有理数指数幂 已知 a^(2/3)+b^(2/3)=4,x=a+3*a^(1/3)*b^(2/3),y= b+3*a^(

证明这三个命题之前,首先可以确认,
a^b*a^c=a^(b+c)
(a^b)^c=a^(bc)
在b,c是整数时成立
(a*b)^c=a^c*b^c在c为整数时成立
证明和a是整数是完全一样,不再赘述
1.
由b,c有理数,设b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
a^b*a^c=a(u/v)*a(x/y)
设s=a(u/v),t=a(x/y)
s^v=a^u,t^y=a^x
s^vy=a^uy,t^vy=a^xv
所以s^vy*t^vy=(st)^vy=a^uy*a^vx=a^(uy+vx)
st=a^((uy+vx)/vy)=a^(u/v+x/y)=a^(b+c)
得证
2.
设b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
(a^b)^c=(a^(u/v))^(x/y)设为t
t^y=(a^(u/v)^x
设s=(a^(u/v))
那么s^v=a^u
s^vx=a^ux=(s^x)^v=(t^y)^v=t^(yv)
所以t=a^(ux/yv)=a^(bc),得证
3.
设c=x/y,(x,y)=1
设(ab)^c=t
(ab)^(x/y)=t
(ab)^x=t^y=a^x*b^x
当m,n是有理数,y是整数时,(mn)^(1/y)=m^(1/y)*n^(1/y)仍成立
因左边^y=mn,右边^y=(m^(1/y)^y)*(n^(1/y))^y=mn
所以t=(a^x*b^x)^(1/y)=(a^x)^(1/y)*(b^x)^(1/y)=a^(x/y)*^b(x/y)=a^c*b^c
所以(ab)^c=a^c*b^c,得证

乘方、开方

若a=0或b=0 当r=0时指数无意义 所以ab都不能为0
当r=1/2时 (ab)^1/2=a^1/2b^1/2 根号内数要大于0 所以ab都不能小于0

(1+2^1/32)(1+2^1/16)(1+2^1/8)(1+2^1/4)(1+2^1/2)
上下同乘以(1-2^1/32),反复用平方差
=(1-2^1/32)(1+2^1/32)(1+2^1/16)(1+2^1/8)(1+2^1/4)(1+2^1/2)/(1-2^1/32)
=[1^2-(2^1/32)^2](1+2^1/32)(1+2^1/16)(1+2^1/8)(1+2^1/4)(1+2^1/2)/(1-2^1/32)
=(1-2^1/16)(1+2^1/16)(1+2^1/8)(1+2^1/4)(1+2^1/2)/(1-2^1/32)
=(1-2^1/8)(1+2^1/8)(1+2^1/4)(1+2^1/2)/(1-2^1/32)
=(1-2^1/4)(1+2^1/4)(1+2^1/2)/(1-2^1/32)
=(1-2^1/2)(1+2^1/2)/(1-2^1/32)
=(1-2)/(1-2^1/32)
=-1/(1-2^1/32)
=1/(2^1/32-1)

1）避免开偶数根时无法计算
2）不会……这样写会更好（扣了是那老师有问题）
3）没有不一般的情况

-3/√a
=-3×1/√a
=-3×(√a)^(-1)
=-3×(a^1/2)^(-1)
=-3×a^[1/2×(-1)]
=-3×a^(-1/2)
=-3a^(-1/2)

有意义的负数的分数指数幂能用有理数指数幂的运算性质.

举例：2的3次幂与根号2
如果将指数幂3理解3个底数2相乘,那么2的1/2次幂就是1/2个底数2相乘.
又因为根号2*根号2=2,即两个根号2相乘等于2.
而一个底数2相乘等于2,所以1/2个底数2相乘=根号2.

设a^x=b^y=c^z=k
得loga k =x
logb k =y
logc k =z
1/x=1/loga k=logk a
1/y=logk b
1/z=logk c
so:1/x+1/y+1/z=0
logk a+logk b+logk c=0
logk abc=0
abc=1

不一定要都大于零的,只有在幂函数中底数大于0

若a0

因为如果底数等于0,则负指数时,分母为0,无意义
若底数小于0,则出现分数指数时,就相当于开方,若果分母是偶数,则就是开偶数次方,此时若底数是负数的话是没有意义的.
所以底数要大于0

（1）、[(a^3)^(1/5)]^2=[a^(3/5)]^2=a^(6/5）=a*a^(1/5)
(2)、-3/√a=-(3√a)/a

我上高中的时候也会想 大概是这样 0的指数是没有意义的 定义任何数的0次方都是1 若是负数的话 比如-2的根号3次方 我们知道 任何实数的平方都大于等于0的 但 -2的根号3次方的平方就不满足 它不是一个实数