这是行阶梯形矩阵最简形吗?A=0 -2 1 0 0 03 0 -2 0 0 0-2 3 0 0 0 0可化为0 -2 1

任何一个矩阵通过初等行变换都能化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,但化不成标准形矩阵.任何一个矩阵通过初等变换（包括初等行变换和初等列变换）都可以化成一个标准形矩阵.

2R1+r3,
R3提出共同项（1-λ）
R3=
2..0.1.1
在按照普通矩阵化简

以下过程称为高斯消元(初等行变换) 是线性代数中最基础的方法
先将第四行分别乘以-3,-2,2加到1,2,3行 并将第四行提至第一行得
1 -2 2 -1
0 0 -6 -3
0 0 4 2
0 0 2 1
然后用第四行乘以-1,3,-2加到1,2,3行 并将第四行除以2提到第二行,得最终答案
1 -2 2 -1
0 0 1 1/2
0 0 0 0
0 0 0 0 易见其秩为2
此题的要领是依次以对角线位置的数为主元 向下相消 并可根据实际情况调整位置 以求简便

r4-r1-r2-r3, r2-r1,r3-r1 1 -1 3 -2 0 -2 -1 -4 0 6 -4 12 0 0 p-2 p-2 --这里用了一个小技巧 --处理第1列时,用1,2,3行乘 -1 加到第4行 -- 而不是 第1行的 -3 倍加到第4行 r3+3r2 1 -1 3 -2 0 -2 -1 -4 0 0 -7 0 0 0 p-2 p-2 r4+(1/7)(p-2)r3 1 -1...

不知道你们书上的“行最简形”是怎么定义的,不知道是不是其它书上的“行标准型”,如果就是行标准型的话,那么还要对行阶梯型矩阵进一步变换,把每个非零行的第一个不为零的元素化为1,并且每个非零行的第一个非零元素所在的列,只有一个非零元素,才叫做“行标准型”

λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
r1-λr2,r2-r3
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1+(λ+1)r2
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1r3
1 1 λ λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
所以,
当λ≠1 且λ≠-2 时, r(A)=r(增广矩阵)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-2 时, r(A)=2, r(增广矩阵)=3, 方程组无解.
当λ=1 时, r(A)=1=r(增广矩阵)

任一矩阵A总可以经初等行变换化为简化行阶梯形矩阵B
A与B一般不相等(A本身就是简化行阶梯形矩阵时就不用化了)
A与B等价, 且存在可逆矩阵P, 使 PA = B
这意味着两个矩阵的行向量组是等价的
简化行阶梯形矩阵有什么用:
1. 解线性方程组
2. 求矩阵的秩
3. 求矩阵的列向量组的极大无关组, 并将其余列向量则极大无关组线性表示出来

可逆矩阵
一、 可逆矩阵的定义及性质
定义 3.1 设A ∈Mn （F ）,若存在同阶矩阵 B ,使AB=BA=E ,则称A 为可逆矩阵,B 为A 的逆矩阵,简称为 A 的逆,记为 B= A-1 .
如果A 是可逆矩阵,那么 A 的逆是唯一的.这是因为当 B ,C 都是A 的逆时,有
AB=BA=E=AC=CA ,
B=BE=B （AC ）= （BAC=EC=C .
可逆矩阵的性质：
1 、 =A ；
2 、 如果A 可逆,数λ≠ 0 ,那么 ( A)-1= A-1 ；
3 、 如果A 可逆,那么,A T 也可逆,而且 ( AT )-1=( A-1)T ；
4 、 如果A ,B 皆可逆,那么 AB 也可逆,且(AB) -1=B-1A-1 .
两个n 阶矩阵A 与B 的乘积AB=E 时,一定有BA=E ,从而A ,B 互为逆矩阵.
二、 矩阵的标准形
定义3.2 如果矩阵A 经过有限次行（列）初等变换变为矩阵 B ,就称A 行（列）等价于 B .如果矩阵A 经过有限次初等变换变为 B ,就称矩阵A 等价于矩阵B ,记为 .
矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律：
1 自反律 ；
2 对称律 如果 那么 ；
3 传递律 如果 ,,那么,.
在数学中,把具有上述三条规律的关系称为等价关系.因此矩阵的等价是一种等价关系.
定义3.3 一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边,同时,没有一个非零行出现在全零行的下方,这样的矩阵称为阶梯形矩阵.
定理3.2 任何一个矩阵 A 都行等价于一个阶梯形矩阵.
定义3.4 一个阶梯形矩阵,如果它的每一非零行的首元素是 1 ,且首元素所在列的其余元素全是零,就称为简化阶梯形矩阵.
定理3.3 任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵.
定理3.4 任何一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似的矩阵：= ,
1 ≤r ≤min(m,n),它称为矩阵A 的标准形.
因此每个矩阵 A 与它的标准形等价.
推论3.5 任意一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ） ,一定存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ,使
PAQ= ,
其中 ,是A 的标准形.
推论3.6 设A ,B ∈Mm × n （F ）,A 与B 等价的充要条件是 AB 有相同的标准形.
三 用行初等变换求逆矩阵
定理3.7 设A 为n 阶矩阵,下列叙述等价：
1 、 A 是可逆阵；
2 、 A 行等价于单位阵 E ；
3 、A 可表示为一些初等矩阵的乘积.
四 矩阵方程
当A 可逆时可用矩阵的逆求解矩阵方程 AX=B .设A 为n 阶可逆阵,X ∈ Mm × n （F ）,B ∈Mm × n （F ） ,则对AX=B 两边左乘A -1 ,有X= A-1B .由于A -1 （A ,B ）= （E ,A-1 B ）而 A-1 可表示为一些初等矩阵的乘积,所以把分块矩阵（ A ,B ）进行行初等变换时,在把子块 A 变为E 的同时,子块 B 也就变为 A-1 B ,这就是要求的 X .当然也可以有 A 先求出A -1 ,再作矩阵乘法 A-1B .
在解矩阵方程 XA=B 时,则要右乘 A-1 ,既X=B A-1 .或者通过解方程 ATX T = BT .先求出X T ,然后就可以求出 X .

在线性代数中,矩阵是行阶梯形矩阵（Row-Echelon Form）,如果：
所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面.即全零行都在矩阵的底部.
非零行的首项系数(leading coefficient),也称作主元,即最左边的首个非零元素,严格地比上面行的首项系数更靠右.
首项系数所在列,在该首项系数下面的元素都是零 (前两条的推论).
这个3×4矩阵是行阶梯形矩阵：
化简后的行阶梯形矩阵(reduced row echelon form),也称作行规范形矩阵(row canonical form),如果满足额外的条件:
每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素.例如:
注意,这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵.例如,如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵:
因为第3列并不包含任何行的首项系数.

用初等行变换来化
1 7 2 2
3 0 -1 -1
2 14 0 4
0 3 1 1 第2行减去第1行乘以3,第3行减去第1行×2,
1 7 2 2
0 -21 -7 -7
0 0 -4 0
0 3 1 1 第2行除以-7,第3行除以-4,第4行减去第2行
1 7 2 2
0 3 1 1
0 0 1 0
0 0 0 0 第2行除以3,第1行减去第2行乘以7
1 0 -1/3 -1/3
0 1 1/3 1/3
0 0 1 0
0 0 0 0 第1行加上第3行除以3,第2行减去第3行除以7
1 0 0 -1/3
0 1 0 1/3
0 0 1 0
0 0 0 0
这样就化成了最简行阶梯矩阵

二个说法均是错的,可保证B是但不能包证C对,如、

对于每个非零行的首个元素的列标,如果你从第一行挨个数,则列标严格递增

这样的问题求解时,只能做初等行变换.
第一步,以a11元素为基准做初等行变换,目的是将除a11以外的第一列元素变换为0；
第二步,以第一步变换后得到的矩阵a22元素为基准,做初等行变换,目的是将第二列a22下方的元素变换为0；
.
以此类推,直到无法进行为止.
需要注意的是,当基准元素a11、a22等为0时,可以交换行,是得基准元素不为0,继续计算.
希望对你有帮助!

2-2r1,r3-3r1
1 -1 2 1 0
0 0 0 0 0
0 3 0 -4 1
0 3 0 0 1
r4-r3
1 -1 2 1 0
0 0 0 0 0
0 3 0 -4 1
0 0 0 4 0
交换行得
1 -1 2 1 0
0 3 0 -4 1
0 0 0 4 0
0 0 0 0 0
-->
1 0 2 0 1/3
0 1 0 0 1/3
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0

从左至右,逐列处理
选第1列中一个非零元,用它将第1列其余元素化为0,再此行交换到第1行
第1行第1列就不再动了
继续第2列 .

3-2r1,r1-2r2,r4-3r2
0 -3 3 -1 -6
1 1 -2 1 4
0 -4 4 -4 0
0 3 -3 4 -3
r3*(-1/4),r1+3r3,r4-3r3
0 0 0 2 -6
1 1 -2 1 4
0 1 -1 1 0
0 0 0 1 -3
r1-2r4
0 0 0 0 0
1 1 -2 1 4
0 1 -1 1 0
0 0 0 1 -3
交换行
1 1 -2 1 4
0 1 -1 1 0
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0

不一定有全零行,
注意行最简和行阶梯的非零行的行数是一样的,也就是说这两者中一个没有全零行,另外一个肯定也没有.所以只需分析其中一个即可,我们以行阶梯为例：
设A为m×n矩阵,A的秩为r
如果r=m
那么A所化的行阶梯型最下面就没有全零行
r是A的秩,作为A 的本身的一个固有属性,是A 的一个数字特征,不会随着初等变换而改变.
最下面出现全零行的矩阵,其秩一定

11000
02010
00001