Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin Δx/2

利用的是和差化积公式：sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

三角函数和差化积公式

[f(x+△x)-f(x)]/△x=[sin(x+△x)-sinx]/△x
=[2cos(x+△x/2)sin△x/2]/△x这是利用和差化积公式sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
lim（sin△x/2）/△x,在△x趋向0时,为1/2
所以y=sinx 的导数为2cos(x+△x/2)*1/2,在△x趋向0时,导数为cosx.

你看两个三角式加减变成相乘,这就说明运用了和差化积公式,不过你不懂也没关系,我这里将它的原始推倒给你写一下,sin(x+Δx)-sinx=sin(x+Δx/2+Δx/2)-sin(x+Δx/2-Δx/2)=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2);不知道你说的第二步是不是这步

第一步是根据导数定义的第一句话来的
导数定义为,当自变量的增量趋于零时
因变量的增量与自变量的增量之商的极限.
所以求导先要在自变量上加一个很小的值⊿x
然后看因变量的增量⊿y=sin(x+⊿x)-sinx
sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
这是根据三角函数转化来的
sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
是和差化积公式
sina-sinb=2cos[(a+b)/2]*sin[(a-b)/2]
第二部也是根据定义的第二句话来的
就是使⊿x趋向于0（就是第一个里说的加一个很小的值）
在⊿x趋向于0时,sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=1（这个你应该知道吧,高数第一章里的）
在⊿x趋向于0时,cos(x+⊿x/2)=cosx
所以y'=cosx
有点啰嗦了
不过希望帮到你了

lim(x→0) cosx-1
=lim(x→0) cos^2(x/2)-sin^2(x/2)-1 ——二倍角公式
=lim(x→0) -2sin^2(x/2) ——代入1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)
lim(x→0) -2[(x/2)^2]
=-1/2x^2
sin(x+Δx)-sinx
=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) ——和差化积公式

利用的是和差化积公式：sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
∴△y=sin(x+△x)-sinx=2cos (x+△x/2)sin△x/2

证明：
sin(x+t)-sinx
=sinxcost+cosxsint-sinx
=sinx(cost-1)+cosxsint
=-2sinx(sint/2)^2+2cosxcost/2sint/2
=2sint/2(-sinxsint/2+cosxcost/2)
=2sint/2cos(x+t/2)

左边=sin[(x+a/2)+a/2]-sin[(x+a/2)-a/2]
=[sin(x+a/2)cosa/2+cos(x+a/2)sina/2]-[sin(x+a/2)cosa/2-cos(x+a/2)sina/2]
=2cos(x+a/2)sina/2

sin(x+h)-sinx
=sin[(x+h/2)+h/2]-sin[(x+h/2)-h/2]
=sin(x+h/2)cos(h/2)+cos(x+h/2)cos(h/2)-[sin(x+h/2)cos(h/2)-cos(x+h/2)sin(h/2)]
=2cos(x+h/2)sin(h/2)

这个是和差化积公式
如没学过,可以这样
sin(x+y)-sinx
=sin[(x+1/2y)+1/2 y]-sin[(x+1/2y)-1/2 y]
=sin(x+1/2y)cos(1/2 y)+cos(x+1/2y)sin(1/2 y)-[sin[(x+1/2y)cos(1/2 y)-cos(x+1/2y)sin(1/2 y)]
=2cos(x+1/2y）sin(1/2y)