正数x,y,z满足5x+4y+3z=10

jenqi08202022-10-04 11:39:542条回答

正数x,y,z满足5x+4y+3z=10
求证25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)>=5

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amwvfhppgy 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
仔细观察:可令5x=a 4y=b 3z=c
那么原条件即为:a+b+c=10
即求证:a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)>=10
由柯西不等式:【(b+c)+(a+c)+(a+b)】*【a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)】>=(a+b+c)^2
故a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2=5
1年前
东北雪儿飞 共回答了121个问题 | 采纳率
由柯西不等式
25x^2/(4y+3z)+16y^2/(3z+5x)+9z^2/(5x+4y)
≥[(5x+4y+3z)^2]/2(5x+4y+3z)
=5
故原不等式成立。
如果楼主不知道柯西不等式
就令5x=X,4y=Y,3z=Z,满足X+Y+Z=10

X^2/(10-X)+Y^2/(10-Y)+Z^2/(10-Z)
...
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