多元函数极值如何判断极大和极小值

各个偏导数的值均为0.

设x+y=t,则x^2+y^2

解（拉格朗日乘数法）：设F=xy+λ(x+y-1)
令Fx=y+λ=0........(1)
Fy=x+λ=0........(2)
Fλ=x+y-1=0........(3)
解方程组(1),(2)得x=y
代入(3)得x=y=1/2
故z的极大值=z(1/2,1/2)=(1/2)(1/2)=1/4

对于实际问题,如果我们根据对现实的分析发现理论上应该存在这样的极值点,那么你得到的唯一的一个或两个极值点就一定是题目所要的,不用后面的检验了.如果不是实际应用问题,那就必须检验,因为这正是出题人想考你的知识点,否则他就会出应用题了（因为学以致用,用数学的思维方式去解决实际问题,才是高数的目的）.

是的.即使用偏导求出来在边界上也要舍弃.边界上要用另一套方法,记得是用L(x)表示的

你再看看海塞矩阵的定义咯,应该还是可以想到的,而且我觉得应该不用海塞矩阵的.

先列出方程组:
b+c+2aλ = 0,
a+c+2bλ = 0,
a+b+2cλ = 0,
a²+b²+c² = 1.
前三式两两相减得:(2λ-1)(a-b) = 0,(2λ-1)(b-c) = 0.
若2λ-1 ≠ 0,则a-b = 0,b-c = 0,即a = b = c.
代回解得a = b = c = ±1/√3,λ = -1,对应ab+bc+ca = 1.
可验证函数ab+bc+ca-(a²+b²+c²-1)在这两点取得最大值.
从而也是ab+bc+ca在条件a²+b²+c² = 1下的最大值.
若2λ-1 = 0,带回得a+b+c = 0.
由2(ab+bc+ca) = (a+b+c)²-(a²+b²+c²) = -1,得ab+bc+ca = -1/2.
可验证函数ab+bc+ca+(a²+b²+c²-1)/2在这些点取得最小值.
从而也是ab+bc+ca在条件a²+b²+c² = 1下的最小值.

1,可以利用图像法,平移左正右负求解
2,把Y=2-X代入上式,关于X的一元二次方程求解

因为二元函数的极值点不仅要求一阶导数为0,还要求二阶导数满足一定条件：
z'x=2xy(4-x-y)-x^2y=xy(8-3x-2y)
z'y=x^2(4-x-2y)
B=z'xy=x(6-3x-2y)
A=z'xx=8y-6xy-2y^2
C=z'yy=-2x^2
当B^2-AC

极值就是求导fx=cosx-sin(x-y)=0
fy=-siny+sin(x-y)=0
x+y=pi/2
f(x,y)=1+0+0=1极小值这是
f(x,y)

1.原则上,求出所有驻点,不可导的点,以及边界点,比较各点处的函数值,
最大的和最小的选出来,即可.
2.求曲线y=x^2 与直线x-y=2之间的最短距离……
如果你化成一元函数的无条件极值,可以判断这是唯一的极值,且是个极小值,故该点处取得最小值.
如果你使用Lagrange条件极值的方法,判断这是唯一的一个条件极值点,问题本身有最小值,故在该点取得最小值.（ 因为在无穷远处,距离是无穷大.）
这时需要问题的实际背景,的确不是太严密,因为我们通常并不考虑它是条件极大或极小.

拉格朗日乘数法一般用于条件极值问题……
课本上说：它可以推广到自变量多于两个及等式约束条件多于一个的情况
其实四元完全是可能的也就是列出4个关于自变量的方程,和3个关于拉格朗日乘数的方程,理论上是绝对可以求出的,只是过程繁琐些罢了（当然在实际问题中很少见4元的,因为一般三维的空间里要有抽象变量才会出现4元……）

g(x)=4x^3+5y^2-2z^3+k(x+y+z-22)=0
分别对x,y,z,k求偏导并令它们等于0,后面我就不继续了.

椭圆的最高点和最低点之间的一段,就是长轴
因为z=1-x-y
构造F=1-x-y+λ(x^2+y^2-R^2)
令F‘x=-1+2λx=0
F'y=-1+2λy=0
F'λ=x^2+y^2-R^2=0
求得两个极值点A(R/√2,R/√2,1-√2R),B(-R/√2,-R/√2,1+√2R)
所以长轴为|AB|=2√3R
所以长半轴为a=√3R
椭圆面积S=∫∫√3dxdy=√3πR^2=πab (积分区域是底面投影圆 x^2+y^2=R^2）
得到短半轴b=R

Extreme multi-function be derivative determine the direction of law so that the function of one yuan and the formula of the organic unity

符号不太好打,就配合文字吧,请见谅
第一个方程：y + lambda*2x = 0
第二个方程：x + 2z + lambda*2y = 0
第三个方程：2y + lambda*2z = 0
第四个方程：x^2 + y^2 + z^2 -10 = 0
根据方程一和方程三,可得到关系：z=2x,将其代入方程二,得 5x + lambda*2y = 0
将上式代入方程一,可得,y = -lambda*2x = -lambda*2*(lambda*2y)/5
即,y = y* 2/5 * lambda^2
讨论此式成立的条件：(1) y = 0 则可推出 x = z = 0,这就不满足方程四,此条件不成立；
(2) y不等于零,可约去y,得 2/5 * lambda^2 = 1.
解得,lambda = (正负)2分之根号5,
后面就好算了,把方程四中的 y,z 都替换为x,得 x^2 + 5x^2 + 4x^2 = 10,得 x = 正负1；
y = 正负根号5；
z = 正负2.
注意 x y z 和 lambda 的正负号配对,应该有四组解.