求lim(π/4-arctgx/(1+x))的极限,当x趋近于无穷

1、∫x(arctgx)ln(1+x^2)dx
=(1/2)∫(arctgx)ln(1+x^2)d(1+x^2)
=(1/2)∫(arctgx)d[(1+x^2)ln(1+x^2)].(*)
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-∫(1+x^2)ln(1+x^2)d(arctgx)]
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-∫ln(1+x^2)dx]
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-xln(1+x^2)+∫2x^2/(1+x^2)dx]
=(1/2){(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-xln(1+x^2)+∫2-[2/(1+x^2)]dx}
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-xln(1+x^2)+2x-2(arctgx)]+C
1/2乘进去我就不乘了.本题基本上是用分部积分解决的,其中还有些步骤跳了
如(*)处利用了∫lnudu=ulnu-∫ud(lnu)=ulnu.其实也是分部积分方法.
第二题请等待.

x=0 x=0 arctgx=0
xarctgx=0
(xarctgx)^n=0

因为arctanx的导数是1/(1+x^2),设u=arctanx,
即u的导数是1/(1+x^2),
等价于 du/dx=1/(1+x^2)
把dx挪到等式右边
就出现了du = darctgx = [1/(1+x^2)]dx的情况啊
由于u=arctanx,原积分式的分子（arctanx）^3 = u^3
∫（arctanx）^3×[1/(1+x^2)] dx
=∫（u）^3 du
=1/4 u^4

arcsinx的定义域为[-1,1],值域是[-π/2,π/2]
arccosx的定义域为[-1,1],值域是[0,π]
arctgx的定义域是所有实数,值域是（-π/2,π/2）

arctgx·sin1/x
x-->0的时候arctgx-->0,而sin1/x是一个有界的量,[-1,1]
所以两者之积还是趋近于0.
它对于2来说是无穷小,略去
所以最后答案就是 ln2

换元令arctanx=t,x=tant.
lim{x->0}arctanx/x=lim{t->0}t/tant=lim{t->0}(t/sint)*cost=1*1=1.

因为两者都是增函数,定义域是[-1,1],所以当x=1时取最大值3pi/4,当x=-1时取最小值-3pi/4.

证明：
因为ctg(π/2-arctgx) = tg(arctg(x)) ----诱导公式
=x ------ arctg定义
所以arcctg x = π/2-arctgx -----arcctg 定义
所以arcctg x+arctgx =π/2

f(x)=arctgx-x
f(0)=0
f'(x)=1/(1+x^2)-1=0
arctgx>=x

用分部积分法,选 D.
∫arctanxdx=∫xd(arctanx)
=x*arctanx-∫xdx/(1+x^2)
=x*arctanx-(1/2)∫d(1+x^2)/(1+x^2)
=x*arctanx-(1/2)ln(1+x^2)+C.

D：分部积分法
=x*arctgx-∫x*1/(1+x^2)dx
=x*arctgx-1/2∫d(1+x^2)*1/(1+x^2)
=xarctgx-1/2ln(1+x^2)+C

D

右边的=arctanx-arctan0=右边