若a1=2,anan+1=r^n(r≠0,r是常数),求数列{an}

解题思路：（1）a₁=0，a₂=1，依题意只需证明∀n∈N^*，只需证an2+an−n(n−1)＝0，即只需证a_n=n-1或a_n=-n，由此利用分析法能证明数列{a_n}是等差数列．
（2）由a_n=n-1，知bn＝2n−1−34，由此能求出数列{|b_n|}的前n项和S_n．

（1）证明：∵a₁=0，a₂=1，依题意只需证明∀n∈N^*，
a_n+1-a_n=a₂-a₁=1，…（1分）
∵a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），
∴an+1＝
n(n−1)an
n(n−1)−an，n＞1，
∴只需证an+1−an＝
an2
n(n−1)−an＝1，n＞1．…（3分）
即只需证an2＝n(n−1)−an，即只需证an2+an−n(n−1)＝0，
即只需证a_n=n-1或a_n=-n，…（5分）
∵a_n=-n不符合a₂=1，∴只需证a_n=n-1．
数列{n-1}是等差数列，且满足a₁=0，a₂=1，以上各步都可逆
∴数列{a_n}是等差数列 …（7分）
（2）由（1）可知a_n=n-1，∴bn＝2n−1−34，…（8分）
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
数列{2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{34}是常数列
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
1−2n
1−2−34n=2ⁿ-34n-1，…（9分）
令bn＝2n−1−34＞0，∴n＞6，∵数列{b_n}是递增数列
∴数列{b_n}前6项为负，以后各项为正 …（10分）
∴当n≤6时，S_n=-T_n=-2ⁿ+34n+1，…（11分）
当n＞6时，S_n=T_n-2T₆=2ⁿ-34n-283．…（12分）
∴Sn＝

−2n+34n+1，n≤6
2n−34n−283，n＞6．…（13分）

点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

解题思路：由已知得{a_n}是以3为周期的周期数列，A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂，由此能求出结果．

∵a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，
∴a_n+1=
an-1
an=1-[1
an，
∴a₂=1-
1/3]=[2/3]，
a₃=1-[3/2]=-[1/2]，
a₄=1+2=3，
…，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
且a₁•a₂•a₃=3×[2/3]×（-[1/2]）=-1，
∵2009=669×3+2
∴A₂₀₀₉=（a₁•a₂•a₃）⁶⁶⁹•a₁•a₂=（-1）⁶⁶⁹•3×[2/3]=-2．
故选：B

点评：
本题考点： 数列递推式

考点点评： 本题考查数列的前2009项积的求法，解题时要关键是推导出{an}是以3为周期的周期数列．是中档题

(1)证明：由题设,anan＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
因为an＋1≠0,所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设,a1＝1,a1a2＝λS1－1,可得 a2＝λ－1,
由(1)知,a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列,则2a2＝a1＋a3,解得λ＝4,故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为1,公差为4的等差数列,
a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1,an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4,使得数列{an}为等差数列．
这样可以么?

解题思路：由首项和递推式逐一求出a₂，a₃，a₄，发现数列的项周期出现，求出2014所含周期数，求出一个周期内的项的乘积，则可求得A₂₀₁₄的值．

∵a1=3，代入an-anan+1=1 ①得a2＝23②在把a2＝23代入an-anan+1=1，得到a3＝−12 ③把a3＝−12代入an-anan+1=1，得到a4=3 ④由此可见a4与a1相等，以后的项也会出现对应相同的数值，即...

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查了数列递推式，解答此题的关键在于发现数列的周期性并求出周期，是中档题．

数列{a_n}中，由a_n•a_n+1=-2①，得：a_n+1•a_n+2=-2②，
②÷①得：
an+2
an＝1 （n∈N^*），
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以1为公比的等比数列，
由a₁=1，且a_n•a_n+1=-2，得：a2＝
−2
a1＝−2．
∴数列{a_n}的通项公式为an＝

1(n为正奇数)
−2(n为正偶数)．
故答案为

1(n为正奇数)
−2(n为正偶数)．

解题思路：（1）a₁=0，a₂=1，依题意只需证明∀n∈N^*，只需证an2+an−n(n−1)＝0，即只需证a_n=n-1或a_n=-n，由此利用分析法能证明数列{a_n}是等差数列．
（2）由a_n=n-1，知bn＝2n−1−34，由此能求出数列{|b_n|}的前n项和S_n．

（1）证明：∵a₁=0，a₂=1，依题意只需证明∀n∈N^*，
a_n+1-a_n=a₂-a₁=1，…（1分）
∵a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），
∴an+1＝
n(n−1)an
n(n−1)−an，n＞1，
∴只需证an+1−an＝
an2
n(n−1)−an＝1，n＞1．…（3分）
即只需证an2＝n(n−1)−an，即只需证an2+an−n(n−1)＝0，
即只需证a_n=n-1或a_n=-n，…（5分）
∵a_n=-n不符合a₂=1，∴只需证a_n=n-1．
数列{n-1}是等差数列，且满足a₁=0，a₂=1，以上各步都可逆
∴数列{a_n}是等差数列 …（7分）
（2）由（1）可知a_n=n-1，∴bn＝2n−1−34，…（8分）
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
数列{2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{34}是常数列
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
1−2n
1−2−34n=2ⁿ-34n-1，…（9分）
令bn＝2n−1−34＞0，∴n＞6，∵数列{b_n}是递增数列
∴数列{b_n}前6项为负，以后各项为正 …（10分）
∴当n≤6时，S_n=-T_n=-2ⁿ+34n+1，…（11分）
当n＞6时，S_n=T_n-2T₆=2ⁿ-34n-283．…（12分）
∴Sn＝

−2n+34n+1，n≤6
2n−34n−283，n＞6．…（13分）

点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

a2a3/a1a2=a3/a1=q^2
a5/a2=q^3=1/8,
q=1/2,q^2=1/4,
a1=a2/q=2/(1/2)=4,
a1a2=4*2=8,
a1a2+a2a3+...+anan+1
=8[1-(1/4)^2n]/(1-1/4)
=32[1-(1/4)^2n]/3