实变与泛函当中关于模糊解集的定义,不是很好理解啊~谁能提示下~

要详细解答的话,可以给我发消息（烦拷贝的）,给你发过去,另外完备性是指柯西列收敛并且其极限在该空间中.

max()是括号里面的两者取大.
ξk是在l_(k-1)和l_(k)之间取的任意实数.
μ(E)是可测集E的测度.

考过这道题,还是附加题,老师评讲的时候没有听,只知道是用泰勒展开.

夏道行等的《实变函数论与泛函分析》里习题5.4的第三题,在第二版的修订本里附带了部分答案,其中就有这道题的答案.
令X={（x_1,x_2,...)|数列{x_n}中只有有限个不等于0}
||x||=sum_{n=1}^{infty} |x_n| ,x=(x_1,x_2,...)in X.f_n 表示示X上的泛函,
f_n 表示X上的泛函,
f_n((x_1,x_2,...))=nx_n ,((x_1,x_2,...) in X ) n=1,2,...
这一列泛函都是有界线性泛函,对每个 x in X ,f_n(x)---->0 (n----> infty 时） 但 || f_n||=n.

其实就是说映射是满射,不同的教材有不同的中文翻译,就是说映射的象域和第二个集合相等.

比如X和Y是Banach空间,M和M_n：X-->Y是线性算子,n=1,2,……
如果对于任何x in X,y in Y^*（Y的对偶空间）,有收敛到（这个是在实数或者复数域内）,那么称为M_n弱收敛到M.
如果对于任何x in X,有M_n x收敛到Mx（按X中的范数）,那么称为M_n强收敛到M.
所有的M_n和M都是L(X,Y)中的元素,而L(X,Y)本身也有范数,如果在这个范数下,M_n收敛到M,那么称为依范数收敛.
稍注意一下,以上三种收敛都是指 『算子』 的收敛.（如果只是给了一个Banach空间的话,其中元素的收敛只有强弱两种）
对于这三种收敛,依范数收敛可以推出强收敛,强收敛可以推出弱收敛.一般情况下都不能反过来.

上定义的内积空间只要满足三条即可：
1.正定性：（x,x）>=0,当且仅当x=0时（x,x）=0；
2.对称性：（x,y）=(y,x)；如果是复数空间则满足共轭对称性.
3.线性：（ax+by,z）=a(x,z)+b(y,z).
内积空间的定义中就要求内积满足线性运算,所以.

算子就是函数集合上的映射.泛函是函数集合到数集上的映射.也可能不太准确,等我再仔细看看.

iesz表示论：每个正线性泛函对应一个正borel测度.
任意找个有界正线性泛函、就可以找到你想要的测度了.

泛函中定义域是函数组成的集合,对于定义域中给定的函数,按某一法则(例如求定积分)有与之对应的元素(积分值).而函数包含泛函,其定义域可以为元素,也可以为对应法则)

如果没说X是Banach空间,那么我不太清楚什么是X上的“线性”泛函,因为X本身没有线性结构.如果X本身是Banach空间,X局部紧,就说明原点周围有个球是紧的,而无穷维的Banach空间中的单位球不是紧的.
我想你这个题里的空间可能没有预先说是一个Banach空间,但应该是个线性空间.如果一个Banach空间的“每个”线性泛函都是连续的,那么它就必须是有限维的,从而是局部紧的.也就是说,对于Banach空间来讲（总是Hausdorff的）,以下三条中是等价的,即任意一条可以推出另外两条（而不是必须有其中两条才能推出剩下的一条）：
1、X局部紧；
2、X上的每个线性泛函连续；
3、X是有限维的.
我的想法可能有点乱.抱歉.

设 z＝ax＋by,其中,x,y属于M,a,b属于系数域.
则：f（z）＝af（x）＋bf（y） －－－ 因为 f线性
＝ a＊0＋b＊0＝0
所以 z属于M,即 M 是线性子空间.
设 xi属于M,i＝1,2,．．．． xi－－－－＞y,y属于F．
因为f连续,所以 f（xi） －－－－＞ f（y）,而f（xi）＝0,所以 f（y）＝ 0.所以 y属于M,即 M是闭集.
综上,M是F的闭线性子空间.

有限维空间的有界闭集是紧集……这个还是充分必要条件.泛函的题都不太好写,下面只写思路.设M是该集合的一个开覆盖,假设没有有限子覆盖,因为集合有界,则能被一个方体盖住,将方体按照小方格剖分,至少有一个没有有限子...

这个就很多了,可以做偏微分方程,凸分析,规划问题等（主要就是利用不动点定理啊,还有一些特殊的空间去进行分析和一些计算）也可以单纯地去研究泛函,就是非线性泛函.物理方面的话可以搞广义函数.相对论,量子力学的也要用到泛函.

表示算子的复合
和函数的复合是一样的
（T2○T1)(x)=T2(T1(x))

实变函数的内容
以实数作为自变量的函数就做实变函数,以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论.它是微积分学的进一步发展,它的基础是点集论.什么是点集论呢?点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论.也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的.比如,点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等.实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题.
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等.这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍.
实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则.由于积分归根到底是数的运算,所以在进行积分的时候,必须给各种点集以一个数量的概念,这个概念叫做测度.
什么实测度呢?简单地说,一条线段的长度就是它的测度.测度的概念对于实变函数论十分重要.集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的.
为了推广积分概念,1893年,约当在他所写的《分析教程》中,提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分.1898年,法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进,并把它叫做测度.波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文,提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念.勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中,证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集,这就完全解决了黎曼可积性的问题.
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形,这个时候所得积分是绝对收敛的,后来由推广到积分可以不是绝对收敛的.从这些就可以看出,勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了.也可以看出,实变函数论所研究的是更为广泛的函数类.
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数,人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来,连续函数也必定可以用多项式来逼近.这样,在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论.
什么是逼近理论呢?举例来说,如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限,就说 A类函数能以 B类函数来逼近.如果已经掌握了 B类函数的某些性质,那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质.逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况.
和逼近理论密切相关的有正交级数理论,三角级数就是一种正交级数.和逼近理论相关的还有一种理论,就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论,这种理论叫做函数构造论.
总之,实变函数论和古典数学分析不同,它是一种比较高深精细的理论,是数学的一个重要分支,它的应用广泛,它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.
实变函数论不仅应用广泛,是某些数学分支的基本工具,而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用,对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.
泛函分析的产生
十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段.这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论.这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件.
本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽.随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究.到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念.
由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方.比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似.这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了.泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方.因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西.
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响.这样,就显示出了分析和几何之间的相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性.这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间.
这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系.现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系.
这里我们先介绍一下算子的概念.算子也叫算符,在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子.
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析.在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了.
泛函分析的特点和内容
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了.比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念.它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间.
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具.n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统.比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子.一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统.现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统.
正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基本内容.因袭,泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学.古典分析中的基本方法,也就是用线性的对象去逼近非线性的对象,完全可以运用到泛函分析这门学科中.
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论.他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了.
半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展.它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调和分析理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一.今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一.
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用.近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用.它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用.

拓扑学的基本问题是同论.她对代数学的影响：像有限群,没有比有限群更离散了,她出现在拓扑中的重要方式是空间的基本群即闭径群：每一个具体给定的基点的拓扑空间X决定了一个离散群G.X在同论意义下就唯一了.所以可以得到一种纯粹的代数结构.还%

首先是线性,我们设T为一泛函,如果其满足
T(ax+by)=aTX+bTy
则称T为一连续泛函.
至于连续性,简而言之就是T将收敛列映射成收敛列,数学语言表示就是：
设xn→x0,则Txn→Tx0,（此处收敛均是按照距离收敛）
则称T连续,同时满足上述两条则称T为一连续泛函.

请参考书本《应用泛函分析原理》李广民和刘三阳编著的第39页例题.

主要缘于算子范数的定义
设D为赋范线性空间的子空间,θ为零点
对于有界线性算子K,存在正数M,使得对一切x∈D,有||Kx||≤M*||x||
其范数||K||的定义为：对一切x∈D都成立的正数M的下界,即
||K||=sup{x∈D,x≠θ}(||Kx||/||x||)
记N²=∫∫{[a,b]×[a,b]}|k(s,t)|²dsdt (N>0),则
||Kx||²≤N²*||x||²,即
||Kx||/||x||≤N
说明N为数集{||Kx||/||x||：x∈D,x≠θ}的一个上界
由于||K||是数集{||Kx||/||x||：x∈D,x≠θ}的上界,且是最小上界
因此||K||≤N

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科.它是20世纪30年代形成的.从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的,它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题,可看作无限维的分析学.
泛函分析的产生
十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段.这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论.这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件.
本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽.随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究.到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念.
由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方.比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似.这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了.泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方.因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西.
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响.这样,就显示出了分析和几何之间的相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性.这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间.
这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系.现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系.
这里我们先介绍一下算子的概念.算子也叫算符,在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子.
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析.在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了.
泛函分析的特点和内容
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了.比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念.它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间.
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具.n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统.比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子.一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统.现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统.
正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基本内容.因袭,泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学.古典分析中的基本方法,也就是用线性的对象去逼近非线性的对象,完全可以运用到泛函分析这门学科中.
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论.他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了.
半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展.它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调和分析理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一.今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一.
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用.近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用.它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用.

要想深入理解有限元,那需要变分的理论,泛函的知识.泛函的理论很抽象,需要很长时间的理解.变分是有限元的基础,需要掌握函数积分极值与偏微分方程的关系.
如果只是实现算法,而不是研究改进算法,那可以找一本有限元算法的书就可以,里面应该都有变分和泛函的基本内容,但偏微分方程的物理意义很重要,力学,热力学还是电磁学.
有限元是求解偏微分方程的数值方法.应用很广.除了有限元还有边界元,有限差分等数值方法,各有优势.

南开大学刘炳初编的泛函分析书上有Banach-Steinhaus定理的证明,这里的条件满足那个证明的条件

泛函分析是现代数学的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的空间.泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的.使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数.
希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构.对于有限维希尔伯特空间而言,其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换.对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射.希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间.该问题在某些特定情况下的答案是肯定的.
一般的巴拿赫空间比较复杂,例如没有通用的办法构造其上的一组基.在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间.对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态.微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广,微分算子作用于其上的所有函数,一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射.

泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的.
如果只是一般的图像处理不一定用到泛函,等用到再看也行

哇塞,你这是要逆天啊,学这么多.
你自己不是列出来了吗?基础数学,应用数学,计算数学与科学工程计算.肯定是先学基础数学啊,常微分与偏微分貌似有点难度,最后学吧,还有先学常微分再学偏微分.

顺着你说的这几个进一步,算子理论,算子代数,非交换几何.各种表示论,量子群,李理论,代数K理论.代数拓扑.代数几何,算术代数几何,非交换代数几何.各种流形.复分析,复几何.等等等等,不胜枚举.

有理数集是可数集而无理数集是不可数集所以无理数集是比有理数集更高级的无穷集所以是无理数多

若泛函满足：T(ax+by)=aT(x)+bT(y),a,b为任意常数
则称T是线性的.
所谓双线性,就是对有两个变量的T(x,y),T关于哥哥变量都是线性的.
书上定义说的很清楚.
有问题要看书找答案,不是上网,更何况是百度.

常微分方程是用于动力系统,自动控制,偏理论.
偏微分方程最实用.各行各业都需要,尤其是工程上.
泛函必学,不用解释.尤其是线性泛函.
把PDE和泛函学好后可以看看（泛函分析在偏微分方程上的应用）这本书.

拓扑学,主要是应用在运筹学中的理论,图论,线性规划,排队论,决策等等
而泛函分析则主要是应用在电子,通信等领域.
如果是学经济学的,建议学拓扑学.
同时拓扑学相对比泛函好理解一些.

泛函是算子的特殊情况.算子是从赋范线性空间X到赋范线性空间Y的映射,如果Y是数域,那就成这个算子是泛函.泛函是函数到数的映射,算子是函数到函数的映射,可以这么理解.

在这里,这是一个“阳春白雪”问题.
如果你从试验中观察到漫反射谱,或其它谱学的证据,你只能说分子“可能”在拥挤的微环境中（象在催化剂的微孔里）表现出了量子限域效应（quantum confinement effect）.或者说量子限域效应（quantum confinement effect）“可能”导致了所观察到的漫反射谱,或其它谱学的证据.如果你使用了密度泛函理论（density functional theory）计算或者其他的计算方法来建立起一个理论模型,且这一模型可以很好地说明,解释试验中观察到漫反射谱,或其它谱学的证据,那你就得到了一个完整地解释.
在化学界发表的文章里,只收集实验证据,没有理论解释,属于初等级别.只有理论模型,没有实验证据,属于纸上谈兵.有理论模型和支持的实验数据才是完整的好文章.

距离空间是线性空间的一种特例
在线性空间定义一个范数线性空间就成为赋范线性空间
完备的赋范线性空间就是Banach空间
内积空间是满足对称性,线性性,数乘性,正定性
完备的内积空间就是Hilbert空间

根据线性泛函的、定义和性质：
线性泛函乘以1个常数还是线性泛函；
两个线性泛函之和还是线性泛函.
设X是数域K上的向量空间,在X上的范数||● ||是一个非负值函数:X→R1满足
1||x||≥0(对任意x∈X);||x||=0x=θ
2)||x+y||≤||x||+||y||(对任意x,y∈X)
3)||λx||≤|λ|||x||(对任意λ∈K,x∈X)称(X,|| ● ||)为赋范空间,或称为B*空间.完备的B*空间叫做B空间或Banach空间.
向量空间到向量空间的映射称作算子.设X、Y是同一数域K上的两个向量空间,如果算子T满足:
1)T的定义域D(T)是X的向量子空间,T的值域R(T)包含在Y中;
2)对于所有x,y∈D(T),任意λ∈K,有T(x+y)=Tx+Ty,T(λx)=λTx成立,则称T是线性算子.
设p:X→R1
是向量空间X上的一个函数,若它满足
1)p(x+y)≤p(x)+p(y)(对任意x,y∈X)
2)p(λx)≤λp(x)(对任意λ>0,x∈X)则称p为向量空间X上的一个次线性泛函.

感觉好像不太对是的,我说说,如果我哪理解错了,请指出.
比如说就让这个Hilbert空间是平面（就说是实的好了）,B是把一个点逆时针转60度,那么(Bx,x)=(|x|^2)/2.然后Ax=2x/3,那么(Ax,x)=(2/3)|x|^2>(Bx,x)>0,如果|x|不是0的话.但是这时候||A||=2/3

用延拓定理,如果不属于,则根据x和span（xn：n＞=1）的闭包做个泛函f,这个泛函在span（xn：n＞=1）的闭包上取0,在x处取x到闭包的距离,这样f(xn)不收敛到f(x).

The basic structure of three kinds of amino acids CF1, CF2 and CF3 as the base, and make valine 9 kinds of molecular configuration diagram, valine affinity with the calculation of potential electronic density functional theory of the three methods B3LYP, B3P86 and B3PW91, respectively discussing analysis, the same group 6-311 + + G * * different methods and the same method B3LYP different base of the relative energy and heat insulation of electronic and potential and vertical electronic affinity potential size, the most stable and the most unstable structure and in B3LYP 6-311 + + G * * and the structure of the key CF31 group long, in neutral state by planes to optimize the analysis of the negative ion change degrees.
qiankecc希望帮助你更多.

以我们数学系的同学感觉
从难到易
拓扑学>实变>泛函>微分几何,偏微分方程>初等数论,概率论与数学统计,复变函数论
逗号表示差不多
但是个别强人会有不同评价,有的人很喜欢拓扑就觉得它不难了,看人的吧
这是一个平均的参考

看来你是数学学院的大二或者大三学生,微分方程数值解相对简单点,拓扑学、泛函分析抽象些,后面这两门课程是你以后继续学习的基础,无论你做数学那个方向的研究,这两门课你都必须学,就象热门的金融数学,也必须学,而且要学好