已知函数y=1/2sin(3x+π/6)+1 ,若x∈(-π/3,π/6)求函数的值域

y=sinx
x的值增加π/12,即图像向右移动π/12个单位长度：
y=sin(x+π/12)
x的值乘以2,即图像横向拉伸为原来2倍
y=sin[2(x+π/12)]=sin(2x+π/6)
y的值乘以1/2,即图像纵向缩短为原来1/2
y=1/2*sin(2x+π/6)
y的值加上5/4,即图像向上移动5/4个段位长度
y=1/2sin(2x+π/6)+5/4

解当2x+π/6=2kπ+π/2,k属于Z时,函数有最大值y=1/2×1+5/4=7/4
即当x=kπ+π/6k属于Z时,函数有最大值y=7/4
注意2x+π/6整体为2kπ+π/2,k属于Z时,函数有最大值.

当x属于【0,π/2】时,
2x+π/6∈[π/6,7π/6]
sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]
y∈[-1/4,1/2]

∵y=1/2sin【(x+π)/A】(A>0)最小正周期为3π
∴T=2π/(1/A)=3π
得 A=3/2
原式化简为
y=1/2sin【3/2X+3/2π】
当3/2X+3/2π=π/2+2kπ （k∈N）时即x=4/3kπ-2/3π（k∈N）得到最大值y=1/2
当3/2X+3/2π=-π/2+2kπ（k∈N）时即x=4/3kπ-2π（k∈N）得到最小值y=-1/2
∴函数的值域为 y∈【-1/2,1/2】

（1）
振幅1/2
周期π
初相π/6

（2）
(-π/3,3/4)
(-π/6,1)
(-π/12,5/4)
(0,3/2)
(π/6,7/4)

函数y取最大值,2x+π/6=2kπ+π/2
即x=kπ+π/6
y=2sin(x/2+π/3）的图像是由y=sinx先纵坐标不变,横坐标扩大2倍变为y=sinx/2
再向左平移π/3个单位,变为y=sin(x/2+π/3）
最后横坐标不变,纵坐标上下伸长2倍

（1）形如f(x)=Asin(wx+&)的图像
振幅A 周期2pi/w 频率w/(2pi) 相位wx+& 初相&
所以针对本题而言,振幅1/2,周期pi,频率1/pi,相位2x+pi/6,初相pi/6
（2）利用相关原则,我们所熟悉的y=sinx图像的递增区间是[2kpi-pi/2,2kpi+pi/2],对称轴x=kpi+pi/2,对称中心(kpi,0）
对应在这道题中分别是2kpi-pi/2=

-1≤sin(2x+∏/6)≤1
-1/2 ≤1/2sin(2x+∏/6)≤1/2
3/4≤1/2sin(2x+∏/6)+5/4≤7/4
(1)由上知y的最大值为7/4,当sin(2x+∏/6)=1时,即2x+∏/6=∏/2+2k∏,
当x=∏/6+k∏时（k是正整数）,函数取得最大值
(2)图像先沿x轴左移∏/3变为y=sin(x+∏/3)
再将图像沿x轴缩短1为原来的1/2 ,得到y=sin(2x+∏/6)
将图像沿y轴缩短至原来的1/2,得到y=1/2sin(2x+∏/6)
最后将图像沿y轴上移5/4个单位即得函数y=1/2sin(2x+π/6)+5/4