2消元——二元一次方程组的解法（4）

解二元一次方程组的关键是消元
二元一次方程组可写作：
ax+by=c 1）
dx+ey=f 2）
1）式的三项都乘以d,2）式的三项都乘以a,得
adx+bdy=cd 3）
adx+aey=af 4）
3)-4)得
(bd-ae)y=cd-af,即y=(cd-af)/(bd-ae)
1）式的三项都乘以e,2）式的三项都乘以b,得
aex+bey=ce 5）
bdx+bey=bf 6）
5)-6)得
(ae-bd)x=ce-bf,即x=(ce-bf)/(ae-bd)
所二元一次方程组的解的通式就是：
x=(ce-bf)/(ae-bd)
y=(cd-af)/(bd-ae)
当然,用代入消元法也可以,如果a不等于0,则由1）得
x=(c-by)/a 7）
把7）式代入2）式即可解得
x=(ce-bf)/(ae-bd)
同理解得：
y=(cd-af)/(bd-ae)
如果有需要再给你讲解.

选 C.由①得3m=7+4n在代入②
3*（7+4n)-10n=-25
21+12n-10n=-25
2n=-46
n=-23
把n=-23代入①得：
3m=7+4*(-23)
3m=7-92
3m=-85
m=-85/3

（a+2)x+(a+1)y=a...①(b+2)x+(b+1)y=b.②
①可化为ax+2x+ay+y=a
②可化为bx+2x+by+y=b
①-②得（a-b)x+(a-b)y=a-b
即x+y=1③
③×b得xb+yb=b④
②-④,得x=-1,从而y=2∴方程组的解为x=-1y=2

X+Y=7
3X+Y=17.
由X+Y=7
Y=7-X
代入3X+Y=17.
3X+7-X=17
2X=10
X=5
Y=7-X=2
2X-7Y=-8,
Y-2X=32.
由Y-2X=32
Y=32+2X
代入2X-7Y=-8,
2X-7(32+2X)=-8
2X-224-14X=-8
12X=-216
X=-18
Y=32+2X=-4

5（4X-3Y）=4(5X-2Y-4)
20X-15Y=20X-8Y-16
-15Y=-8Y-16
-7Y=-16
Y=16/7

前面剩下几项,最后也也剩下几项

1.是的.对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换后所得方程组与原方程组同解 (这有一个相应的定理)
2.是.仅仅交换两列,就会使得解的结果发生改变
3.行等价对应到线性方程组,意味着方程组同解.列等价没有对应的模型,只是考虑了向量组之间的关系

题型一]配凑法 　　例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。 　　分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。 　　∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1 　　(■+11) 　　∴f(x)=x2-1(x1) 　　小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。 　　[题型二]换元法 　　例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。 　　分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。 　　设t=1-cosx 　　∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2 　　∴cosx=1-t 　　∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t 　　∴f(t)=-t2+2t(0t2) 　　即f(x)=-x2+2x(0x2) 　　小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。 　　注意：换元后要确定新元t的取值范围。 　　②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 　　[题型三]待定系数法 　　例3.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。 　　分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。 　　设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0) 　　由f(x+2)=f(2-x)可知，该函数图象关于直线x=2对称 　　∴-■=2，即b=-4a……① 　　又图象过点(0，3) ∴c=3……② 　　由方程f(x)=0的两实根平方和为10，得(-■)2-■=0 　　即b2-2ac=10a2……③ 　　由①②③解得a=1，b=-4，c=3 　　∴f(x)=x2-4x+3 　　小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=■(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设 　　①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 　　②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) 　　③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 　　[题型四]消元法 　　例4.已知函数y=f(x)满足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常数，a≠±b，求函数y=f(x)的解析式。 　　分析：求函数y=f(x)的解析式，由已知条件知必须消去f(■)，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f(■)得f(x)。如何构成呢？充分利用x和■的倒数关系，用■去替换已知中的x便可得到另一个方程。 　　在已知等式中，将x换成■，得af(■)+bf(x)=■，把它与原条件式联立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……② 　　①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■) 　　∵a≠±b ∴f(x)=■(ax-■)(x≠0) 　　(周六继续刊登) 　　有同学通过QQ询问下面的数学题，我们请天津四中的孟黎辉老师来回答。 　　问1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的两根满足一个条件：一根大于k，一根小于k(k是实数)，求a的取值范围。(此题一种方法是图象法，还有一种方法，能告诉这两种方法吗？) 　　答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1图象为开口向上的抛物线，因此只需f(k)＜0即可。 　　∴k2+ak+a+1＜0，即a(k+1)＜-k2-1 　　∴当k＞-1时，a＜■；当k＜-1时，a＞■；当k=-1时，a无解。 　　方法二：(x1-k)(x2-k)＜0△＞0 　　只需(x1-k)(x2-k)＜0即可，x1x2-k(x1+x2)+k2＜0 　　即a+1+ka+k2＜0，以下同方法一。 　　问2.为什么求解时只需求(x1-k)(x2-k)＜0，而不需再求根的判别式是否大于0？ 　　答：法二不需要验判别式，原因可以举个简单例子说明，如：若研究x2+ax+b=0两根满足：一个根大于0，一个根小于0，只需x1x2＜0，即：b<0，此时就可以保证△=a2-4b＞0恒成立

逆流速度=船速-水流速度
顺流速度=船速+水流速度
设船速为xKm,水速为yKm
X+Y=20 (1)
X-Y=16 （2）
（1）+（2）得
2X=36
得X=18
Y=2
所以船速=18千米/小时
水流速度=2千米/小时

解二元一次方程组的基本思想是化归的思想,通过消元将二元转化为一元的问题来解,其通常解法有（加减消元法） 和（代入消元法）.

把x和y带到公式里啊……

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”,即通过“降次”、“消元”,将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组.由于这类方程组形式庞杂,解题方法灵活多样,具有较强的技巧性,因而在解这类方程组时,要认真分析题中各个方程的结构特征,选择较恰当的方法.
例1. a为何值时,方程组
（1）有两组相等的实数解.（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.
将②代入①,整理得.
二次方程③的判别式
（1）当,即a2时,方程③没有实数根,因而原方程没有实数解.
评析 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,一般用代入法求解,即将方程组中的二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,然后代入二元二次方程中,从而化“二元”为“一元”,如此便得到一个一元二次方程.此时,方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定.比如,当时,由于一元二次方程有两个相等的实根,则此方程组有相同的两组实数解……诸如此类.
三次方程可以用立方差公式等公式来解

1.x+y=1;2x+3y=12.-4/35.6.y=3-3x/2 x=0,y=3;x=1,y=3/2;x=2,y=08.C9.y=-x-1,代入②式得x=-1,代入y=010.①x=3y+2,代入②3（3y+2）=4y,y=-6/5,x=-8/512.2a+b=7,2a-b=1,得a=2,b=3,a-b=-1.A15.①2y-x=30,②x-10=y+...

关于几个方程几个未知数的问题,其实属于线性代数的内容,利用线性代数的结论,要解几个未知数就要有几条线性无关的方程（在这里线性无关的方程就是利用不同条件列出的方程,即方程组中任意两条方程是不等价的）,比如4个未知数那就要列四个方程,这样一定是能把每个未知数都都出来的,至于怎么解,无非就是利用消元法,我觉得解物理题逻辑性很强,一环扣一环的,比如说要你求某个物理量,那就倒着推回去,举个简单例子,让你求物体经过的距离,如果是匀速直线运动的话,那就肯定要知道加速度,初速度以及经过的时间,然后再根据题意将每个量确定下来

(1)原式=4m-3n=-1 1 4m+12n=14 2 1式-2式=-15n=-15 n=1 m=0.5
用这种方法,把两式中的一个未知数的系数化相等再相加（减）消元

两个方程中有同一个未知数的系数(相等或互为相反数) 时,用加法消元

换元法
解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
例如
在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则　原式=(y+1)(y+2)-12　=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x^2+x+5)(x^2+x-2)　=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程。
待定系数法
待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
例题
已知多项式 2x^4-3x^3+ax^2+7x+b能被x^2+x-2整除，求a/b
分析：由条件可知，(x^2+x-2)是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设2x^4-3x^3+ax^2+7x+b=(x^2+x-2)(mx^2+nx+k)，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值。
答案：-2
希望能帮到你

二元一次方程 以及三元一次方程只要把它慢慢化成一元一次方程再计算就可以了.
而一元一次方程就要把它化成 X=a（a是常数）的形式.

解方程组 ：4x+5y+z=15, ...①
3x-5y+2z=0, ...②
x+2y-z=7, ...③ 第一步：①+②,消去y得 7x+3z=15, ...④
第二步：①+③,消去z得 5x+7y=22, ...⑤

应该是这样的：
把（3）两边同时×2
2x+4y-2z=14与（2）相加
3x-5y+2z=0
5x-y=14与（5）相减
5x+7y=22
8y=8
y=1代入到（5）
5x+7*=22
5x=15
x=3
把x;y代入到（3）
3+2-z=7
z=-2
验算
（1）4*3+5-2=15
（2）3*3-5-4=0
（3）3+2+2=7
方程组成立

1.x+2y=-14 3x-y=0
y=3x带入x+2y=-14 得x+6x=-14 ,则x=-2,y=-6
2.2x-y=1 3x-2y=5
2x-y=1得y=2x-1代入3x-2y=5,得3x-4x+2=5,则x=-3,y=-7
3.x+y=3 2x+4y=5
因为x+y=3,则2x+4y=2x+2y+2y=2(x+y)+2y=6+2y=5,得y=-1/2,x=7/2
4.9a-13b=-12 a+3b=2
a+3b=2,则a=2-3b代入9a-13b=-12 ,得18-27b-13b=-12,则b=3/4,a=-1/4

这.小朋友你数学得学好啊,这题目感觉是初中的一元二次方程啊
X-Y=3
3X-8Y=14
X=3+Y
3(3+Y)-8Y=14
9-5Y=14 ==>Y=-1
X=3-1=2
得X=2 Y=-1
结贴吧,谢谢

消元法：
3x-3=y+5
3x+15=5y-5
两式相减
18=4y-10
y=7
x=5
第二题空白部分是怎么回事?

8.2消元—二元一次方程组的解法(1) 七年级数学下册（人教版） 二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,我们就可以先解出一个未知数,然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.今天的作业：课本103页习 题8.2第2题 * 芝田一中 武小强 态度决定一切!知之者不如好之者,好之者不如乐之者.本节学习目标 ：1、会用代入法解二元一次方程组.2、初步体会解二元一次方程组的基本思 想——“消元”.3、通过对方程中未知数特点的观察和分析,明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”,从而促成未知向已知的转化,培养观察能力和体会化归的思想.1、用含x的代数式表示y：x + y = 22 2、用含y的代数式表示x：2x - 7y = 8 篮球联赛中每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.如果某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得40分,那么这个队胜、负场数应分别是多少?设胜x场,负y场； ①② ③是一元一次方程,相信大家都会解.那么根据上面的提示,你会解这个方程组吗?由①我们可以得到：再将②中的y换为 就得到了③ 设胜x场,则有：回顾与思考 比较一下上面的方程组与方程有什么关系?③ 40 ) 22 ( 2 = - + x x 上面的解法,是由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫代入消元法,简称代入法 归 纳：用代入法解方程组 2x+3y=16 ① x+4y=13 ② ∴原方程组的解是 x=5 y=2 例1（在实践中学习） 由② ,得 x=13 - 4y ③ 把③代入① ,得 2（13 - 4y）+3y=16 26 –8y +3y =16 -5y= -10 y=2 把y=2代入③ ,得 x=5 把③代入②可以吗?试试看 把y=2代入① 或②可以吗?把求出的解代入原方程组,可以知道你解得对不对.例2 学以致用 设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.根据题意可列方程组：③①由 得：把 代入 得：③② 解得：x=20000 把x=20000代入 得：y=50000 ③答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.根据市场调查,某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）,两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为 某厂每天生产这种消毒液22.5吨,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?①② íì = + = 22500000 250 500 2 5 y x y x 二元一次方程 变形 代入 y=50000 x=20000 解得x 一元一次方程 消y 用 代替y,消去未知数y 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：再议代入消元法 随堂练习：y=2x ⑴ x+y=12 ⑵ x=— y-5 2 4x+3y=65 ⑶ x+y=11 x-y=7 ⑷ 3x-2y=9 x+2y=3 x=4 y=8 x=5 y=15 x=9 y=2 x=3 y=0 你解对了吗?1、用代入消元法解下列方程组 1 1 2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元一次方程,求m、n 的值.根据已知条件可列方程组：2m + n = 1 3m – 2n = 1 ①②由①得：把③代入②得：n = 1 –2m ③ 3m – 2（1 – 2m）= 1 3m – 2 + 4m = 1 7m = 3 把m 代入③,得：3、今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 如果设鸡有x只,兔有y只,你能列出方程组吗?x＋y＝35 2

这个题我们先消掉Y比较简单点.要想把两个式子中的Y消掉,就要让这两个式子中的Y前面的系数相等,然后进行相减.
4X+3Y=20 *4变成 16X+12Y=80
9X+4Y=30 *3变成 27X+12Y=90
看变形后的两个方程,只有未知数前面的系数相等才能相加减.
用2减去1得 9X=10
X=10/9

用代入法解方程组是,通常先对系数较小的方程进行变形,然后带人另一个方程消元,转化为一元一次方程求解

把 AX=B 看作三个方程组
(A,B) 的第 1,2,3,4 列 构成第一个方程组的增广矩阵
(A,B) 的第 1,2,3,5 列 构成第二个方程组的增广矩阵
(A,B) 的第 1,2,3,6 列 构成第三个方程组的增广矩阵

消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法
一、概念步骤与方法：
1.由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程,把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程,消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程,求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程,求出另一个未知数的值,从而确定方程组的解.
注意：⑴运用代入法时,将一个方程变形后,必须代入另一个方程,否则就会得出“0＝0”的形式,求不出未知数的值.
⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时,用代入法较简便.
3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较简便.

你想,消元能把原来有根的削成无根的吗?
如果x,y,z三个变量消元实际上最终是把他变成正方体,体积不变.

消元法是将二元的方程组变成一元一次方程.
图像法是用x把y表示出来,运用一次函数图像,得到两条直线,这两条直线的交点坐标即方程组的解.
只能说这么多了...

一、②--①得：2x=2 x=1
把x=1代入①得：5-2y=0 y=二分之五
二、②x3得：15y-6x=-24 ③
③--①得：8y=-64 y=-8
把y=--8代入②得：-40-2x=-8 x=-16
这道题你是会做的吧

解得：x=7 （2）｛x+y=360 ·1 112％x+110％y=400·2 由1式X110%－2式得：1.1x-1.12x=396-400 -0.02x=-4 解得：x=200 代入1式,

x人,y桌
每桌安排10人,则8人没有座位
x=10y+8
每桌安排12人,则多出2个空位
x=12y-2
10y+8=12y-2
y=5,x=58 真是,百度随便一查不就出来了?我也是七年级的,有题可以共同商量

①则m=_2____,n=__-1____
②-6
③X+Y=52,1/2Y+10=X

要用加减消元的话,
1式+2式得:3X+Z=0 (4式)
2式乘以2+3式得:7X-4Z=-7 (5式)
4式乘以4+5式得:19X=-7,即X=-7/19
把X代入4式得:Z=21/19
把X,Z代入1式得:Y=54/19

x+8y=56,x=24.直接用代入消元法.把x=24代入x+8y=56,得24+8y=56.解得y=4

圆的方程含有x、y,如果以x为未知数,y当做常数,判别式为0时,x有重根.
此时,不仅包含相切的情况,还包括2个圆有2个交点,2个交点的x相等,但是y不相等的情况

（2x-1） /5 +（3y-2）/4=2 ①
（3x+1）/5 -（3y+2）/4=0 ②
变式为：
2x /5-1/5 + 3y/4-2/4=2 a
3x /5+1/5 - 3y/4-2/4=0 b
a+b得：2x /5 + 3x /5 -2/4 -2/4=2
整理得：x-1=2
x=3
将 x=3带入②得：
y=2

关于几个方程几个未知数的问题,其实属于线性代数的内容,利用线性代数的结论,要解几个未知数就要有几条线性无关的方程（在这里线性无关的方程就是利用不同条件列出的方程,即方程组中任意两条方程是不等价的）,比如4个未知数那就要列四个方程,这样一定是能把每个未知数都都出来的,至于怎么解,无非就是利用消元法,我觉得解物理题逻辑性很强,一环扣一环的,比如说要你求某个物理量,那就倒着推回去,举个简单例子,让你求物体经过的距离,如果是匀速直线运动的话,那就肯定要知道加速度,初速度以及经过的时间,然后再根据题意将每个量确定下来

矩阵的消元即矩阵作初等变换
它的秩和维数都不会变化

这个直接用1式减2式就行啊,得2Y=-8,Y=-4 X=12

寻求解决方案的方程消元法是相同的解决方案,改造,没有需要加一个负号.
如：2X1 +4 X2-6X3 = 8
用下面的公式解决方案：
2×4×2 +3×3 = -4

不需要加一个负号.此外,矩阵消元法求解线性方程组的决定因素是不同的.

（1）①x2-②
(2)①+②×4

消元的方法有两种：一、代入消元法.就是用一个未知数表示另一个未知数,再代入另一个方程,达到消去这个未知数的目的.二、加减消元法.即把其中一个未知数的系数整理成相等或者互为相反数,再通过加减消去这个未知数.

末知数糸数相同

我 连接上楼 7.分组 排序 分类 8.扇形统计图和折线统计图 象形统计图频数分布直方图

{8+2D-2E+F=0 ①
{36+5D+3E+F=0 ②
{0+3D-E+F=0 ③
③-①得 -8+D+E=0 ④
②-①得 26+3D+5E=0 ⑤
解④、⑤得D=33、E=-25
把D=33、E=-25代入③得F=-124
所以方程组的解是
{D=33,
{E=-25
{F=-124

好吧好吧,告诉你啊.
DDDDB x=三分之一
6x=2 x=三分之一 2y=-10 y=-5 y=-5
y=2分之3-4分之3x
-3 -4
三分之一 2
7 4
x=2 y=1
x=8 y=4
x=2 y=2
3
a=二分之五 b=1