△ABC中,BM平分∠ABC交AC于点M.过点M做MN∥BC交AB于点N,若AN=3,NB=2试求BC的长

四边形EBFM是正方形．
理由：∵BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，
∴ME=MF，
∵∠ABC=90°，∠MEB=90°，∠MFB=90°，
∴四边形EBFM是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形EBFM是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．

点评：
本题考点： 角平分线的性质；直角三角形的性质；正方形的判定．

考点点评： 此题主要考查角平分线的性质和正方形的判定，灵活掌握定理是关键．

（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=[1/2]BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=[1/3]
∴BE=2，cos∠ABC=[1/3]
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=[BE/cos∠ABC]=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴[OM/BE＝
AO
AB]
∴[r/2＝
6−r
6]
解得r＝
3
2
∴⊙O的半径为[3/2]．

点评：
本题考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．

证明：（1）∵MB平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
在△BNM和△BCM中，


BN＝BC
∠ABM＝∠CBM
BM＝BM
∴△BNM≌△BCM（SAS），
∴∠MNB=∠C=90，
∴MN⊥AB，
∵N是AB中点，
∴△ABM是等腰三角形，
∴MN平分∠AMB；
（2）∵△BNM≌△BCM（SAS），
∴∠NBM=∠CBM，
∵△ABM是等腰三角形，
∴∠A=∠NBM，
∴∠A=∠CBM．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评： 本题主要考查三角形全等的判定和性质，证明△BNM和△BCM全等是解题的关键．

（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=[1/2]BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=[1/3]
∴BE=2，cos∠ABC=[1/3]
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=[BE/cos∠ABC]=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴[OM/BE＝
AO
AB]
∴[r/2＝
6−r
6]
解得r＝
3
2
∴⊙O的半径为[3/2]．

点评：
本题考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．

（1）证明：连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；

（2）设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=[3/5]，
∴AB=BE÷cosB=5，则OA=5-r．
∵OM∥BE，
∴[OM/BE]=[OA/AB]，
即[r/3]=[5−r/5]，
解得r=[15/8]；

（3）设AB=AC=a，BC=2b，则BE=EC=b，设AE=h，同（2）可以得到：[a−r/a]=[r/b]，解得：r=[ab/a+b]，
则△ABC中AC边上的高长是：BG=[2bh/a]．
当圆与AC相切，且O在边AN上时：作OF⊥AC于，则OF=r=[ab/a+b]，且OF∥BG．
∴[OF/BG]=[OA/AB]，
∴OA=[OF•AB/BG]=

a2b
a+b

2bh
a=
a3
2h(a+b)，
又∵h=
a2−b2，
∴OA=
a3
2(a+b)
a2−b2=
a3
a2−b2
2(a+b)2(a−b)．
则OB=a-
a3
a2−b2
2(a+b)2(a−b)．
当O在BA的延长线上，且与AC相切时，OB=a+
a3
a2−b2
2(a+b)2(a−b)．
则当OB满足：a-
a3
a2−b2
2(a+b)2(a−b)＜OB＜a+
a3
a2−b2
2(a+b)2(a−b)时⊙O与直线AC相交．

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质、三角函数的综合应用，正确利用三角形的边长表示出⊙O与直线AC相交是OB的长度是关键．

（1）证明：连接OM，则∠OMB=∠OBM=∠MBE又∵AB=AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，∴AE与⊙O相切．（2）由AE与⊙O相切，AE⊥BC∴OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴OMBE＝AOAB∵BC=4...

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；切线的判定．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题，关键是作出辅助线进行证明．

∵DM平分∠CDA，
∴∠CDM=∠MDA，
又∵BM平分∠ABC，
∴∠CBM=∠ABM，
又∵∠MDA+44°=∠CBM+36°，
∴∠CBM-∠MDA=8°，
∴2∠CBM-2∠MDA=16°，
即∠ABC-∠ADC=16°，
又∵∠ADC+∠C=∠ABC+∠A，
∴∠C=36°+16°=52°．

点评：
本题考点： 三角形内角和定理；角平分线的定义．

考点点评： 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并根据“8字形”列出等式是解题的关键．

（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，∠AMN=∠EMN．
又∵MN=MN，
∴△ANM≌△ENM．

（2）证明：∵AB²=AF•AC，
∴[AB/AC＝
AF
AB]．
又∵∠BAC=∠FAB=90°，
∴△ABF∽△ACB．
∴∠ABF=∠C．
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°，
∴FB是⊙O的切线．

（3）由（1）得AN=EN，AM=EM，∠AMN=∠EMN，
又∵AN∥ME，
∴∠ANM=∠EMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM，
∴AM=ME=EN=AN．
∴四边形AMEN是菱形．
∵cos∠ABD=[3/5]，∠ADB=90°，
∴[BD/AB＝
3
5]．
设BD=3x，则AB=5x，
由勾股定理AD=
(5x)2−(3x)2=4x；
∵AD=12，
∴x=3，
∴BD=9，AB=15．
∵MB平分∠AME，
∴BE=AB=15，
∴DE=BE-BD=6．
∵ND∥ME，
∴∠BND=∠BME．
又∵∠NBD=∠MBE，
∴△BND∽△BME．
∴[ND/ME＝
BD
BE]．
设ME=x，则ND=12-x，[12−x/x＝
9
15]，解得x=[15/2]．
∴S=ME•DE=[15/2]×6=45．

点评：
本题考点： 切线的判定；全等三角形的判定；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理．

考点点评： 本题利用了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定，还有勾股定理以及菱形面积公式等知识．

（1）证明：连接OM，则OM=OB∴∠1=∠2∵BM平分∠ABC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OM∥BC∴∠AMO=∠AEB在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠AMO=90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）在△ABC中...

点评：
本题考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．

四边形EBFM是正方形．
理由：∵BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，
∴ME=MF，
∵∠ABC=90°，∠MEB=90°，∠MFB=90°，
∴四边形EBFM是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形EBFM是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．

点评：
本题考点： 角平分线的性质；直角三角形的性质；正方形的判定．

考点点评： 此题主要考查角平分线的性质和正方形的判定，灵活掌握定理是关键．

（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=[1/2]BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=[1/3]
∴BE=2，cos∠ABC=[1/3]
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=[BE/cos∠ABC]=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴[OM/BE＝
AO
AB]
∴[r/2＝
6−r
6]
解得r＝
3
2
∴⊙O的半径为[3/2]．

点评：
本题考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．

（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=[1/2]BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=[1/3]
∴BE=2，cos∠ABC=[1/3]
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=[BE/cos∠ABC]=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴[OM/BE＝
AO
AB]
∴[r/2＝
6−r
6]
解得r＝
3
2
∴⊙O的半径为[3/2]．

点评：
本题考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．

（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=[1/2]BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=[1/3]
∴BE=2，cos∠ABC=[1/3]
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=[BE/cos∠ABC]=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴[OM/BE＝
AO
AB]
∴[r/2＝
6−r
6]
解得r＝
3
2
∴⊙O的半径为[3/2]．

点评：
本题考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．

（1）证明：连接OM，则∠OMB=∠OBM=∠MBE又∵AB=AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，∴AE与⊙O相切．（2）由AE与⊙O相切，AE⊥BC∴OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴OMBE=AOAB，∵BC=...

点评：
本题考点： 切线的判定．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题，关键是作出辅助线进行证明．

（1）AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠EBM．
∴∠OMB=∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO=∠AEB．
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB=90°．
∴∠AMO=90°．
∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=[1/2]BC，∠ABC=∠C．
∵BC=4，cosC=[1/3]，
∴BE=2，cos∠ABC=[1/3]．
在△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB＝
BE
cos∠ABC＝6．
设⊙O的半径为r，则AO=6-r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴[OM/BE＝
AO
AB]．
∴[r/2＝
6−r
6]．
解得：r=[3/2]
∴⊙O的半径为[3/2]．

点评：
本题考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．

证明：（1）∵MB平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
在△BNM和△BCM中，


BN＝BC
∠ABM＝∠CBM
BM＝BM
∴△BNM≌△BCM（SAS），
∴∠MNB=∠C=90，
∴MN⊥AB，
∵N是AB中点，
∴△ABM是等腰三角形，
∴MN平分∠AMB；
（2）∵△BNM≌△BCM（SAS），
∴∠NBM=∠CBM，
∵△ABM是等腰三角形，
∴∠A=∠NBM，
∴∠A=∠CBM．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评： 本题主要考查三角形全等的判定和性质，证明△BNM和△BCM全等是解题的关键．