A为可逆阵,则ATA等价于A是否正确?请证明
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slsshuai4 共回答了15个问题
|采纳率93.3%- A可逆 det(A)≠0 det(A^TA)=det(A)^2≠0 A^TA可逆
同阶的可逆矩阵当然是等价的 - 1年前
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λ=2 -x-z=0,y=0 α1=﹙1/√2 0 -1/√2﹚′
λ=4 x-z=0 α2=﹙1/√2 0 1/√2﹚′ α3=﹙0,1,0﹚′ P=﹙α1 α2 α3﹚
P^﹙-1﹚AP=P′AP=diag﹙2,4,4﹚1年前查看全部
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而矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,即 |AB|=|A||B|,
因此 |AB|不等于0,当且仅当 |A|,|B|都不为0.
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所以A的特征值为0,2,2
解得 AX=0 的基础解系:a1=(0,1,1)'
解得 (A-2E)X=0 的基础解系:a2=(1,0,0)',a3=(0,1,-1)'
令P=(a1,a2,a3)=
0 1 0
1 0 1
1 0 -1
则P可逆,且P^-1AP = diag(0,2,2).1年前查看全部
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|采纳率88.9%ank(A)=n-1这个条件没用
先取可逆阵C使得C^T(A+B)C=diag{I,0},再用正交变换把C^TAC对角化即可1年前查看全部
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……总是感觉线性代数抓不着头绪……现在学矩阵那章对这种证明题苦手啊……有好心人稍微指点一下么……TITANFORSUN1年前1
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深圳频道 共回答了26个问题
|采纳率80.8%A为秩是r的m*n矩阵,所以A一定能够经过初等变换变为如下形式:
1 0 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...0
就是左上角有一个r阶单位阵,其余元素都为0.
我们知道,做一次初等行变换就是矩阵左乘一个可逆阵,做一次初等列变换就是矩阵右乘一个可逆阵.所以上述初等变换的过程就是:
(P1*P2*...*Pn)*A*(Q1*Q2*...*Qk)=
1 0 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...0
把括号里的合并,P=(P1*P2*...*Pn),Q=(Q1*Q2*...*Qk)1年前查看全部
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所以R(A) = 3;1年前查看全部
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时尚宝贝_nn 共回答了21个问题
|采纳率81%用标准步骤如下:
(1) 求 A 的各个特征值;
(2) 针对每一个特征值, 求 A 的属于这个特征值的所有的线性无关特征向量,如果这些特征向量的总数等于 A 的阶数, 你就赢了.
(3) 以上述特征向量为列向量拼成矩阵 P.
对角化的结果就是三个特征值在对角线上依次排开.
取巧的办法:
(1) 显然, (1, 0, 0)^T (这里的 ^T 代表转...1年前查看全部
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和你一起走下去1年前2
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|采纳率92.9%B^{-1}Q^TAQB = (QB)^{-1} A (QB)
这是一个相似变换1年前查看全部
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|采纳率88.2%3A^-1+2E的特征值必有3/a+2.
A的每行元素之和为a,则a必是它的一个特征值,从而3*(1/a)+2=3/a+2是3A^-1+2E的特征值.1年前查看全部
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|采纳率100%设ξ是x对应的特征向量.
Aξ=xξ,
A*Aξ=x*Aξ=x^2*ξ
.
A^n*ξ=x^n*ξ
A^n的特征值为x^n
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Iξ=A^(-1)xξ
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|采纳率92.9%都对.
若 P^TAP=E
令Q=P^T
则 QAQ^T=E1年前查看全部
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tonglingzhi 共回答了15个问题
|采纳率93.3%两种证法.
可以用合同变换的性质:
在不同基下的度量矩阵相差一个合同变换.
合同的矩阵秩相等.
而在标准正交基下(一定存在),度量矩阵为单位阵,是满秩的.
因此度量矩阵都是满秩的,即可逆.
也可以用定义证明:
设内积在一组基ε1,ε2,...,εn下的度量矩阵为A.
假设A不可逆,则存在非零列向量X满足AX = 0.
考虑以X为坐标的向量v = (ε1 ε2 ...εn)X.
则(v,v) = X'AX = 0,但由X非零,ε1,ε2,...,εn是一组基,有v非零.
与内积的正定性矛盾.
因此A一定可逆.1年前查看全部
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a1 ……
a2 ……
……
an
令P=P1P2……Ps,且P必定可逆
a1*a2*……an为行列式A的值,设为v
若v不等于0
令Q=(A)TA/v,且Q对称
则PQ=(P(A)T)A/v=vA/v=A
若v=0
令Q=0,且Q对称
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|采纳率100%你的题目肯定证明不出来,绝对是错的!
你可以在matlab里头验证
>> A=[1 2 3 ; 7 5 6 ;2 1 4]
A =
1 2 3
7 5 6
2 1 4
>> B=[3 1 4 ;3 3 1;2 1 4 ]
B =
3 1 4
3 3 1
2 1 4
>> C=[ 1 4 2 ; 2 1 1 ;5 1 3]
C =
1 4 2
2 1 1
5 1 3
>> inv_C=inv(C)
inv_C =
-0.2500 1.2500 -0.2500
0.1250 0.8750 -0.3750
0.3750 -2.3750 0.8750
>>
>> inv_c=inv(-A)*C*B
inv_c =
5.1481 5.4444 2.2222
1.2593 -3.2222 7.8889
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|采纳率88.5%这是书上定理,等价的意思是A做初等变换成为B,任何一个可逆矩阵都可分解为若干个初等矩阵,PAQ相当于对A做若干次初等行和列变换,当然等价了.1年前查看全部
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例如
矩阵(x1,y1;x2,y2)交换两行变为(x2,y2;x1,y1)
相当于(0,1;1,0)*(x1,y1;x2,y2)=(x2,y2;x1,y1)1年前查看全部
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而
A2+AB+BA+B2=(BA+B2)(E+AB-1)
∴(BA+B2)(E+A-1B)=E
即(E+AB-1)-1=BA+B2=B(A+B)
故选:D点评:
本题考点: 逆矩阵的定义和唯一性;解矩阵方程.
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∴PAP(-1)与P(-1)AP 相似
故PAP-1和P-1AP有相同的迹 (即对角线元素之和)
又tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
∴tr(B)=tr(PAP-1-p-1AP+E)=tr(PAP-1)-tr(p-1AP)+tr(E)=0+tr(E)=n
而tr(B)=λ1+λ2+…+λn
∴λ1+λ2+…+λn=n点评:
本题考点: 矩阵的特征值和特征向量的性质.
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因为矩阵的行列式就是它所有特征值的乘积,所以矩阵A的行列式为 -1,
不为0,所以A可逆.又因为矩阵有三个互不相等的特征值,所以矩阵必可对角化,也就是与对角阵相似.1年前查看全部
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2,若向量组A1,A2,A3.,Am是m个n维向量,且m>n,则此向量必定( )
A,线性无关 B,线性相关 C,含有零向量 D,有两个向量相等
3,设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵R(A)=r<n,则此齐次线性方程组的基础解系( ) A,唯一存在 B,共有r个解向量 C,含有n-r个解向量 D,含有无数个解向量
4,设A为n阶方阵,则|A|=0的充要条件是( )
A, R(A)=n B, R(A)<n C, A为零矩阵 D, A的行向量线性相无关
5,设A,B两个事件,0<P(A)<1,则下面结论中错误的是( )
_
A, P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) B, P(B)=P(B|A)+P(B|A)
_
C, P(A+A)=P(A) D, P(A+B)=P(A)+P(A B)
6,解矩阵方程:
╭ 1 1 -1 ╮ ╭ 2 ╮
已知 | -2 1 1 | X= | 3 | ,求 X .
╰ 1 1 1 ╯ ╰ 6 ╯hdrrdh1年前3
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4.B
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1 1 -1 2
-2 1 1 3
1 1 1 6
r2+2r1,r3-r1
1 1 -1 2
0 3 -1 7
0 0 2 4
r3*(1/2),r1+r3,r2+r3
1 1 0 4
0 3 0 9
0 0 1 2
r2*(1/3),r1-r2
1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 1 2
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那个kI因为I是单位阵,所以折算成数值的时候去掉就行了.
个人理解,可以这么做...1年前查看全部
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∵((AB)^t)^(-1)=((AB)^(-1))^t≠((BA)^(-1))^t
∴1通常不成立
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- 为什么说:初等行变换相当于矩阵左乘一个可逆阵
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(AE)->(EA^(-1)) A*A^(-1)=E
对于上面这个 式子
这个 初等行变换 与 代数余子式的矩阵有什么关系么?
最后说一下,给我他们的原理解释,或者说给我一个 可以看到 原理的 超链接.
千万不要给我 例题 与 句子,因为很多都是 他 告诉你了 该这么求,再是 依葫芦画瓢,可能压根儿不能证明什么.
都要是比较 原始的问题,我脑子 的 这根 筋儿 就是 过不去这关,上边两个问题,最好都回答,如果实在没有 回答一个 也是给分的.z534659711年前1
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qisini777744 共回答了21个问题
|采纳率95.2%我来回答第个问题,因为任何一个可逆矩阵都等价于单位阵,所以任何一个可逆阵都等于一些初等阵的乘积,又可以很容易验证当矩阵左乘一个初等阵时相当于对它本身进行初等行变换,所以当矩阵左乘一个可逆阵时,相当于左乘一些初等阵,从而相当于对原矩阵进行初等行变换1年前查看全部
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P^-1*A*P=^=[λi]
由于A为可逆矩阵,故λi≠0(否则A的行列式必为0).
于是,对等式左右两边求逆,得
P^-1*A^-1*P=^(^-1)=[1/λi]
也即A的可逆阵也可以相似对角化,且相似变换矩阵仍可为P,对角化后矩阵对角线上各元素为P相似对角化后各元素的倒数.1年前查看全部
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具体点儿被,shakfa1年前1
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1-n 1 ... 1
1 1-n ... 1
...
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ri - rn, i=2,3,...,n-1
0 0 0 ... 0
0 -n 0 ... n
0 0 -n ... n
...
1 1 1 ... 1-n
ri * (-1/n)
0 0 0 ... 0
0 1 0 ... -1
0 0 1 ... -1
...
1 1 1 ... 1-n
rn - r2 - r3 - ... -rn-1
0 0 0 ... 0
0 1 0 ... -1
0 0 1 ... -1
...
1 0 0 ... -1
所以 (1,1,...,1)^T 是A的属于特征值 n 的特征向量.
化是这样化, 但这样太笨了, 下面是特殊做法:
A是秩为1的矩阵, A = (1,1,...,1)^T (1,1,...,1) = ab^T 形式
则 b^Ta = n 是A 的特征值, a=(1,...,1)^T 是 A=ab^T 的特征向量.
这是由于 Aa = ab^Ta = na1年前查看全部
- 线性代数矩阵对应的行列式不为零(可逆阵)可换作同阶单位阵,用这个的限制条件,或者注意事项
线性代数矩阵对应的行列式不为零(可逆阵)可换作同阶单位阵,用这个的限制条件,或者注意事项
没分了,抱歉,xsd_20081年前1
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ff姓胡 共回答了21个问题
|采纳率85.7%没有限制.既然行列式不为0,那么一定跟单位矩阵等价.1年前查看全部
- 设A是n阶方阵,A经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为B,则存在可逆阵P,使得:
设A是n阶方阵,A经过若干次初等行变换后得到的矩阵记为B,则存在可逆阵P,使得:
(A)AP=B(B)A=BP(C)A=PB(D)PA=Bmenkata1年前1
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灯下思影 共回答了21个问题
|采纳率85.7%选D,因为对A进行初等行变换相当于用一个初等方阵左乘A,对A进行初等列变换相当于用一个初等方阵右乘A,本题进行的是初等行变换,故选D1年前查看全部
- 谁会线性代数证明题?设A和B都是n阶矩阵,则AB是可逆矩阵的充分必要条件是A和B都是可逆阵.
k6sg1年前3
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411412163 共回答了9个问题
|采纳率88.9%证明:
充分性:
A,B可逆
|A|≠0 |B|≠0
|A||B|=|AB|≠0
所以AB可逆
必要性:
AB可逆
|AB|≠0
|A||B|≠0
|A|,|B|都不为0.否则矛盾
所以A,B是可逆矩阵
综上:AB是可逆矩阵的充分必要条件是A 和B都是可逆阵1年前查看全部
- 设A,B是n阶可逆阵,试证:(1)(AT)*=(A*)T;(2)(AB)*=B*A*.
ruaneway1年前1
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151896 共回答了13个问题
|采纳率92.3%解题思路:直接应用A*=|A|A-1,(AT)-1=(A-1)T,将等号左边的矩阵变形即可得到右边的矩阵,从而得证.证明:
(1)等号左边(AT)*=|AT|(AT)-1=|A|(A-1)T,
等号右边(A*)T=(|A|A-1)T=|A|(A-1)T=等号左边,
所以,(AT)*=(A*)T.
(2)(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=|B|B-1|A|A-1=B*A*.点评:
本题考点: 可逆矩阵的性质.
考点点评: 本题考查伴随矩阵及逆矩阵关系的应用.|A|为数值,因此,可任意移项.1年前查看全部
- 矩阵A为可逆阵的充要条件是只要答案就行
利矛1年前1
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tqco5t 共回答了22个问题
|采纳率86.4%不知道你要这个干什么,刚好我们今天学到这里...矩阵A可逆的充要条件是A非退化,就是|A|不等于01年前查看全部
- 使对称阵相似于对角阵的可逆阵P一定正交吗
使对称阵相似于对角阵的可逆阵P一定正交吗
P一定是正交阵吗?为什么芝麻这么强1年前1
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pc8888 共回答了18个问题
|采纳率83.3%不一定;
设A为对称阵,L为一对角阵,P为可逆阵,有:
P^(-1)AP = L
令:k不等于0,1,-1;
Q=kP,
则 Q 与P不可能同时为正交阵,
Q^(-1)= k^(-1)P^(-1)
Q^(-1)AQ= k^(-1)P^(-1)A kP = k^(-1)k L =L
Q与P都可使A变换为对角阵L
所以使对称阵相似于对角阵的可逆阵P不一定一定正交1年前查看全部
- 化二次型为标准型时,求出特征值的一个k重根后求出k个线性无关的特征向量,将这些特征向量正交化之后不就可以得到要求的可逆阵
化二次型为标准型时,求出特征值的一个k重根后求出k个线性无关的特征向量,将这些特征向量正交化之后不就可以得到要求的可逆阵了吗?为什么还要把这些特征向量再单位化才得结果啊?
保10洁9111年前2
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smoking_p 共回答了16个问题
|采纳率93.8%单位化是为了得到正交矩阵,正交阵A的转置等于A的逆,在二次型的变换过程中,另X=PY,最终使对角化的是P的转置1年前查看全部
- 一个矩阵求逆的问题问题描述:证明下列求逆公式 D为n*n阶可逆阵,C为m*m阶可逆阵,B为n*m阶矩阵 麻烦老师帮忙解答
一个矩阵求逆的问题
问题描述:证明下列求逆公式
D为n*n阶可逆阵,C为m*m阶可逆阵,B为n*m阶矩阵
麻烦老师帮忙解答,如果求解过程过于复杂,那么有参考书目的话可以列出,谢谢
最后的最后1年前1
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行错位 共回答了17个问题
|采纳率94.1%为简单描写,用小写字母表示对应矩阵的转置,A'表示A的逆,则
两边同左乘D得到
D(D+BCb)' = E - B(C'+bD'B)'bD'
两边同右乘(D+BCb)得到
D = D+BCb -B(C'+bD'B)'bD'(D+BCb)
就是
BCb = B(C'+bD'B)'bD'(D+BCb)
=B(C'+bD'B)'b +B(C'+bD'B)'bD'BCb
等式左边移动到右边,然后分别提出B和b
就是0 = B[(C'+bD'B)'+(C'+bD'B)'bD'BC-C]b
中间的(C'+bD'B)'+(C'+bD'B)'bD'BC-C
=(C'+bD'B)'[E +bD'BC -(C'+bDB)C]
=(C'+bD'B)'[E+bD'BC-E-bDBC]
= 0
以上各步都可逆,得证1年前查看全部
- 矩阵的初等变换与初等矩阵设矩阵A=丨1 -2 2丨 B=丨1 0 1丨 问 是否存在可逆阵P,使得PA=B?丨2 2 1
矩阵的初等变换与初等矩阵
设矩阵A=丨1 -2 2丨 B=丨1 0 1丨 问 是否存在可逆阵P,使得PA=B?
丨2 2 1丨 丨0 2 -1丨
丨4 -2 5丨 丨0 0 0丨
若存在,试求P.小生怕怕滴1年前2
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ql19 共回答了17个问题
|采纳率100%这个题首先先看A和B的rank,因为PA=B,rank(B)=min(rank(P),rank(A)),所以假如B的rank小于A的rank,P的rank肯定小于A的rank,这时候P就不可逆 就无解了.但是这里rank(A)=rank(B)=2,所以P的rank肯定大于或等于2,当P的rank等于3时可逆.至于要怎么解P呢,我的解法是把PA=B转换一下,变成A'P'=B',然后先解出P',用的方法是高斯消去法把P'每个列的向量空间都解出,然后再转换成P.用计算机算一下得到P={{1/3 - 2 r,1/3 - r,r},{-2/3 - 2 s,1/3 - s,s},{-2 t,-t,t}},就是所有向量空间的解,r,s,t分别为任意实数.这时候可以用高斯消去法消去P' 来检验P的rank,消去完的P’变成{{1,0,0},{1,1,0},{r,s,t}}.也就是说,P的rank只和t有关,当t不为0时,P的rank等于3,且可逆.所以P的通解是{{1/3 - 2 r,1/3 - r,r},{-2/3 - 2 s,1/3 - s,s},{-2 t,-t,t}},r,s为任何实数,t不为0.
顺便帮你算一下P^-1=
{{1,-1,(-r + s)/t},{2,1,-((2 r + s)/t)},{4,-1,(1 - 4 r + s)/t}}1年前查看全部
- 设A和B分别是n*m型和m*n型矩阵,C=AB为可逆阵,证明:B的列向量组线性无关
我爱油菜花1年前1
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mouse_33 共回答了20个问题
|采纳率95%证明: 由 C 可逆知 r(C) = n
所以 n = r(C) = r(AB)1年前查看全部
- 设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆阵,Q为n阶正交阵则B^-1Q^TAQB与A有相同的特征值
设A为n阶实对称矩阵,B为n阶可逆阵,Q为n阶正交阵则B^-1Q^TAQB与A有相同的特征值
B^{-1}Q^TAQB = (QB)^{-1} A (QB)
求证明及解释!
水星悠蓝1年前0
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共回答了个问题
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