a1=3,a(n+1)=2an+1求通项公式

设{a_n}的公比为q，由S₄=1，S₈=17知q≠1，
∴得
a1(q4−1)
q−1＝1①

a1(q8−1)
q−1＝17②
由 ①和②式
整理得
q8−1
q4−1＝17
解得q⁴=16
所以q=2或q=-2
将q=2代入 ①式得a1＝
1
15，
∴a＝
2n−1
15
将q=-2代入 ①式得a1＝−
1
5，
∴an＝
(−1)n×2n−1
5，
综上所述an＝
2n−1
15或an＝
(−1)n×2n−1
5

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评： 本题是一个等比数列的基本量的运算，这种问题是数列中最容易出的一种小型题目，多出在选择和填空中，是考查数列的基础知识的一道送分的题目，只要解题认真就可以得分．

∵等比数列{a_n}中，a₃=3，a₆=24
∴q³=
a6
a3=8
∴q=2
∴a_n=a₃q^n-3=3•2^n-3
故答案为：3•2^n-3

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式的求解．解题的关键是利用a3=3，a6=24求出公比q同时要熟记利用等比数列的通项公式an=amqn-m．

（1）

因为a2a4＝64，∴a32＝64，a3＝±8.，∴a3＝8，a₃+2是a₂，a₄的等差中项，所以a₂=4，a₄=16，所以数列的通项公式a_n=2ⁿ．
（2）


由(1)得An＝2n+1−2，Bn＝lo
g222n+1＝(n+1)2，
当n＝1时，A1＝2，B1＝(1+1)2＝4，A1＜B1；
当n＝2时，A2＝6，B2＝(2+1)2＝9，A2＜B2；
当n＝3时，A13＝14，B3＝(3+1)2＝16，A3＜B3；
当n＝4时，A4＝30，B4＝(4+1)2＝25，A4＞B4；
由上可以猜想，当1≤n≤3时，An＜Bn；当n≥4时，An＞Bn
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=4时，已验证不等式成立．
②


假设n＝k(k≥4)时，Ak＞Bk成立，即2k+1−2＞(k+1)2
当n＝k+1时，Ak+1＝2k+2−2＝2(2k+1−2)+2＞2(k+1)2+2＝2k2+4k+4
＞k2+4k+4＝[(k+1)+1]2＝Bk+1
即当n＝k+1时不等式也成立．
由①②知，当n≥4（n∈N^*）时，A_n＞B_n
综上，当1≤n≤3时，A_n＜B_n；当n≥4时，A_n＞B_n

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生对数列基本知识的掌握．难点在于作差比较大小，得出的结果不能判别符号，不少学生在此会放弃；在于要想到用数学归纳法来证明差中的一部分．

（Ⅰ）当n≥2时，an＝
1
2(1−an)−
1
2(1−an−1)＝−
1
2an+
1
2an−1，
∴2a_n=-a_n+a_n-1
∴
an
an−1＝
1
3，----------------------------------（4分）
由S1＝a1＝
1
2(1−a1)得a1＝
1
3
∴数列{a_n}是首项a1＝
1
3、公比为[1/3]的等比数列，
∴an＝
1
3×(
1
3)n−1＝(
1
3)n------（6分）
（Ⅱ）证明：由Sn＝
1
2(1−an)得Sn＝
1
2[1−(
1
3)n]---------------------------------（8分）
∵1−(
1
3)n＜1，∴[1/2[1−(
1
3)n]＜
1
2]
∴Sn＜
1
2---------------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）∵f(x)＝log
1
3x，
∴bn＝log
1
3a1+log
1
3a2

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确运用裂项法是关键．

证明：当n=1时，a₁=S₁=2-2a₁，∴a₁=[2/3]，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2-2a_n）-（2-2a_n-1）=2a_n-1-2a_n，
∴
an
an−1=[2/3]．
故{a_n}是以a₁=[2/3]为首项，以q=[2/3]为公比的等比数列．
∴a_n=a₁q^n-1=（[2/3]）ⁿ．

点评：
本题考点： 等比关系的确定；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，正确等比数列的定义是关键．