级数

从已知条件中可以看出,这是一个幂级数在x=3处收敛,所以收敛半径大于等于3.
而-2在收敛区间内,属于幂级数的绝对收敛范围内的点,所以,应选“绝对收敛”

用傅里叶级数展开.得到答案pi^4/90
见参考资料

　　对级数
　　　　∑(1/lnn)^n,
由于
　　　　[(1/lnn)^n]^(1/n) = 1/lnn → 0 (n→∞),
据根式判别法,可知原级数收敛.

[(-1)^n]*[ (-1)^(2n-1)]=(-1)^(3n-1)

当 |x| >= 1 时,|an| = |x^(n^3+n^2+1)| >= 1,所以 幂级数发散.
当 |x| < 1 时,|an| = |x^(n^3+n^2+1)| < |x|^n,而
x+x^2 + ...+x^n+..当 |x| < 1 时绝对收敛,所以 原幂级数发散.
所以收敛半径为1.

令an=3ⁿ/{[3ⁿ+(-2)ⁿ]*n},bn=1/n
lim an/bn=lim 3ⁿ/[3ⁿ+(-2)ⁿ]=lim 1/[1+(-2/3)ⁿ]=1
由于级数Σ1/n发散,知级数3ⁿ/{[3ⁿ+(-2)ⁿ]*n}发散

　　答案是 1/(1-x) - 1.通常,幂级数
　　　　1/(1-x) = ∑(n≥0)(x^n),|x|

设an=1/n.
∵(1)an=1/n>1/(n+1)=an+1,
(2)an-->0 (n-->∞),
∴根据莱布尼茨判别法知,交错级数∑(-1)^n/n收敛.

1,2和5别人已经说了,我就简单说一下3和4这两个初等数学的问题吧^_^,这4还好说,3要给出完整证明恐怕没有20页纸是不行的了,好吧,我就只说一下思路.
高于四次的方程一般不可能有代数解法：
阿贝尔是怎么解决这个问题的呢,你想一想,那么多伟人找了一百年都没找到,那么多伟人都只说自己没有找到,你阿贝尔凭什么就说不存在.
因为那些伟人一直在想,“这个方程怎么解呢?”而阿贝尔换了一种思路：用这种思路,他同时还解决了很多别的问题,化园为方不可能,三等分角也不可能,还有很多很多,最重要的是,这产生了一个新的数学体系.
因为他是这样想的：“我能解出来的方程（有代数解）是那些呢?”如果然后他实际上建立了一些递推的规则：“如果这些方程有代数解,那么我就也能解除另外一些方程也是有代数解”.用数学术语来说,这就是一种运算.实际上,在阿贝尔之前,已经有很多伟大的人用各种方式去表示方程,阿贝尔实际上抽象了前人的结果,用群来表示方程,而刚才所提到的运算实际上就是群的分解,一个群如果有非平凡的正规子群,它就可以分解为两个更小的群,叫做可解.重要的是：如果那两个更小的群所代表的方程是有代数解的,那么那个更大的群所代表的方程也是有代数解的（这里说的很不确切啦,实际上是多项式和域的扩张那些东西来的,而且很多是同构的）.然后,在不可分解的群中,只有那些循环群代表的方程（x的n次方等于一个数）是有代数解的.
最后,阿贝尔证明了,5阶交错群是不可解的,这样5次方程就不是都有代数解了,那当然就没有统一的代数解法了,对吧.
阿基米德对抛物线面积的推算：
阿基米德实际上是用微积分来解的,不过那时候可还没有微积分的概念.所以实际上他是完全推导了一遍微积分基本定理.
和定义定积分的次序完全一样,他把抛物线内部用很多底在x朱上上的矩形填充,矩形上端的一个顶点则靠在抛物线上.一个直观的结果是,如果每个矩形在x朱上的宽度都变得很小,那么这些矩形的面积的总和就会很接近抛物线内部的面积.阿基米德计算了这个面积（让每个矩形宽度相等）,处理之后,然后让矩形的宽度变为0,而忽略掉会成为0的部分,就得到了抛物线内部的面积.

　　函数 f(x) 在 [-π,π] 上是奇函数,故其 Fourier 级数为正弦级数,先求傅里叶系数
　　　a(0) = 0,
　　　a(n) = 0,n≥1,
　　　b(n) = (2/π)∫[0,π]xsinnxdx = ……,n≥1,
所以, f(x) 在 [-π,π] 上的傅里叶级数（正弦级数）为
　　　f(x) ~ (2/π)∑(n≥1)b(n)sinnx = ……, （省略处留给你）
且该级数的和函数为
　　　S(x) = [f(x-0)+f(x+0)]/2 （作图）
= x,x∈[0,π),
= 0,x=±π.

你好!
lim(n→+∞) Un ^(1/n)
= lim(n→+∞) n^(1/n) / lnn
= lim(n→+∞) 1/lnn
= 0
所以原级数收敛

级数 1/(3^(1/n)) 发散
因为
一般项un= 1/(3^(1/n)) 极限=1≠0

　　因
　Σ[1/(1+n)] = Σ(1/n) - 1,
而 Σ(1/n) 是调和级数,是发散的,因此……

发散的.因为COS(1/n),在n趋于无穷大的时候,和1-0.5*（1/n）^2是同阶的.二者是同收敛,同发散的.而以1-0.5*（1/n）^2为通项的级数是发散的,因为部分和里面有一个由很多个1加出来的n.所以是发散的.所以原级数发散

收敛
n趋无穷时
tan(1/n^3)级数与1/n^3相同
所以（n^2)(tan(1/n^3)）级数与1/n相同
趋于0

An=2^n sin(2/3^n)
lim(n→∞) An+1 /An
=lim(n→∞)2sin(2/3^(n+1))/sin(2/3^n)
当n→∞,2/3^(n+1)→0,sin(2/3^(n+1)→2/3^(n+1),sin(2/3^n))→2/3^n
所以 lim(n→∞) An+1 /An=2/3

1/2^n 公比为1/2的几何级数收敛
1/n 调和级数发散
收敛级数与发散级数的和发散.
1/2^n与1/n的前n项部分和分别为sn tn,则sn收敛,tn发散
设wn=sn+tn,如果wn收敛,则tn=wn-sn收敛,矛盾,所以wn发散,即所证级数发散.

1/2

有个洛必达法则吧分子分母求导可得到n/(n+1)极限是1

因为收敛,所以有lim1/un=0
前后项正负相消,得和为1/u1-1/u(n+1),其极限即为1/u1
所以和为1/u1

Sum[k + 1)/(1 + p) - 1/2)*(k + 1)^p - (k/(1 + p) + 1/2)*k^p
=Sum[((k + 1)^(p+1)/(1 + p) - (1/2)*(k + 1)^p -k^(p+1)/(1 + p) -( 1/2)*k^p}
=Sum[(k + 1)^(p+1)-k^(p+1)]/(1 + p)-0.5[(k + 1)^p+k^p]
=[n^(p+1)/(1 + p)-0.5SUM[(k + 1)^p+k^p]
=n^(p+1)/(1+p)-0.5*n^p-(1^p+2^p+……+（n-1)^p+n^p}
=(n+1)*n^p/(2+2p)--(1^p+2^p+……+（n-1)^p+n^p}

这是错的.
比如Un=1/n

对于级数 ∑ |x/x0|^n/n!
ρ = lima/a
= lim|x0|^n*n!/[|x0|^(n+1)*(n+1)!]
= lim1 /[|x0|*(n+1)] = 0 (因x0为常数）
故级数收敛,则一般项的极限为0,即
lim|x/x0|^n/n!= 0.

这个很好证明
我们只用证明当n>10时
级数lnn/n是发散的
当n>10时
lnn/n>1/n
而我们知道
1/11+...+1/n是发散的,这是因为对任意n
1/(n+1)+...+(1/2n)>=n/2n=1/2