莱布尼茨说过：“世界上没有两片完全相同的叶子，也没有性格完全相同的人。”这告诉我们（

其实这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数,下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数,以此类推,(图形可成等腰三角分布)

牛顿和莱布尼兹分别发明的.
莱布尼兹于1673～1676年间发明了微积分,1684年公布了论文；牛顿于1665～1666年间发明了微积分,1687年公布在巨著《自然哲学的数学原理》中.微积分到底是谁发明的,这在世界科学史上曾是一桩公案.

改变级数的有限项不影响级数的敛散性,只影响级数和的大小.

C

第11行最后一个数是1/11,第10行最后一个数是1/10,第9行最后一个数是1/9,所以第十行倒数第二个数是1/9-1/10=1/90,第11行倒数第二个数是1/10-1/11=1/110.所以第11行倒数第三个数是1/90-1/110=1/495 是吗?yes?

莱布尼茨三角形
微积分 1666年,莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文,讨论了平方数序列
0,1,4,9 16,…
的性质,例如它的第一阶差为
1,3,5,7,…,
第二阶差则恒等于
2,2,2,…
等．他注意到,自然数列的第二阶差消失,平方序列的第三阶差消失,等等．同时他还发现,如果原来的序列是从0开始的,那么第一阶差之和就是序列的最后一项,如在平方序列中,前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16,即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序,用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想,可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文,使他跻身于组合数学研究者之列．
1672年,惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1,3,6,10,…)倒数的级数之和
莱布尼茨圆满地解决了这一问题,他是这样计算的：
初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯,他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是,他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年,他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学,同时对代数性发生了兴趣．这一时期,他检索了已有的数学文献．
对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题,莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上,他建立了由dx,dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx,dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中,用dx表示相邻的序数之差,dy表示两个相邻项值之差,然后在数列项的顺序中插入若干dx,dy,于是过渡到了任意函数的dx,dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx,dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线,而且是T点的切线的一部分”．如图1,T是曲线y=f(x)上的一点,dx,dy分别是横坐标、纵坐标的差值．
利用这个特征三角形,他很快就意识到两个问题：
(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU,发现△PQR∽△STU,从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说,曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx．
(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和．
有了这些思想,他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是,从特征三角形出发,“毫不费力,我确立了无数的定理”
根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定,他是在1673年建立起特征三角形思想的．他将特征三角形的斜边PQ用“dS”表示,这样特征三角形又称为微分三角形(differential triangle)其中 ds2=dx2+dy2．
利用特征三角形,莱布尼茨早在1673年就通过积分变换,得到了平面曲线的面积公式
这一公式是从几何图形中推导出来的,经常被他用来求面积．
1673—1674年,他给出了求一条曲线y=y(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式
同时,他还给出了曲线长度公式
在求面积问题方面,莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成,面由无穷多条线构成”思想的影响,认为曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日,他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一个字母“s”的拉长),用∫ydx表示面积,在这份手稿中,他还从求积出发,得到了分部积分公式
1676年11月,他得出了公式
其中n是整数或分数(n≠-1)．
莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的．
由于研究巴罗的著作,以及引入特征三角形,莱布尼茨越来越强烈地意识到,微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)必定是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中,他就注意到,面积被微分时必定给出长度,因此他开始探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系,认识到要从y回到dy,必须做出y的微差或者取y的微分．经过这种不充分的讨论,他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆．这样,莱布尼茨就第一次表达出了求和(积分)与微分之间的关系．
莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式)
(A为曲线f下的图形的面积．)
于1693年给出了这个定理的证明．以前,微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题,是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果,但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系,然而只有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来,明确地找到了两者的内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的关键所在．只有确立了这一基本关系,才能在此基础上构建系统的微积分学．并从对各种函数的微分和求积公式中,总结出共同的算法程序,使微积分方法普遍化,发展成用符号表示的微积分运算法则．
莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》(Acta erudito-rum)上的论文,题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法,它也适用于无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis,itemque tangentibus,quae necfractas,necirrationales quantitates moratur,et singularepro illis Calculi genus),在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献．
早在1677年7月11日前后及11月左右,莱布尼茨明确定义了dy为函数微分,给出了dy的演算规则：
“如果a是给定的常数,则da=0,dax=adx；
加法和减法 v=z—y＋w＋x,dv=dz-dy+dw＋dx；
乘法 y=vx,dy=vdx+xdv
在1676—1677年的手稿中,他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：对于曲线v=v(x),当dv与dx之比为无穷大时,切线垂直于坐标轴(x轴)．当dv与dx之比等于0时,切线平行于x轴,当dv=dx≠0时,则切线与坐标轴成45°角,他指出,对于曲线v,当dv=0时,“在这个位置的v,明显地就是极大值(或极小值)”,他详细讨论了当dv＜0,而变成dv=0后又dv＜0时取极大值,反之则取极小值的情形．他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0．
以后,莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)．1686年,给出了对数函数,指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx),等等．
他引入了n阶微分的符号dn,并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：
其中
n!=1×2×3×…×(n-1)×n．
莱布尼茨在积分方面的成就,后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中,题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)．
品中出现了积分符号．同年,他引入了空间曲线的“密切”(osculating)这一术语,并给出了曲率ρ公式：
其中R为曲率半径．
1692年和1694年,他给出了求一族曲线 f(x,y,α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方法：在
中消去α．实际上,用微积分方法研究几何在微积分奠基者(牛顿、莱布尼茨等)那里已经开始了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的．
无穷级数 在微积分的早期研究中,有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难,然而人们发现,若用它们的级数来处理,则非常有成效．因此,无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量,如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)．
在求面积的过程中,通过无穷级数表示圆在第一象限的面积,他得到了π的一个十分漂亮的表达式
1673年左右,他独立地得到了sinx,cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式,并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他经常利用级数展开式研究超越函数．有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式．
无穷级数展开式,得到了如下的式子：
误的．直到1734—1735年,L．欧拉(Euler)才得到
在1713年10月25日写给约翰•伯努利(John Bernoulli)的信中,莱布
“莱布尼茨判别法”,但他当时的证明却错了．在考虑级数 还相当混乱．
微分方程 微分方程在微积分创立之初就为人们所关注．1693年,莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边(dx,dy)的函数．在微分方程方面,他进行了一系列工作．其中有些工作是十分独特的．
1691年,他提出了常微分方程的分离变量法,解决了形如
型方程的求解问题．方法是,先写成
然后两边积分．
这一年,他还提出了求解一次齐次方
的方法：
因此经过这种变换,原来的一次齐次方程就变成了
1694年,他证明了把一阶线性常微分方程y′＋P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方法,他的方法使用了因变量替换．同时,他还给出了(y′)2+p(x)y′＋q(x)=0的解法．1694年,他和约翰•伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题,并求出了一些特殊问题的解．
1696年,他证明了,利用变量替换z=y1-n,可以将伯努利方程
变换x=P11u+P12v,y=P21u+P22v可以将微分方程
a00＋a10x＋(a01＋a11x)y′=0
进行简化．
通过求解微分方程,莱布尼茨解决了许多具体问题．例如,1686年,他解决了这样的问题：求一条曲线,使得一个摆沿着它作一次完全振动,都用相等的时间,而无论摆所经历的弧长怎样(即等时问题)．他指出,
证明,并认识到了圆函数、三角函数的超越性,弄清了许多超越函数的基本性质．此外,他还考虑过概率方程．这一时期,他还求出了十分重要的曳物线方程：
1691年,他给出了自达•芬奇(L．Da Vinci)时代就考虑过的悬链线(catenary,这个名称是莱布尼茨给出的)方程为
1696年,约翰•伯努利提出了著名的最速降线问题：
求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线,使得一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用的时间最短；其中摩擦和空气阻力都忽略．
这是约翰•伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年,莱布尼茨和I．牛顿(Newton)、G．F．A．洛比达(L’Hospital)、约翰•伯努利分别解决了最速降线问题,指出这是由方程
表示的上凹的旋轮线,并由此开始了变分法的研究．
数学符号、代数 莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分,“∫”表示积分,ddv,dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到,好的符号能大大节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号,常常对各种符号进行长期的比较研究,然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有
此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关．他还引入了“函数”(function)、“常量”(constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语．
在代数学方面,莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性,而且还讨论了负数、复数的性质,认为复数的出现是无害的,断言复数的对数是不存在的,为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论．在研究复数时,他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数
用一般的复数表示．他把虚数看作是存在(being)与非存在(not-being)的中介．
在1678年以前,莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究,对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：“我引进方程：
此处,在两个数码中,前者表示此数所属的方程式,后者代表此数所属的字母(未知数)．”这样,他创设了采用两个数码的系数记号,相当于现在的aik,为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．

牛顿先用的,他是根据物理的背景,用微积分解决问题.莱布尼茨完整的定义了微积分的运算,并做了推导,与我们用的微积分基本相同.一般来说认为他们同时发明的…

C

1/1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
下面两个的和是上面那个

由级数收敛的柯西准则，级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N，使得当m>N以及任意的正整数p，都有
｜Uм+1+Uм+2+Uм+3+。。。。+Uм+p｜

C

莱布尼茨级数只是变号级数收敛的一个充分条件.有很多不满足莱布尼茨级数但是收敛的变号级数,最常碰到的比如|u(n+1)|

x^3的4阶导数=0
x^3的3阶导数=3!=6,lnx的1阶导数=1/x
x^3的2阶导数=6x,lnx的2阶导数=-1/x^2
x^3的1阶导数=3x^2,lnx的3阶导数=2x^(-3)
x^3 不求导为x^3,lnx的4阶导数=-6x^(-4)
所以
原式=C(4,0)×0＋C(4,1)×6×1/x+C(4,2)·6x·（-1/x^2）+C(4,3)·3x^2·2x^(-3)+C(4,4)X^3·（-6x^(-4)）
=24/x -36/x+24/x-6/x
=6/x

一,函数是递减的
二,级数的极限为0

我的理解是：每个人都是一个宇宙,都有感知万事万物的能力.在每个人身上,都有时空,或者岁月留下的痕迹.这段话告诉我们,每个人都是世上独一无二的个体,都是造物主造化的产物.

你这样理解是错误的.
莱布尼茨判别法定义如下：
如果数列{an} (an>0) 单调减少且收敛于0,那么交错级数∑(-1)^(n+1)·an收敛.
从数列{an}单调减少且收敛于0这句话来看,很明显当n→∞时,an的极限为0,你能从一个数列的极限为0出发得到这个数列是个正数列吗?
举个例子,比如∑(-1)^(n+1)·1/n,这个级数是收敛的,an=1/n单调减少收敛于0,an的极限时0,你可以很轻易的判断出1/n是个正数列,但绝对不会是因为它的极限为0你才得到他是正数列这个结论的,对吧.
那么,如果an极限为0,能不能得到交错极限收敛呢?
同样是不能的,举个例子,看级数∑(-1)^(n+1)·an,该级数的an=(-1)^(n+1)·1/n,很明显当n→∞时,an的极限为0,但是原级数∑(-1)^(n+1)·an=∑1/n,该级数很明显是发散的.
所以,利用莱布尼茨判别法判别级数收敛性时条件中an>0,应该理解为存在N属于自然数,任取n>N,an>0.也就是说,当N充分大时,an的第N项后面的所有项大于0就可以了,因为前N项是有限项,有限项必然收敛,第N项后面的满足莱布尼茨判别法的话也是收敛的,所以原级数收敛.同样的道理,“数列{an}单调减少且收敛于0”也可以理解为当N充分大时an的第N项后面的所有项单调减少且收敛于0.

事物的共性与个性,共性寓于个性之中,在事物的个性种都藏这它与其同类事物的共性.没有两片相同的树叶是指所有的事物都有自己的个性,树叶的脉络会不同,大小还有形状也不同.而没有两片不同的树叶是指世界上所有的树叶作为“树叶”这种生物,他们的自然特性都是一样的,都有光和作用等等……

你好，解答如下：
题目中说了，“全部数学中”A项是物理成就
望采纳谢谢

不行,莱布尼茨定理只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件.比如∑(-1)^n/√[n+(-1)^n],n从2开始取值.可以用定义证明级数收敛,但是{Un}没有单调性

等会

The functions in this concept was first put forward by the German mathematician Leibniz in seventeenth Century.After the change of more than 300 years of temper,to form the modern definition of function.But this does not mean the endof the function concept development.Believe that with the development of other disciplines based on a mathematical concept,function will continue to expand

B

∵第n行有n个数，且两端的数均为 ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
∴第6，7，8行从左往右第1个数分别为 ；
第7，8行从左往右第2个数分别为 ， ；
第8行从左往右第3个数分别为 。
故选B。

这是可以的,只要注意级数收敛与否只与当n趋于无穷大时通项的性态有关

C

1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
按上述三角形发现规律1=1/2+1/2 1/2=1/3+1/6 1/3=1/4+1/12 1/4=1/5+1/20 1/12=1/20+1/30
利用加减法互逆原则,可以向下接着求,如果你问第10行第三个数字,应该是1/360


A

依据教材知识直接选择。

解题思路：观察图表寻找规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，如第n行为[1/n]，第二个的分母为

1

n(n−1)

；每行首尾对称．据此规律解答．

观察图表可知以下规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，如第n行为[1/n]，第二个的分母为[1
n(n−1)；每行首尾对称．
故（9，2）表示第9行，从左到右第2个数，即
1/8×9]=[1/72]．故答案填：[1/72]．

点评：
本题考点： 坐标确定位置．

考点点评： 考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．

我记得牛顿的符号是在y上加点,一阶导一个点,二阶两个点,….莱布的是dy/dx.d^2y/dx^2…牛顿的符号不如莱布的简单直观,且不能方便地当做除法参与运算,现在已经被淘汰了

利用坐标法.
推广不用证明.

33题,树叶的同中有异,异中有同.是矛盾普遍性与特殊性的辩证统一,相互连接.但特殊性是具体的,普遍性是抽象的,因此,只能是普遍性寓于特殊性之中.选B
34题:
圈1错在,无可厚非.价值判断价值选择尽管因人而异,但一旦错误危害很大,所以不是无可厚非.

可以使用比较判别法 和定义证 其他的判别法 所规定的条件都是正项级数
也有特例：对级数取绝对值 这样就变成了正项级数 所有的方法都能用 只要绝对值收敛 那么他就是绝对收敛 级数自然也就收敛了

交错级数的数项的绝对值在n趋于无穷的时候取0,且数项的绝对值随n增大时递减,那么,该交错级数是收敛的

常数项莱布尼茨交叉判别法就是看通项是否单调递减,递减则级数收敛.每个通项都是对应于（整数变量）n的常数,不再涉及其他自变量,因此没有单项可求导一说.
函数项级数一般没有莱布尼茨判别法.
不知道你看的是哪本书,不妨拍下来看看再讨论

这里有你想要的解释

是1/360么?

其实这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数,下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数,以此类推,(图形可成等腰三角分布)

不可以 莱布尼茨法则只适用于变号级数 正项级数用比较 比值 或根值法才可以

微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了.公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想.作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣.”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念.到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归结起来,大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题.第二类问题是求曲线的切线的问题.第三类问题是求函数的最大值和最小值问题.第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力.十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献.十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题（微分学的中心问题）,一个是求积问题(积分学的中心问题).牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源.牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径,求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力.前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样.不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立.英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年.其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的.比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年.他们的研究各有长处,也都各有短处.那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年.应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的.他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊.牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说.这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生.直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础.才使微积分进一步的发展开来.任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者.在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命.微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩.

莱布尼茨三角排在第m行左边数第n个位置上的数是
C(下标为m-1,上标为n-1),而C（9,2）=8*9/2/1=36
所以答案是36

世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：
1/1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
1/6 1/30 1/60 1/60 1/30 1/6
1/7 1/42 1/105 1/140 1/105 1/42 1/7
则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）
A.1/132 B.1/360 C.1/495 D.1/660
B.1/360
其实这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数,下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数,以此类推,(图形可成等腰三角分布)
从上面可看得出来每行第一个数的分母就是这行的行数,第8行的第1个数是1/8,第9行的第一个数是1/9,第10行的第1个数是1/10.
再按照上面的规律,第9行的第2个数是等于第8行的第1个数减去第9行的第一个数(1/8-1/9)得1/72.
第10行的第2个数就等于第9行的第1个数减去第10行的第1数(1/9-1/10)得1/90
则第10行的第3个数就等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数(1/72-1/90)得1/360

可以是n次的,只不过平常惯例都是n-1次,对于交错级数的敛散性,莱布尼茨定理是交错级数收敛的充要条件

就是满足书上那几个性质的就是,具体包括正负项交错出现,第一项为正的,每项绝对值组成的数列单调递减,该正向数列的极限为0

答：
1.满足bn→0
2.满足同号的项an>a(n+1),bn>b(n+1).设an为正项,bn为负项.
这时候满足条件收敛.
绝对收敛是交错级数加上绝对值后仍然收敛.可再用各种判别法判定.
比如：
交错级数∑ (-1)^n*1/(n^p),当p>1时绝对收敛
在1>=p>0时条件收敛.当p=1时,加上绝对值后为调和级数,发散.
在p

从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了.
公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想.作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣.”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念.
到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归结起来,大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题.第二类问题是求曲线的切线的问题.第三类问题是求函数的最大值和最小值问题.第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力.
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献.
十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题（微分学的中心问题）,一个是求积问题(积分学的中心问题).
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源.牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径,求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.
微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力.
前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样.
不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立.英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年.
其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的.比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年.他们的研究各有长处,也都各有短处.那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年.
应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的.他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊.牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说.这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生.
直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础.才使微积分进一步的发展开来.
任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者.在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……
欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命.微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩.

第n行从左边数第2个位置上的数
= 1/(N - 1) - 1/N
= 1/N(N - 1)
当然也可以写成 1/(N^2 - N)

首先,交错级数因为有一正一负的情况,因此要讨论两种情况.其次,两步证明中一个是2n +1 一个是2n 是两个相邻的数,可以满足第一点的两种情况,又两个极限相等,故可统一为一个极限.

观察图表可知以下规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，如第n行为
1
n ，第二个的分母为
1
n(n-1) ；每行首尾对称．
故（9，2）表示第9行，从左到右第2个数，即
1
8×9 =
1
72 ．故答案填：
1
72 ．