f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10,求a,b的值

f′（x）=3x²+2ax+b
则

f′(1)=3+2a+b=0
f(1)=1+a+b+a2=10，
当

a=4
b=-11时，f'（x）=3x²+8x-11，△=64+132＞0，所以函数有极值点；
当

a=-3
b=3，所以函数无极值点；
则b的值为：-11．
故答案为：-11．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，注意函数极值存在的充要条件，考查计算能力．

由已知，可得f（1）=1-3a+2b=-1①，
又f'（x）=3x²-6ax+2b，
∴f'（1）=3-6a+2b=0，②
由①，②，解得a＝
1
3，b＝−
1
2．
故函数的解析式为f（x）=x³-x²-x．
由此得f'（x）=3x²-2x-1，根据二次函数的性质，当x＜−
1
3或x＞1时，f'（x）＞0；
当−
1
3＜x＜1，f'（x）＜0．
∴函数f（x） 在(−∞，−
1
3)和(1，+∞)上单调递增，在(−
1
3，1)单调递减
∴当x＝−
1
3时，f（x）取得极大值，f(x)极大值＝
5
27

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查函数的导数与极值之间的关系，属于导数的应用，比较基础．

∵f（x）=e^x
∴f（1）=e且f′（x）=e^x
根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1）=e
∴函数f（x）=e^x在x=1处的切线方程是y-e=e（x-1）即y=ex
故答案为：y=ex

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了导数的几何意义：导数在一点处的导数值即为该点处切线的斜率的应用，属于基础试题

（1）由于函数f（x）=[1/3]x³-mx，则f′（x）=x²-m
由f′（1）=0，即x²-m=0
解得m=1，经检验，m=1符合题意
所以m=1
（2）由（1）得f′（x）=x²-1，
列表

x [-3，-1） -1 （-1，1） 1 （1，[3/2]
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增且f（-1）=
2
3]，f（1）=−
2
3，f（-3）=-7，f（[3/2]）=−
3
8，
所以当x∈[-3，[3/2]]时，f（x）max=f（-1）=[2/3]，f（x）min=f（-3）=-7

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数的最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．

（I）由题意得：f′(x)＝
1−a−lnx
x2；令1-a-lnx=0，即x=e^1-a；
∴当x∈（0，e^1-a），f′（x）＞0；x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0；
∴函数f（x）在x=e^1-a处有极大值；
∴e^1-a=1⇒a=1；函数f（x）解析式f(x)＝
1+lnx
x，
（II）由（I）得g(x)＝
(1+x)(1+lnx)
x；x∈[1，+∞)，
∴g′(x)＝
x2−lnx+1
x2，令h（x）=x²-lnx+1
发现当x∈[1，+∞）时，h（x）＞0；
∴函数g（x）x∈[1，+∞）在单调递增；
故存在最小值为：g（1）_min=2．
（III）由（II）得g(x)＞
2
x+1恒成立，即lnx≥
x−1
x+1＝1−
2
x+1＞1−
2
x
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)，
∴ln(1×2)＞1−
2
1×2，ln(3×4)＞1−
2
3×4ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)；
叠加可得：ln[1×22×32×n2×(n+1)]＞n−2[
1
1×2+
1
2×3+
1
n(n+1)]
=n−2(1−
1
n+1)＞n−2+
1
n+1＞n−2（不等式性质传递性）
则1×2²×3²×n²×（n+1）²＞e^n-2．
故[（n+1）!]²＞（n+1）×e^n-2（n∈N^*）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数、导数等基础知识，利用函数单调性和极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．