　在M1和M2两个大天体的连线上,且在它们之间.
例如：一个围绕太阳旋转的物体,它距太阳的距离越近,它的轨道周期就越短.但是这忽略了地球的万有引力对其产生的拉力的影响.如果这个物体在地球与太阳之间,地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力,因此增加了这个物体的轨道周期.物体距地球越近,这种影响就越大.在L1点,物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期.太阳及日光层探测仪（SOHO）（NASA关于SOHO工程的网站 ）即围绕日-地系统的L1点运行.L2　　在两个大天体的连线上,且在较小的天体一侧.
例如：相似的影响发生在地球的另一侧.一个物体距太阳的距离越远,它的轨道周期通常就越长.地球引力对其的拉力减小了物体的轨道周期.在L2点,轨道周期变得与地球的相等.
L2通常用于放置空间天文台.因为L2的物体可以保持背向太阳和地球的方位,易于保护和校准.
威尔金森微波各向异性探测器已经围绕日-地系统的L2点运行.詹姆斯·韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的L2点上.
另：嫦娥二号卫星于2011年6月9日16时50分05秒在探月任务结束后飞离月球轨道,飞向第2拉格朗日点继续进行探测,飞行距离150万公里,预计需85天.
北京时间8月25日23时27分,经过77天的飞行,“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发,受控准确进入距离地球约150万公里远的、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道.L3　　在两个大天体的连线上,且在较大的天体一侧.
例如：第三个拉格朗日点,L3,位于太阳的另一侧,比地球距太阳略微远一些.地球与太阳的合拉力再次使物体的运行轨道周期与地球相等.
一些科幻小说和漫画经常会在L3点描述出一个“反地球” .L4　　在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上,且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方.此点稳定的原因在于,它到两大物体的距离相等,其对两物体分别的引力之比,正好等于两大物体的质量之比.因此,两个引力的合力正好指向该系统的质心,合力大小正好提供该物体公转所需之向心力,使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡.该系统中,两大物体和L4点上物体围绕质心旋转,旋转中心与质心重合.事实上,L4与L5点上的物体的质量不须小到可忽略.
L4和L5点有时被称为三角拉格朗日点或特洛伊点.
L5　　在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上,且在较小天体围绕较大天体运行轨道的后方.
L4和L5有时称为“三角拉格朗日点”或“特洛伊点”.
土卫三的L4和L5点有两个小卫星,土卫十三和土卫十四.土卫四在L4点有一个卫星土卫十二.

柯西中值定理也叫Cauchy中值定理.设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续,（a、b）可导,g'(x)≠0(x∈(a,b)) 则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立
编辑本段几何意义
若令u=f(x),v=g(x),这个形式可理解为参数方程,而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率,f'(ξ)/g'(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率,在定理的条件下,可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦,这一点Lagrange也具有,但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线,还适用于参数方程表示的曲线.当柯西中值定理中的g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.

1.在满足定理条件的前提下,函数f（x）上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a,b处对应的两点（f（a）和f（b）点的连线平行）.f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a）,等号后为x=a,b两点的连线斜率,等号前为f（x）上一点的导数的值,也就是f（x）上一点的斜率,两斜率相等,两线平行.这是几何上的理解方式.

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理,前一个是后一个的特例.我不知道这三个定理有什么用处,因为在函数表达式的导数可以很方便求出来的情况下,直接求导求值就可以了,不用说用这三个定理找有多少个零点等等,所以感觉好像就是证明不等式的时候能用用,拉格朗日将(f(a)-f(b))/(a-b)换为f'(ξ),柯西定理将拉格朗日中（a-b）的部分变为相似的函数形式,也用来求不等式.
泰勒定理是将函数的某一点处及很小领域转为常数和不同阶无穷小之和.
洛必达法则用于无穷小之间的同阶,高阶,等阶的确定,即lim0/0时,不能计算.于是就降阶,还是lim0/0,再降阶,直到结果为0高阶,1等阶,C同阶,∞低阶.
而泰勒公式能用求0/0,正是将前面几阶为0的去掉,将高阶去掉,只保留有值的最低阶.若分子分母阶相同,即同阶就可以求C之比.
不知道你看懂没有.

如果只是Taylor展式,则不需要|x|

f(x)=f'(0)x+f"(θx)x^2/2,其中θx为x的函数,θx∈[-a,a]
对上式两边进行积分,并根据积分中值定理,∫f(x)dx=∫f'(0)xdx+∫f"(θx)x^2/2dx=f'(0)(a^2-(-a)^2)+f"(ξ)/2(a^3/3-(-a)^3/3)=f"((ξ)a^3/3,其中ξ∈[-a,a]

可以的,就是按你的说法近似都没有意义了!展开就是近似的.

令F(x)=x^2f(x),则F(0)=0=F(1),且F(x)可导.由Rolle中值定理,存在a位于(0,1),
使得F'(a)=0,即2af(a)+a^2f'(a)=0.
注意到a不等于0,消掉a得
2f(a)+af'(a)=0,
结论成立.

请参考同济大学出版的高等数学第六版上册141页 记得采纳我的答案哦，祝你学习进步

要是用高等数学方法,拉格朗日法求极值
用初等数学方法,有许多种.我的方法是做变换
令x = 2x'+3y',y = 3x'-2y',带入计算
结果是 x = 8/5,y = 3/5,最短距离为 1/√13
唉!拉格朗日还有什么算头,直接套公式不就行了.
f(x,y) = |2x+3y-6| - L(x^2+4y^2-4)
用偏微分求极值,唯一一点要考虑的是这里有个绝对值,求出后验算符号就行了.
解方程组,得到
L = 5/8,x = 8/5,y = 3/5
最短距离为 1/√13

其实是有可能的,因为泰勒展式是以在x0处附近的点为考量,所以当x越靠近x0其展式的值越接近真值.
所以在x0附近的领域内,Rn(x)是绝对可以保证极限为零,而且随n增大,该领域的长度也会增大.
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其实Rn(x)是(x-x0)^n的高阶无穷小``光这一点就够了`

当n较大时,第n项可以近似看成0,但不能看成1