设A为n阶幂等矩阵,秩为r,证明存在矩阵B,C,使A=CB,且BC=I,B,C秩均为r

由题意可知.A^2-A=0,即A^2-A-2E=-2E.可得(A+E)(A-2E)=-2E.-1/2(A+E)(A-2E)=E.得证,最关键的一点是怎么凑因式分解.

任意取群中的两个元素a、b,则 a^2 = b^2 = (ab)^2 = e 打开第三个平方,得到 abab = e 在上式两端分别左乘a,再右乘b,得到 aababb = ab 而aa = bb = e,即有 ba = a

由已知 ,A^2=A
若A是非奇异矩阵
则 A = A^-1A^2 = A^-1A = In
命题得证.

A^2=A
则 A 的特征值只能是0或1
再由 A(A-E)=0 得 r(A)+r(A-E)=n
即知A有n个线性无关的特征向量
故 A 可对角化

AB+BA=0 若此式左乘A再右乘A就有ABA=0;若此式左乘A再右乘B就有AB+ABAB=0
综合两式有AB=0
同理BA=0

用反证:
如果a*a=b(a,b不同)
那么(a*a)*a=b*a;
a*(a*a)=a*b;推出b*a=a*b
任意两个不同元素关于运算符“·”不可交换矛盾
所以对任何a є A ,a*a=a

因为A^2=A=AI,所以A（A-I）=0
所以A或A-I的行列式等于0
A的行列式等于0说明特征值是0
A-I的行列式等于0说明特征值是1

(A+B)(A+C) =AB·AC--------------公式（A+B=A•B） =AB+AC---------------公式（A•B=A+B） 公式记住, 给公式就往里面代就可以了. 你是要证明公式的话,那么画图是最简单的方法.一：布尔代数的基本公式 公...

幂等元：x*x=x
所以x*(x-1)=0
x不等于0,否则x没有逆元
所以x-1=0
否则x不为0,x-1不为0
x有逆元x^(-1),(x-1)有逆元(x-1)^(-1)
0=x*(x-1)*(x-1)^(-1)*x^(-1)=x*1*x^(-1)=1矛盾
所以只有唯一的幂等元x=1

设P^-1*A*P=J
P^-1*A^2*P=P^-1*A*P*P^-1*A*P=J^2
J是A的Jordan标准型
要使J^2=J,则J一定是对角阵

根据对称差的定义a与b的对称差=(a-b)∪(b-a),故
a与a的对称差=(a-a)∪(b-a)= 空集∪空集=空集
即任何集合a,它与自身做对称差运算均等于空集,如果a不等于空集,那么a与a的对称差等于空集,当然a与a的对称差不等于a了.
一个运算*,如果对任意元x,x与自身运算等于自身,即x*x=x,则称该运算*满足幂等律,显然对称差运算不满足幂等律,因为它不是对任意元x,有x*x=x.

Ax＝ax,A^2x=a^2x＝Ax＝ax,故a^2=a,a＝0或a＝1

幂等矩阵概述幂等矩阵（idempotent matrix）定义:若A为方阵,且A^2=A,则A称为幂等矩阵.等价命题1：若A是幂等矩阵,则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵

充分性：若AB=BA=0,则（A+B）^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B,从而A+B是幂等变换
必要性：若A+B是幂等变换,则（A+B）^2=A^2+AB+BA+B^2=A+AB+BA+B=A+B
从而AB+BA=0
两边左乘A,得A^2B+ABA=AB+ABA=0、右乘A,得ABA+BA^2=ABA+BA=0
联立上面三个等式,可得AB=BA=0

证明:因为V为幂等矩阵,所以 V^2 = V.
所以 (I+V)(1-1/2V) = 1-1/2V+V-1/2V^2 = 1-1/2V+V-1/2V = I
所以 I+V 可逆,且(I+V)^-1=I-1/2V.

如果LZ问的是A+2I必为满秩阵,那么:
由A²-A=O
得(A+2I)(A-3I)= A²+2A-3A-6I= A²-A-6I=-6I
即(A+2I)[(3I-A)/6]=I
即A+2I可逆,且逆矩阵为(3I-A)/6
所以A+2I为满秩阵

这其实是个满秩分解的矩阵问题
根据幂等矩阵的定理,若A为幂等矩阵,则存在一个可逆矩阵P使得（P-1）AP=E 0
0 0
E为单位矩阵,（P-1）为P的逆.
则A=P E 0 (P-1)
0 0
令Q=E 0
0 0
因为对角矩阵是幂等矩阵.
如果想知道详细证明过程把你的邮箱告诉我,我写给你,这上面不好弄

若α为n维列向量,则 A 应该是 A=E-αα^T.
证明:(1) A^T = (E-αα^T)^T
= E^T-(α^T)^Tα^T
= E-αα^T
= A.
所以A是对称矩阵.
(2) A^2 = (E-αα^T)^2 = E - 2αα^T + α(α^Tα)α^T = E-αα^T = A.
即A^2 = A
(3) 若A可逆
则由 A^=A 得 A = E
则 αα^T = 0
即有 α = 0.
这与 α^Tα = 1 矛盾.
所以 |A| = 0.

任取一个元素a,考虑 a,a^2,a^(2^2),...,a^(2^n),...
因为是有限半群,一定存在 m>n>= 0 使得 a^(2^n)=a^(2^m)
==》 a^(2^n + 2^m - 2*2^n)=a^(2^m + 2^m - 2*2^n)
a^(2^m -2^n) = a^(2((2^m -2^n))=（a^(2^m -2^n))^2
所以 a^(2^m -2^n) 是 幂等元

记Ax=0的解空间是W1,（E--A)x=0的解空间是W2,
对任意的x位于Fn中,有x=Ax+(E--A）x,其中Ax=y满足（E--A)y=（E--A)Ax=Ax--A^2x=0,故Ax位于W2中,类似的,(E--A)x满足A（(E--A)x)=A--A^2x=0,故（E--A)x位于W1中,故Fn=W1+W2.下面证明是直和.
若x同时满足Ax=0和（E--A）x=0,则x=x--Ax=（E--A）x=0,于是W1+W2是直和.

知识点:若P,Q可逆,则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)证明：∵|E-A-B|≠0,∴ E-A-B 可逆.∴ r(A)=r[A(E-A-B)]=r(A-A^2-AB)=r(-AB)=r(AB)r(A)=r[(E-A-B)B]=r(B-AB-B^2)=r(-AB)=r(AB)∴r(A)=r(AB)=r(B)

(1) 设A是幂零阵,B和A相似,则存在可逆阵C使得B=CAC^{-1},所以B^k=(CAC^{-1})^k=C(A^k)C^{-1}=0,所以B是幂零阵.
(2) 设A是幂等阵,B和A相似,则存在可逆阵C使得B=CAC^{-1},所以B^2=(CAC^{-1})^k=C(A^2)C^{-1}=CAC^{-1}=B,所以B是幂等阵.
(3) 设A是幺幂阵,B和A相似,则存在可逆阵C使得B=CAC^{-1},所以B^k=(CAC^{-1})^k=C(A^k)C^{-1}=CEC^{-1}=E,所以B是幺幂阵.

应该是一样的.
因为由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a^(n-1)=a*a=a,所以等幂元一定是幂等元,反之若a^n=a对一切N成立,则对n=2也成立,所以幂等元一定是等幂元.

幂等变换是否是A^2=A如果以A来表示这个线性变换
是这样,那证明如下:
在我们选取一组标准正交基e1,e2,...en之后
设V中任意一个线性变换,他在这组基下对应的度量矩阵是A.
则原命题等价于证A=TB
其中B^2=B,T是一个可逆矩阵.
我们知道任意一个矩阵A,设他的秩是r,存在可逆的矩阵P,Q
使得PAQ=E(r) 平常不这么表示,因为是n阶方阵,我这里写不出来.我用E(r)表示对角矩阵对角线上是1,1,1...,1 r个1然后是0,0,0 n-r个0的这样一个n阶方阵.
则A=P^(-1)E(r)Q^(-1)=P^(-1)Q^(-1)QE(r)Q^(-1)
其中T=P^(-1)Q^(-1)是可逆方阵,B=QE(r)Q^(-1)是一个满足条件的矩阵
于是,原命题得证.

设S是n阶有限半群.
a属于S
a,a^2,a^3,.,a^(n+1)均属于S
故存在a^i=a^j,其中1

设rank(A)=r
进行标准化,存在可逆阵P和Q使得
PAQ=D
=[ Ir 0
0 0]
Ir是r阶单位阵.
A=P^-1DQ^-1=(P^-1Q^-1)(QDQ^-1)
(QDQ^-1)^2=QD^2Q^-1=QDQ^-1幂等

有一个结论：
设P(x)为一个多项式
A的特征值为a1,a2,...,an
那么P(A)的特征值为P(a1),P(a2),...P(an)
那么A^n=0,而0矩阵的特征值均为0
则特征值a^n=0即a=0
对于A^2=A,即A^2-A=0
那么a^2-a=0
所以特征值a=1或0

由 A=B+E
得 B = A-E
由B是幂等矩阵知B^2=B
所以 A-E=(A-E)^2 = A^2-2A+E
即 A^2-3A+2E = 0
所以 A(A-3E) = -2E.
所以A可逆,且 A^-1 = (-1/2)(A-3E).

圆幂原理就是圆中两个三角形相似得出的相似比化为等积式.
如：弦AB与CD相交于P,则PA*PB=PC*PD,
若弦AB与CD相交于圆外一点P,也有PA*PB=PC*PD,
特别当A、B重合,即PA为圆的切线时,PA^2=PC*PD,
以上三个式子就是圆幂定理.

By applying the relevant knowledge of idempotent matrix,projection matrix and generalized inverse matrix,this article establishes the relations of the range and kernel of idempotent matrix,and then presents the proof.During the proving process,the problem that needs to be solved is on how to prove the relations of range and kernel; and the relevant knowledge of idempotent matrix and its range and kernel,projection matrix and generalized inverse matrix must be applied to study the problem,and the key of the question is to incorporate the property of idempotent matrix with the properties of its range and kernel.Idempotent matrix is a widely used matrix,the discussion on properties of the range and kernel of idempotent matrix can enhance the understanding of its property,enrich the relative knowledge and at the same time,it is also an excellent training to discuss problems by applying the learned basic knowledge.

(A+E)(E-A/2)=E,(E-2A)(E-2A)=E