和差化积公式的推导过程

和差化积公式：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

sinα+sinβ = 2sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ = 2cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ = 2cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ = -2sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]

sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]=sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2=1/2（sin2θ+sin2φ）.
sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]=sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
之前的这部分是对的
但是最后1/2（sin2θ+sin2φ）这个写错了 应该是1/2（sinθ+sinφ）

sin(A-3/4π)cos(A-π/4)
=sin(A-3/4π)sin(π/2-(A-π/4))
=sin(A-3/4π)sin(-A+3/4π)
=-sin(A-3/4π)sin(A-3/4π)
=-1/4
即sin^2(A-3/4π)=1/4
根据二倍角公式
cos2A=1-2sin^2A
求出cos2A
再次二倍角公式,进而求出cos4A
以下略去.

cos(x+y)=cos x * cos y - sin x * sin y
cos(x-y)=cos x * cos y +sin x * sin y
所以 cos x *cos y=1/2 *(cos(x+y)+cos(x-y))
余下的公式同理可推

sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]

在解三角形时给出两角的三角和的关系,如cos2b+cos2c=0得cos(b+c+b-c)+cos(b+c-b+c)=2cos(b+c)cos(b-c)=0,而在三角形中cos(b+c)不为0,得cos(b-c)=0.这个也可以用来证明在三角形中sina>sinb等价于a>b,你可以自己试试

1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinAcosA
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12?[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12?[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=12?[sin(a+b)+sin(a-b)]
5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
6.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
7.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
8.其它公式(推导出来的 ) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba a?sin(a)-b?cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2

正弦、余弦的和差化积
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
　　因为
　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
　　将以上两式的左右两边分别相加,得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
　　设 α+β=θ,α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
　　把α,β的值代入,即得
　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
　　法2
　　根据欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx
　　令x=a+b
　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
口诀
　　正加正,正在前,余加余,余并肩
　　正减正,余在前,余减余,负正弦
　　反之亦然
在百科看看吧,
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
　　∴等式成立
.0.0

我试过了,很麻烦.要利用正余弦平方和为1以及题目两个方程,四个方程可以解出sina和cosa用sinb和cosb表示.再代入tan(a+b)=(sinacosb+cosasinb)/(cosacosb-sinasinb)可得解.不过此法很麻烦,建议记住积化和差以及和差化积公式.

和差化积sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]积化和差sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)]cosxcosy=1/...

这是定积分,将它还原,sinx‘=cosx,cos’x=-sinx,sinx+cosx=（cosx-sinx）’

和差化积公式：sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
参考:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

对数的性质及推导
用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数
*表示乘号,/表示除号
定义式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=M/N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性质：
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推导如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
性质二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导 完 ）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2
sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2
cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2
cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2
三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝1/2 [sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝1/2 [sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝1/2 [cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝-1/2 [cos（α＋β）－cos（α－β）]

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosa*sinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
cosa*cosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sina*sinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]

和差化积公式：指高中数学三角函数部分的一组恒等式　　sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　　sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 　　cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　...

在解三角形时给出两角的三角和的关系,如cos2b+cos2c=0得cos(b+c+b-c)+cos(b+c-b+c)=2cos(b+c)cos(b-c)=0,而在三角形中cos(b+c)不为0,得cos(b-c)=0.这个也可以用来证明在三角形中sina>sinb等价于a>b,你可以自己试试

sin(a＋b)＝sinacosb＋sinbcosa …(1) sin(a－b)＝sinacosb－sinbcosa…(2)
(1)＋(2) sin(a＋b)＋sin(a－b)＝2sinacosb＝2sin[(a＋b)＋(a－b)]/2cos[(a＋b)－(a－b)]/2
(1)－(2) sin(a＋b)－sin(a－b)＝2cosasinb＝2cos[(a＋b)＋(a－b)]/2sin[(a＋b)－(a－b)]/2∴sinα＋sinβ＝2sin[(a＋β)/2]cos[(α－β)/2] sinα－sinβ＝2cos[(a＋β)/2]sin[(α－β)/2]
cos(a＋b)＝coscosb－sinasinb …(1) cos(a－b)＝cosacosb＋sinasinb…(2)
(1)＋(2) cos(a＋b)＋cos(a－b)＝2cosacosb＝2cos[(a＋b)＋(a－b)]/2cos[(a＋b)－(a－b)]/2
(1)－(2) cos(a＋b)－cos(a－b)＝﹣2sinasinb＝﹣2sin[(a＋b)＋(a－b)]/2sin[(a＋b)－(a－b)]/2
∴cosα＋cosβ＝2cos[(a＋β)/2]cos[(α－β)/2] cosα－cosβ＝﹣2sin[(a＋β)/2]sin[(α－β)/2]

sina+sinb=sin((a+b)/2+(a-b)/2)+sin((a+b)/2-(a-b)/2)=2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
其余同理

和差化积：
cosX-cosY=-2sinsin
cosX+cosY=2coscos
sinX+sinY=2sincos
sinX-sinY=2cossin
(我的妈呀,好难得输啊）再检查一遍,应该没什么问题了

sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
sinacosb=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
两式相加,得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
这个就是积化和差公式
令x=a+b,y=a-b,代入,得到
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
这个就是和差化积公式
还有的公式和我上面的推导很类似,自己推推看.

正弦、余弦的和差化积
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
积化和差
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

sinA+sinB = 2 sin[(A+B)/2] * cos[(A-B)/2]
sinA-sinB = 2 cos[(A+B)/2] * sin[(A-B)/2]
cosA+cosB = 2 cos[(A+B)/2] * cos[(A-B)/2]
cosA-cosB = -2 sin[(A+B)/2] * sin[(A-B)/2]

第一个公式的证明:
右边=2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
=2*[sin(A/2)*cos(B/2)+cos(A/2)sin(B/2)]*[cos(A/2)cos(B/2)+sin(A/2)sin(B/2)]
=2*sin(A/2)*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(B/2)+2*cos(A/2)*cos(A/2)*sin(B/2)*cos(B/2)+2*sin(A/2)*sin(A/2)*cos(B/2)*sin(B/2)+2*sin(A/2)*cos(A/2)*sin(B/2)*sin(B/2)
=sinA*[cos(B/2)*cos(B/2)+sin(B/2)*sin(B/2)]+sin(B/2)*[cos(B/2)*cos(B/2)+sin(B/2)*sin(B/2)]
=sinA+sinB=左边
证毕
其中用到公式:
sinA=2*sin(A/2)*cos(A/2),sinB=2*cos(B/2)*sin(B/2)
cos(B/2)*cos(B/2)+sin(B/2)*sin(B/2)=1
其他的公式依此类推,自己推推看吧!

高一数学就是听天书
前面还好点,一道函数和数列开始就完蛋了
越到后来越听不懂 到学直线和圆方程的时 候,数学已经基本上废了.平均考试90几分
（我理科150分满分）
后来高一以后的暑假
我在不可期间找老师借来了我们上学用的资料的教师手册（我们是什么《全品》）
你也可以去借,老师一般会借你的
上面的答案很详细
然后在暑假（高一一般都有1个月休息）
把上学时学校发的数学资料书再做一遍,不懂就翻下教师手册
那上面题目弄懂了之后,
就去自己再买本资料
推荐《五年高考三年模拟》这本书挺不错我就用的这个
到暑假最后一天,我把这本书上所有学过的部分都做完了
而且自学了点高二的内容,并且通过53上的题进行了巩固训练
到了高二,上课认真听讲,做好笔记.数学作业都认真做好了
整个高二,我数学基本上能稳上130,140几也经常（我们一星期考一次数学）
现在暑假已经过了,但是上面的方法仍然很有效,
不过需要你能挤时间出来（利用星期天就很不错）
最最重要的一点!
作业千万别抄答案!
从高二下到高三,理科作业基本上不抄别的同学的,学校联考,我数学和理综分数在我们学校绝对名列前茅,但是...语文这科我特别喜欢抄答案...
直接导致了我语文在班上都排不出什么名次...

和差化积公式cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 前面有负号的.

这个可以通过多做题，观察相应规律，还有记住常见的三角函数值，这样不就能求出来了么！

cos(m+n)=cosmcosn-sinmsinn,1
cos(m-n)=cosmcosn-sinmsinn.2
1-2式得cosm.cosn=1/2(cos(m+n)+cos(m-n))
你把式子写错了,左边是×不是+

你这个没有的
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)−sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)2]
cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
4.积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]

可以这样记：
和差化积
A(a) B(b) = 2C((a+b)/2)D((a-b)/2)
其中A,B,C,D分别代表sin或cos,代表+或-.
为 + 时,D 为 cos 否则为 sin.
当A,B为cos时,C,D是相同的.(都是sin或cos)
注意A=B=cos且?="-"时将积乘以-1.
这样可以断定C,D.
积化和差
A(a)B(b) = 1/2 ( C(a+b) D(a-b) )
当A=B时 C,D为cos;
当B=sin时,为 负号,否则为正号.
同时记住A,B均为sin时,1/2 前面要加负号.
很抱歉,时间仓促,写得比较短,希望您能看明白.

sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
sinacosb=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosasinb=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]

积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
和差化积公式：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2](X-Y)]

积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
我们背公式时往往要么不是死记硬背,要么便是不停的推导增强熟练度来记忆,其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆,这个公式其实对于高中生用得更多一些,不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法,只要大家按我说的方法来记忆,保证20秒内牢记这些公式,下面我来说说记忆的方法：
对于积化合差公式来说,首要的原则是,等号左边的若异名,等号右边全是sin,等号左边同名,等号右边全是cos,其次,右边中间的和与差取决于左边第二项,若是cos,则是+,若是sin,则是-,最后记得sin*sin时要添上一个负号.
对于和差化积公式来说,第一,若等号左边全是sin,则右边异名,若等号左边全是cos,则等号右边同名,第二,等号左边中间的正负号决定了右边第二项,若是正,则是cos,若是负,则是sin,然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子,最后记得cos-cos要添一个负号.

如sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a+b)/2的证明
sina+sinb=sin[(a+b)/2+(a-b)/2]+sin[(a+b)/2-(a-b)/2]
下面只要用两角和与差的正弦公式展开即可得到结果了.

二倍角的正弦、余弦、正切公式,都是和角的正弦、余弦、正切公式当α=β时的特殊情形,要深刻理解和掌握它们的应用,须注意以下几点：
一要把握它们的结构特征,如sin2α与cos2α都具升幂功能,同时其变形后又具因式分解的功能.二要注意倍角的相对性,如2α是α的倍角,而α又是 的倍角.三是角余切、正割、余割的倍角公式都是利用同角三角函数关系式转化处理.四要注意sin2α的变形cosα= 在求积时的应用.
【命题趋势分析】
本节内容是本章的重中之重,其灵活性,综合性都比前面知识上了一个台阶,高考命题更是经常以解答题的形式进行考查,试题难度一般为中等程度.
核心知识
【基础知识精讲】
1.本节知识结构图


2.在和角公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,令α=β,就可以得出对应的二倍角的三角函数公式：
sin2α=2sinαcosα(S2α)
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α)
tan2α= .(T2α)

3.公式S2α,C2α中,角α可以为任意角.但公式T2α,只有当α≠ +kπ及α≠ + (k∈Z)时,才成立；否则不成立.
4.要注意公式的灵活变形,能引出诸如：sin2 = ,cos2 = ,tan = = ,sinα•cosβ= 〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,sinθ+sinφ=2sin cos 等公式.但这些公式不要求记忆.
特别指出的恒等式：
升幂公式：1+cosα=2cos2
1-cosα=2sin2
降幂公式：cos2α= (1+cos2α)
sin2α= (1-cos2α)
三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
典型例题
例1 (1)化简 +
(2)设α∈( π,2π),化简 .
分析：①利用倍角公式将1+sin8,2+2cos8配方,同时要注意三角函数值在各象限中的符号,去掉根号.
②连续运用公式1+cos2α=2cos2a,同时注意到cosα,cos 的符号,便可脱去根号.
(1)原式=2 +
=2｜sin4+cos4｜+2｜cos4｜
∵4∈(π, π)
∴sin4+cos4＜0,cos4＜0
故原式 =-2(sin4+cos4)-2cos4
=2sin4-4cos4
(2)∵α∈( π,2π)
∴cosα＞0,cos ＜0
故原式=
=
=
=｜cos ｜=-cos
评析 要注意二倍角的余弦公式的各种变形,例如：1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,cos2α= ,sin2α= 等.

例2 化简

分析1：用乘法公式将分子展开后再进一步化简.
解法一：原式
=
=
=
= =
=tan

分析2：利用(sinx+cosx)2=1+sin2x将分母变形、并与分子约去公因式后再进一步化简.
解法二：原式=
=
=
=
= =tan

分析3：注意到原式可化为关于sinx,cosx的三角函数式,若令tan =t,应用万能换公式可将原式化为关于t的有理式后再进行化简.注意最后仍需将t化回为角x的三函数式.
解法三：令tan =t,那么sinx= ,cosx=
∴原式=
=
=t
=tan


例3 求cos224°+sin26°+cos218°的值.
cos224°+sin26°+cos218°= + (cos48°-cos12°+cos36°)
= + (-2sin30°sin18°+cos36°)
= + (sin54°-sin18°)
= +cos36°sin18°
= +
= +
= + =
评析：降幂、化积是三角函数恒等变形的基本方法之一.


例4 已知sin( -x)= ,x∈(0, ),求cos2x的值.
∵0＜x＜ ,∴0＜ -x＜ .∴cos( -x)＞0
又sin( -x)= ,∴cos( -x)= .
∴cos2x=sin( -2x)=2sin( -x)cos( -x)
=2× × =
说明：根据需要,在求值或变形过程中,有必要把所给的角用其他角代换.


例5 求函数y=(1+sinx)(1+cosx)的最大值和最小值.
y=(1+sinx)(1+cosx)
=1+sinx+cosx+sinxcos
设t=sinx+cosx,则t= sin(x+ )
∴｜t｜≤
由(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x,
∴t2=1+2sinxcosx,∴sinxcosx=
∴y=1+t+ = (t2+2t+1)= (t+1)2
(1)当(1)t=-1时,y最小值=0
(2)当(1)t= 时,y最大值= ( +1)2= +
说明：sinx±cosx与sinxcosx有密切联系,可以互相转换,可以说解题离不开转换,所以应掌握常用的转换方法,可把多元问题转化为一元问题来解.
【课本难题解答】
课本第47页,习题4.7第4题：
(左边)2=(x +y )2=x+y+2
由已知二等式可解得x= (3-cos4θ+4sin2θ),y= (3-cos4θ-4sin2θ)
∴(左边)2=3-cos4θ+2
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+1+cos4θ=4=(右边)2
∴原式成立.

三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2
cosα·sinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2
cosα·cosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2
sinα·sinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2

这两个公式根本没必要去记,考试需要的时候现推都可以,因为证明起来都很简单的.无非就是两角和两角差公式加一加减一减,比如你考虑积化和差：
sin A cos B
这两个东西不同名,肯定是sin(A+B)和sin(A-B)作用的结果,而要得到sin(A)cos(B),cos(A)sin(B)这个就必须在展开时消掉,所以肯定是sin(A+B)和sin(A-B)加起来.加起来后出来两个sinA cosB,除以2不就得到了.不同名的乘一起要化和差最后化出来肯定两个都是sin,同名的话两个肯定都是cos.
和差化积更简单,你只要记住 A = (A+B)/2 + (A-B)/2,B = (A+B)/2 - (A-B)/2足够了.这样随便你怎么出一个和的式子,比如sinA + sinB ,你代入然后展开就是了.需要注意的是如果是sinA + cosB,展开后没法消项的,没法用和差化积.只有同名的两个东西加或者减才能用和差化积.对积化和差没这个限制.

口口之和仍口口
赛赛之和赛口留
口口之差负赛赛
赛赛之差口赛收

1.你可以把这些公式写在小纸片上,有时间就拿出来背背.
2.多做一些跟公式有关的题,多套套公式,熟能生巧嘛!
3.把公式里的字母换成你喜欢的东西,再背!

1、积化和差公式：
sinαsinβ=- 1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
2、和差化积公式
sina+sinb=2sin(a+b)/2 cos (a-b)/2
sina-sinb=2cos(a+b)/2 sin (a-b)/2
cosa+cosb=2cos(a+b)/2 cos (a-b)/2
cosa-cosb=-2sin(a+b)/2 sin (a-b)/2
题目我有很多,你发个邮箱给我,我发给你

积化和差
sinA*sinB=[cos(A-B)-cos(A+B)]/2;
cosA*cosB=[cos(A-B)+cos(A+B)]/2;
sinA*cosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2;
和差化积
cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb
cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb
sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
tan(a-b)=tana-tanb/1+tana*tanb
tan(a+b)=tana+tanb/1-tana*tan

1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 C=4a
3、长方形的面积=长×宽 S=ab
4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a
5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高 S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2
8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径 Ѕ=πr
11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2
12、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh
13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a
14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a
15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch
16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch
17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh
V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3
V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3
19、长方体（正方体、圆柱体）的体
1、 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数
2、 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
3、 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
6、 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 、正方形 C周长 S面积 a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a
2 、正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3 、长方形
C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4 、长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圆形
S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
（4）体积＝侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
和差问题
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月
大月(31天)有:135781012月
小月(30天)的有:46911月
平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒积=底面积×高 V=Sh
高中的
对数的性质及推导
用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数
*表示乘号,/表示除号
定义式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=M/N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性质：
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推导如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
性质二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导 完 ）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2
sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2
cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2
cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2
三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝1/2 [sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝1/2 [sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝1/2 [cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝-1/2 [cos（α＋β）－cos（α－β）]