设A是幂等矩阵,即A^2=A,证明A+E可逆并求A+E的逆

feiqrjkl2022-10-04 11:39:542条回答

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拉虫子了 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%
由题意可知.A^2-A=0,即A^2-A-2E=-2E.可得(A+E)(A-2E)=-2E.-1/2(A+E)(A-2E)=E.得证,最关键的一点是怎么凑因式分解.
1年前
想ee你123 共回答了2个问题 | 采纳率
因为 (E-A/2)(A+E)=(A+E)(E-A/2)=A+E-A^2/2-A/2=E,故A+E可逆且逆为E-A/2
1年前

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请教一下这些化简定律如何证明?
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幂等律:A•A = A ,A + A = A
吸收律:A•(A + B )= A ,A +(A•B)= A
分配律:A +(B•C)=(A + B)•(A + C)
互补律:A + A = 1 ,A•A = 0
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关于离散数学幂等律
对于任意集合a,如果a不等于空集,那么a与a的对称差不等于a.
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根据对称差的定义a与b的对称差=(a-b)∪(b-a),故
a与a的对称差=(a-a)∪(b-a)= 空集∪空集=空集
即任何集合a,它与自身做对称差运算均等于空集,如果a不等于空集,那么a与a的对称差等于空集,当然a与a的对称差不等于a了.
一个运算*,如果对任意元x,x与自身运算等于自身,即x*x=x,则称该运算*满足幂等律,显然对称差运算不满足幂等律,因为它不是对任意元x,有x*x=x.
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设A是幂等矩阵,即A^2=A,假设A不等于E,证明|A|=0
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幂等矩阵概述幂等矩阵(idempotent matrix)定义:若A为方阵,且A^2=A,则A称为幂等矩阵.等价命题1:若A是幂等矩阵,则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵
线性变换A称为幂等的,如果A²=A,设A与B都是线性空间V的幂等线性变换,证明A+B是幂等变换的充分必要条件是
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孤傲狼心 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
充分性:若AB=BA=0,则(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B,从而A+B是幂等变换
必要性:若A+B是幂等变换,则(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+AB+BA+B=A+B
从而AB+BA=0
两边左乘A,得A^2B+ABA=AB+ABA=0、右乘A,得ABA+BA^2=ABA+BA=0
联立上面三个等式,可得AB=BA=0
幂等矩阵证明题,感谢! !证明(I+V)^-1=I-1/2V,V为幂等矩阵,谢谢!
元江镍业1年前1
kgb1050ed 共回答了25个问题 | 采纳率88%
证明:因为V为幂等矩阵,所以 V^2 = V.
所以 (I+V)(1-1/2V) = 1-1/2V+V-1/2V^2 = 1-1/2V+V-1/2V = I
所以 I+V 可逆,且(I+V)^-1=I-1/2V.
A^2=A A的特征值只能是设矩阵A满足A2=A(称这样的矩阵为幂等阵).证明:A+2I必为满秩阵.谢谢一楼的回答,不过
A^2=A A的特征值只能是
设矩阵A满足A2=A(称这样的矩阵为幂等阵).证明:A+2I必为满秩阵.
谢谢一楼的回答,不过我问的是A+2I必为满秩阵
roylo8311年前2
swatadam 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
如果LZ问的是A+2I必为满秩阵,那么:
由A²-A=O
得(A+2I)(A-3I)= A²+2A-3A-6I= A²-A-6I=-6I
即(A+2I)[(3I-A)/6]=I
即A+2I可逆,且逆矩阵为(3I-A)/6
所以A+2I为满秩阵
称满足A^2=A 的矩阵A为幂等矩阵.证明:任意m*n矩阵A都可分解为可逆矩阵P和幂等矩阵Q的乘积.
zhuwenjin1年前1
frdhdh 共回答了18个问题 | 采纳率100%
这其实是个满秩分解的矩阵问题
根据幂等矩阵的定理,若A为幂等矩阵,则存在一个可逆矩阵P使得(P-1)AP=E 0
0 0
E为单位矩阵,(P-1)为P的逆.
则A=P E 0 (P-1)
0 0
令Q=E 0
0 0
因为对角矩阵是幂等矩阵.
如果想知道详细证明过程把你的邮箱告诉我,我写给你,这上面不好弄
设α是n维向量 满足α^T*α=1 令A=E-α^T*α 证明 A是对称矩阵 A^2=A 即A是幂等矩阵 A不可逆
51rr1年前2
婷婷欲立 共回答了20个问题 | 采纳率80%
若α为n维列向量,则 A 应该是 A=E-αα^T.
证明:(1) A^T = (E-αα^T)^T
= E^T-(α^T)^Tα^T
= E-αα^T
= A.
所以A是对称矩阵.
(2) A^2 = (E-αα^T)^2 = E - 2αα^T + α(α^Tα)α^T = E-αα^T = A.
即A^2 = A
(3) 若A可逆
则由 A^=A 得 A = E
则 αα^T = 0
即有 α = 0.
这与 α^Tα = 1 矛盾.
所以 |A| = 0.
证明:每个有限半群至少有一个幂等元
没穿aa怎么行1年前1
cooler1738 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
任取一个元素a,考虑 a,a^2,a^(2^2),...,a^(2^n),...
因为是有限半群,一定存在 m>n>= 0 使得 a^(2^n)=a^(2^m)
==》 a^(2^n + 2^m - 2*2^n)=a^(2^m + 2^m - 2*2^n)
a^(2^m -2^n) = a^(2((2^m -2^n))=(a^(2^m -2^n))^2
所以 a^(2^m -2^n) 是 幂等元
设A是数域F上n阶幂等方阵,证:n维线性空间上Fn可分解为方程组AX=0及(A-E)X=0的解空间的直和
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加多一个条件A2(平方)=A
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liuboshan 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
记Ax=0的解空间是W1,(E--A)x=0的解空间是W2,
对任意的x位于Fn中,有x=Ax+(E--A)x,其中Ax=y满足(E--A)y=(E--A)Ax=Ax--A^2x=0,故Ax位于W2中,类似的,(E--A)x满足A((E--A)x)=A--A^2x=0,故(E--A)x位于W1中,故Fn=W1+W2.下面证明是直和.
若x同时满足Ax=0和(E--A)x=0,则x=x--Ax=(E--A)x=0,于是W1+W2是直和.
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知识点:若P,Q可逆,则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)证明:∵|E-A-B|≠0,∴ E-A-B 可逆.∴ r(A)=r[A(E-A-B)]=r(A-A^2-AB)=r(-AB)=r(AB)r(A)=r[(E-A-B)B]=r(B-AB-B^2)=r(-AB)=r(AB)∴r(A)=r(AB)=r(B)
矩阵求证题.矩阵A称作幂零的,如果有正整数k使A^k=O;A称作幂等的,如果A^2=A,从而对正整数k都有A^k=A;
矩阵求证题.
矩阵A称作幂零的,如果有正整数k使A^k=O;A称作幂等的,如果A^2=A,从而对正整数k都有A^k=A; A称为幺幂的,如果有正整数k使A^k=E,试证:
(1)与幂零矩阵相似的矩阵都是幂零矩阵.
(2)与幂等矩阵相似的矩阵都是幂等矩阵.
(3)与幺幂矩阵相似的矩阵都是幺幂矩阵.
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空空9 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%
(1) 设A是幂零阵,B和A相似,则存在可逆阵C使得B=CAC^{-1},所以B^k=(CAC^{-1})^k=C(A^k)C^{-1}=0,所以B是幂零阵.
(2) 设A是幂等阵,B和A相似,则存在可逆阵C使得B=CAC^{-1},所以B^2=(CAC^{-1})^k=C(A^2)C^{-1}=CAC^{-1}=B,所以B是幂等阵.
(3) 设A是幺幂阵,B和A相似,则存在可逆阵C使得B=CAC^{-1},所以B^k=(CAC^{-1})^k=C(A^k)C^{-1}=CEC^{-1}=E,所以B是幺幂阵.
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是这样,那证明如下:
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则原命题等价于证A=TB
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使得PAQ=E(r) 平常不这么表示,因为是n阶方阵,我这里写不出来.我用E(r)表示对角矩阵对角线上是1,1,1...,1 r个1然后是0,0,0 n-r个0的这样一个n阶方阵.
则A=P^(-1)E(r)Q^(-1)=P^(-1)Q^(-1)QE(r)Q^(-1)
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By applying the relevant knowledge of idempotent matrix,projection matrix and generalized inverse matrix,this article establishes the relations of the range and kernel of idempotent matrix,and then presents the proof.During the proving process,the problem that needs to be solved is on how to prove the relations of range and kernel; and the relevant knowledge of idempotent matrix and its range and kernel,projection matrix and generalized inverse matrix must be applied to study the problem,and the key of the question is to incorporate the property of idempotent matrix with the properties of its range and kernel.Idempotent matrix is a widely used matrix,the discussion on properties of the range and kernel of idempotent matrix can enhance the understanding of its property,enrich the relative knowledge and at the same time,it is also an excellent training to discuss problems by applying the learned basic knowledge.
n阶矩阵A满足A^2=A时 称A为幂等函数
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