奇异值分解（singular value decomposition）的定义是什么?

decomposition英-[,diu02d0ku0252mpu0259"zu026au0283n]美-[,dikɑmpu0259"zu026au0283u0259n]释义n. 分解，腐烂；变质

decompressionu02cc/diu02d0ku0259mu02c8preu0283(u0259)n/noun[uncountable]

关于分解的英语介绍如下：分解：（2种含义）1、整体的分化：resolve或decompose或disintegrate或disassemble或breakdown或breakup或decomposition:如：resolutioninto。factors;因数分解。2、解释，说明：explain或recount或disclose。关于分解的含义介绍如下：1、动：一个整体分成它的各个组成部分：～因式。一种物质经过化学反应而生成两种或两种以上成分较简单的其他物质。调解（纠纷等）：闹得无法～。分化瓦解：施加压力，使敌人内部加速～。解说（章回小说用语）：欲知详情如何，且听下回～。2、整体分成部分;使分成几个较简单的化合物，使分成构成成分或元素;讲解，常见于章回小说。近义词:认识、了解、解析、明白、分析、领会、剖释、阐明、剖析、分化、瓦解、领悟、剖判、理会、理解。反义词:化合、混合、搀合、组合、合成。

cartoon-texture decomposition动画纹理分解。如有疑问，请追问!

这问题还是百度比较好，用问问就多此一举了

数据分解的意思

蜕变的英文单词有：metamorphosisspallationdisintegrationbreakdownbreakuptransmutationdecompositiondecayRot.transformationdesintegration例句：1.我们难以阻止这种陆地的自然蜕变作用。There is little we can do to stop this natural disintegration of the continents.2.那不是一种蜕变的方式。That is not the way of transformation.3.毛毛虫在蜕变成蝴蝶之前非常丑陋。A caterpillar is ugly until it turns into a butterfly.4.我想更详细阐述我对蜕变性内化的看法。I want to elaborate on some of my ideas about transmuting internalization.5.我们不能容许我们的具有崭新内容的抗议蜕变为暴力行动。We must not allow our creative protest to degenerate into physical violence.6.毛毛虫最终将蜕变成一只蝴蝶。The caterpillar will eventually metamorphose into a butterfly.7.这是因为氧化磁铁矿蜕变。This is because the oxidation breaks down magnetite.8.但是开始是反叛，不久就蜕变成一种时尚。But what began as rebellion soon became the new fashion.

装Win7还是XP？注意IDE和ACHI的设置问题

。。。太专业了。 。

u2003u2003奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，区别于只适用于实对称矩阵的特征分解方法，奇异值分解可对任意实矩阵进行分解。 u2003特征分解（eigendecomposition）又叫谱分解（Spectral decomposition），是把一个矩阵根据其特征值和特征向量分解的过程，只有可以正交化的矩阵才可以进行特征分解。 u2003u2003有了上述定义，接下来讨论如何计算一个矩阵的特征值和特征向量。由定义可知： u2003u2003其中 为单位矩阵，显然上式的推导结果是一个 元 次的齐次线性方程组， 为该方程组的一个非零解，则有 ，其中 称为 的特征方程， 称为 的特征多项式。基于此，可得到求解方阵A特征值和特征向量的步骤如下： u2003u2003求出矩阵 的特征值和特征向量后，若矩阵 有 个线性独立的特征向量，那么 是可以正交化的，此时 的特征分解为： 其中 时 个特征向量所组成的 维矩阵， 为以这 个特征值为主对角线元素的对角阵。 u2003u2003对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵： 这样处理的好处是，我们可以用三个较小的矩阵 来表示一个大矩阵 ，如下图所示，使用三个灰色部分的小矩阵来表示大矩阵。 u2003u2003由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做图片数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

中文是分解图。那要看你具体是哪个类别的分解图了。一般的行业在组织结构图中可以画大概框图。要是机械制造类的，应该在“机械工程”的“部件和组件绘图”

水

SVD这是线性代数现在的重中之重，相比之前，约旦标准型的光辉岁月已经退去了、SVD中文叫奇异值分解。线性代数里面X"X矩阵是非常重要的矩阵 因为既保留了X的所有信息 又把这种信息的载体优化了，具备了很好的性质，比如如果X列满秩或者行满秩，X"X就是可逆的，对称的，而且可以构造投影矩阵，这是最小二乘的基础。 但是X不一定就能满秩，所以X"X就不是满秩方阵，也就不可逆，但是有逆这个性质我们非常想得到，SVD就出现了。SVD的第一大应用就是使得非满秩的X"X有逆，国外称作伪逆，我们叫广义逆，其实国内的广义逆有很多不唯一，SVD可以帮你找到最好的那个。这样最小二乘法就能继续得到应用。

偏差-方差分解的内容其实在看西瓜书的时候已经学习过，但印象并不深刻（可能和西瓜书上的符号比较繁琐有关吧），此次重温，脉络清晰了不少。 为避免过拟合，我们经常会在模型的拟合能力和复杂度之间进行权衡。拟合能力强的模型一般复杂度会比较高，易导致过拟合。相反，如果限制模型的复杂度，降低其拟合能力，又可能会导致欠拟合。因此， 如何在模型能力和复杂度之间取得一个较好的平衡对一个机器学习算法来讲十分重要。偏差-方差分解（Bias-Variance Decomposition）为我们提供一个很好的分析和指导工具。 假设样本的真实分布为 ，并采用平方损失函数，模型 的期望错误为： 那么最优的模型为： 其中 为样本的真实条件分布， 为使用平方损失作为优化目标的最优模型，其损失为： 损失 通常是由于样本分布以及噪声引起的，无法通过优化模型来减少。 期望误差可以分解为： 其中第一项是当前模型和最优模型之间的差距，是机器学习算法可以优化的真实目标。 在实际训练一个模型 时，训练集 是从真实分布 上独立同分布地采样出来的有限样本集合。不同的训练集会得到不同的模型。令 表示在训练集 学习到的模型，一个机器学习算法（包括模型以及优化算法）的能力可以用不同训练集上的模型的平均性能来评价 。 对于单个样本 ，不同训练集 得到模型 和最优模型 的上的期望误差为： 其中第一项为偏差（Bias），是指一个模型的在不同训练集上的平均性能和最优模型的差异。偏差可以用来衡量一个模型的拟合能力；第二项是方差（Variance），是指一个模型在不同训练集上的差异，可以用来衡量一个模型是否容易过拟合。 综上，期望误差可以分解为： 下图给出给出了机器学习算法的偏差和方差的四种不同组合情况：

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等套用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有套用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际套用上简化矩阵的运算。对一些套用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和套用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函式的泰勒级数的导数运算元的矩阵 基本介绍 中文名 ：矩阵 外文名 ：Matrix 别称 ：矩阵式、纵横阵 表达式 ：Amn 提出者 ：凯利 提出时间 ：19世纪 套用学科 ：线性代数 适用领域范围 ：天体物理、电路学、力学、计算机科学等 奠基人 ：凯利 拼音 ：ju zhen 解释 ：指纵横排列的二维数据表格 历史,定义,基本运算,加法,减法,数乘,转置,共轭,共轭转置,乘法,行列式,特征值与特征向量,矩阵的迹,正定性,矩阵的分解,三角分解,谱分解,奇异值分解,满秩分解,LUP分解,特殊类别,对称矩阵,Hermitian矩阵,正交矩阵,酉矩阵,带型矩阵,三角矩阵,相似矩阵,相合矩阵,Vandermonde矩阵,Hadamard矩阵,对角矩阵,分块矩阵,Jacobian矩阵,旋转矩阵（Rotation matrix）,范数,诱导范数,元素形式范数,Schatten范数,套用,图像处理,线性变换及对称,量子态的线性组合,简正模式,几何光学,电子学, 历史 矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。 在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最早在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。 阿瑟·凯利，矩阵论奠基人 矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。 矩阵的概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。 詹姆斯约瑟夫西尔维斯特 英国数学家阿瑟·凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。 1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。 无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出运算元理论，而无限维矩阵成为了研究函式空间运算元的有力工具。 矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名辞汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。 定义 由 m × n 个数a ij 排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作： 这m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数a ij 位于矩阵 A 的第i行第j列，称为矩阵 A 的(i,j)元，以数 a ij 为(i,j)元的矩阵可记为(a ij )或(a ij ) m × n ，m×n矩阵 A 也记作 A mn 。 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。 基本运算 矩阵运算在科学计算中非常重要，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。 加法 矩阵的加法满足下列运算律( A ， B ， C 都是同型矩阵)： 应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法。 减法 数乘 矩阵的数乘满足以下运算律： 矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。 转置 把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置 矩阵的转置满足以下运算律： 共轭 矩阵的共轭定义为: .一个2×2复数矩阵的共轭如下所示： 则 共轭转置 矩阵的共轭转置定义为： ，也可以写为： 。一个2×2复数矩阵的共轭如下所示： 则 乘法 主条目： 矩阵乘法 两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵 A 的列数和另一个矩阵 B 的行数相等时才能定义。如 A 是 m × n 矩阵和 B 是 n × p 矩阵，它们的乘积 C 是一个 m × p 矩阵 ，它的一个元素： 并将此乘积记为: . 例如： 矩阵的乘法满足以下运算律： 结合律： 左分配律： 右分配律： 矩阵乘法不满足交换律。 行列式 主条目： 行列式 一个 n × n 的正方矩阵 A 的行列式记为 或者 , 一个2×2矩阵的行列式可表示如下： 一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即： 特征值与特征向量 主条目： 特征值 ， 特征向量 n × n 的方块矩阵 A 的一个特征值和对应特征向量是满足 的标量以及非零向量。其中 v 为特征向量 ， 为特征值。 A 的所有特征值的全体，叫做A的谱，记为 。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。 矩阵的迹 主条目： 矩阵的迹 矩阵A的对角元素之和称为矩阵A的迹(trace),记作 , 即 正定性 n × n 的实对称矩阵 A 如果满足对所有非零向量 ，对应的二次型 若 ，就称 A 为正定矩阵。若 则 A 是一个负定矩阵，若 ，则 A 为半正定矩阵，若 A 既非半正定，也非半负定，则 A 为不定矩阵。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的若且唯若其特征值都是正数。 矩阵的分解 主条目： 矩阵分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。 三角分解 设 ,则A可以唯一地分解为 A = U 1 R , 其中 U 1 是酉矩阵 ，R 是正线上三角复矩阵 ， 或 A 可以唯一地分解为其中 L 是正线上三角复矩阵 ， 是酉矩阵 。 谱分解 谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 奇异值分解 假设 M 是一个 m×n 阶矩阵，其中的元素全部属于域 K ，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得 其中 U 是 m×m 阶酉矩阵；Σ是 m×n 阶实数对角矩阵；而 V* ，即 V 的共轭转置，是 n×n 阶酉矩阵。这样的分解就称作 M 的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σ i , i 即为 M 的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由 M 唯一确定了。 满秩分解 设 ，若存在矩阵 及 ， 使得 A = FG ， 则称其为的 A 一个满秩分解。 LUP分解 LUP 分解的思想就是找出三个 n×n 矩阵 L , U , P ，满足 . 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵 L , U , P 称为矩阵A的一个 LUP 分解。 特殊类别 对称矩阵 在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。即 .例如： . Hermitian矩阵 一个正方的复值矩阵 称为Hermitian矩阵，若 A = A H 即其元素 ,换言之Hermitian矩阵是一种复共轭对称矩阵。 对一个实值矩阵，Hermitian矩阵与对称矩阵等价。 正交矩阵 一个实的正方矩阵 称为正交矩阵，若 . 酉矩阵 一个复值正方矩阵 称为正交矩阵，若 . 带型矩阵 矩阵 ，若矩阵满足条件a ij =0,|i-j|>k，则矩阵 A 可以称为带型矩阵(banded matrix)。 三角矩阵 在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。若 ,则 的矩阵称为上三角矩阵，若 ,则 的矩阵称为下三角矩阵。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。 相似矩阵 在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个 n × n 矩阵 A 与 B 为相似矩阵若且唯若存在一个 n × n 的可逆矩阵 P ，使得： 或 。 相合矩阵 令 ,并且 C 非奇异，则矩阵 称为 A 的相合矩阵。其中线性变换 称为相合变换。 Vandermonde矩阵 Vandermonde矩阵（范德蒙矩阵）的命名来自Alexandre-Théophile Vandermonde的名字，范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵。 例如： 或以第 i 行第 j 列的关系写作： Hadamard矩阵 Hadamard矩阵（阿达马矩阵）是一个方阵，每个元素都是 +1 或 u22121，每行都是互相正交的。 n 阶的阿达马矩阵 H 满足： 。这里 I n 是 n × n 的单位矩阵。 对角矩阵 对于 m×m 的矩阵，当 时，有 ，此时所有非对角线上的元素均为0，此时的矩阵称为对角矩阵。 分块矩阵 一个分块矩阵是将矩阵分割出较小的矩阵，这些较小的矩阵就称为子块。例如： 该矩阵可以分为四个 2×2 的矩阵： 分块后的矩阵可以写为如下形式： Jacobian矩阵 Jacobian矩阵是函式的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 可表示为如下形式： 旋转矩阵（Rotation matrix） 旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。 旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合最佳化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。 范数 主条目： 范数 矩阵的范数主要包括三种主要类型：诱导范数，元素形式范数和Schatten范数。 若映射 满足以下要求： 则称该映射为 上的矩阵范数。 诱导范数 诱导范数又称 矩阵空间上的运算元范数(operator norm)，定义为： 常用的诱导范数为p-范数： p范数也称为明克夫斯基 p范数或者 范数。特别的，当 时，对应的诱导范数分别为 元素形式范数 将 矩阵按照列的形式，排成一个 的向量，然后采用向量范数的定义，即得到矩阵的元素形式范数，表式如下： Schatten范数 Schatten范数是用矩阵的奇异值定义的范数，定义为： 其中 为对应矩阵的奇异值。 套用 图像处理 在图像处理中图像的仿射变换一般可以表示为一个仿射矩阵和一张原始图像相乘的形式，例如， 这里表示的是一次线性变换再接上一个平移。 线性变换及对称 线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。 量子态的线性组合 1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的运算元。这种做法在矩阵力学中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态。 另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。 简正模式 矩阵在物理学中的另一类泛套用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。 几何光学 在几何光学里，可以找到很多需要用到矩阵的地方。几何光学是一种忽略了光波波动性的近似理论，这理论的模型将光线视为几何射线。采用近轴近似（英语：paraxial approximation），假若光线与光轴之间的夹角很小，则透镜或反射元件对于光线的作用，可以表达为2×2矩阵与向量的乘积。这向量的两个分量是光线的几何性质（光线的斜率、光线跟光轴之间在主平面（英语：principal plane）的垂直距离）。这矩阵称为光线传输矩阵（英语：ray transfer matrix），内中元素编码了光学元件的性质。对于折射，这矩阵又细分为两种：“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵描述光线遇到透镜的折射行为。平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移行为。 由一系列透镜或反射元件组成的光学系统，可以很简单地以对应的矩阵组合来描述其光线传播路径。 电子学 在电子学里，传统的网目分析（英语：mesh *** ysis）或节点分析会获得一个线性方程组，这可以以矩阵来表示与计算。

"偏差方差分解" (bias-variance decomposition)是解释学习算法泛化性能的一种重要工具. 偏差方差分解试图对学习算法的期望泛化错误率进行拆解.我们知道，算法在不同训练集上学得的结果很可能不同，即便这些训练集是来自同一个分布.对测试样本队令 y D 为 m 在数据集中的标记 ， y 为 x 的真实标记 (注：理论上y=y D ,当有噪声时，会出现y!=y D ,即错误的标注) ， f(x; D) 为训练集 D 上学得模型 f 在 m 上的预测输出.以回归任务为例，学习算法的期望预测为: 回顾偏差、方差、噪声的含义: 偏差一方差分解说明，泛化性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度所共同决定的.给定学习任务?为了取得好的泛化性能，则需使偏差较小，即能够充分拟合数据，并且使方差较小，即使得数据扰动产生的影响小. 一般来说?偏差与方差是有冲突的，这称为偏差一方差窘境 (bias-variance dilemma).给定学习任务，假定我们能控制学习算法的训练程度，则在训练不足时学习器的拟合能力不够强，训练数据的扰动不足以便学习器产生显著变化，此时偏差主导了泛化错误率;随着训练程度的加深，学习器的拟合能力逐渐增强，训练数据发生的扰动渐渐能被学习器学到，方差逐渐主导了泛化错误率;在训练程度充足后，学习器的拟合能力已非常强，训练数据发生的轻微扰动都会导致学习器发生显著变化，若训练数据自身的、非全局的特性被学习器学到了，则将发生过拟合. 参考： 《机器学习》周志华

线性方程组：未知量的指数都是1的方程，称为线性方程。 含有n个未知量的一次方程组，称为n元线性方程组（方程组里所含的方程个数不论是多少）。 直接法：它包含三个方面的意思：直接学习、直接理解和直接应用。高斯消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

这个可能是主板你把U盘插到USB3.0接口上了。你换个接口试试。。

Ax=B，改写成Ly=B，Ux=y的方程组。就相当于将A=LU分解成了两个矩阵。称为矩阵A的三角分解，或LU分解。如果L为单位下三角阵，则叫Doolittle分解，若U为单位上三角阵，则叫Crout分解。只要A的各顺序主子式不为零，则A可唯一分解成一个单位下三角阵L与一个上三角阵U的乘积。u2022设Ax=b，A=LU，则Ax=LUx=b于是令Ux=y，则Ly=b这样原来方程能化为两个简单方程组在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

奇异值分解我写过一个简短的理解，记录于 https://www.jianshu.com/p/8c7dac32620f ， 这次又写一遍完全是因为《统计学习方法》的奇异值分解讲得太详细了，占了25页的篇幅，且大致翻看后面章节后发现奇异值分解的应用很多，因此决定对奇异值分解再重新学习一遍。 任意一个 矩阵，都可以表示为三个矩阵的乘积（因子分解）形式： 其中 是 阶正交矩阵、 是由降序排列的非负的对角线元素组成的 矩形对角阵、 是 阶正交矩阵。即这三个矩阵满足： 称为矩阵 的奇异值分解（singular value decomposition，SVD）。 奇异值分解基本定理 ：若 为一个 实矩阵， ，则 的奇异值分解存在。 证明： 证明是构造性的，对给定矩阵，不妨设 。 （1）确定 和 。 矩阵 是 实矩阵，则 是 阶实对称矩阵，因而 的特征值都是实数，且存在一 阶正交实矩阵 实现 的对角化，使得 ，其中 是 阶对角矩阵，其对角线元素由 的特征值组成，且 的特征值都是非负的。事实上，令 是 的一个特征值， 是对应的特征向量，则： 于是： 假设正交矩阵 的列的排列使得对应特征值形成降序排列： 计算特征值平方根（实际就是矩阵 的奇异值）： 设矩阵 的秩为 ，则矩阵 的秩也为 （通过证明 和 同解即可证明）。由于 是对称矩阵，它的秩等于正的特征值的个数（因为 和与其相似的对角矩阵 秩相等，而 对角元素是 的特征值）。所以： 从而： 令： 其中 为正特征值对应的特征向量组成的矩阵， 则为0特征值对应的特征向量组成的矩阵。从而 可以写成： 这就是矩阵 的奇异值分解中的正交矩阵 。 令： 于是 矩阵对角矩阵 可以表示为： 这就是矩阵 奇异值分解中的 。 （2）确定 令： 则有： 的列向量构成了一组标准正交基，因为： 因为 时， 和 正交。故有： 所以 的列向量构成了一组标准正交基。 若将 看成从 到 的线性变换，则 的列空间和 的值域 相同。因此 也是 的一组标准正交基。因为 （即 的零空间和 的正交补相同），故 的维数为 。 令 为 的一组标准正交基，并令： 则 构成了 的一组标准正交基。因此 就是 的奇异值分解中的 阶正交矩阵。 （3）证明 至此证明了矩阵 存在奇异值分解。 上述定理给出的奇异值分解 称为矩阵的 完全奇异值分解 。实际常用的是奇异值分解的紧凑形式和截断形式。 紧奇异值分解是与原始矩阵等秩的奇异值分解，截断奇异值分解是比原始矩阵低秩的奇异值分解。 紧奇异值分解定义 ： 设有 实矩阵 ，其秩为 ，则称 为 的紧奇异值分解： 是 矩阵，由完全奇异值分解中 的前 列得到， 是 矩阵，由完全奇异值分解中 的前 列得到， 是 阶对角矩阵，由完全奇异值分解中 的前 个对角线元素得到。 截断奇异值分解定义： 设有 实矩阵 ，其秩为 ，且 ，则称 为 的截断奇异值分解： 是 矩阵，由完全奇异值分解中 的前 列得到， 是 矩阵，由完全奇异值分解中 的前 列得到， 是 阶对角矩阵，由完全奇异值分解中 的前 个对角线元素得到。 注意，紧奇异值分解完全还原原矩阵，截断奇异值分解近似还原原矩阵。因此在对矩阵数据进行压缩时，紧奇异值分解对应无损压缩，截断奇异值分解对应有损压缩。 从线性变换的角度理解奇异值分解， 矩阵表示从 维空间 到 维空间 的一个线性变换： ， ， 和 分别是各自空间的向量。 线性变换可以分解为三个简单的变换：一个坐标系的旋转或反射变换、一个坐标轴的缩放变换、另一个坐标系的旋转或反射变换。 这就是奇异值分解的几何解释。 上图来自《统计学习方法》。我们可以很直观地看到奇异值分解的几何意义。 其实奇异值分解的计算过程已经蕴含在奇异值分解基本定理中了，对给定 矩阵 ，计算过程如下： （1）计算 的特征值 和对应的特征值向量。 （2）将特征向量单位化，得到单位特征向量 构成 阶正交矩阵 ： （3）计算 的奇异值： 构造 矩阵 ，主对角线元素为奇异值，其余元素为 。 （4）对 前 个正奇异值，令： 得到： 求 零空间的一组标准正交基 ，令： 则： 这部分内容是我没有接触过的，我以前只知道SVD和PCA类似，都可以做降维（其实PCA是SVD的特殊情形），但并没有从矩阵近似和压缩的角度看待过SVD。这一部分内容证明了一个结论： 奇异值分解是在平方损失意义下对矩阵的最优近似。 首先定义 矩阵的平方损失函数 （也称为弗罗贝尼乌斯范数）： 设矩阵 ， ，定义矩阵 的平方损失函数为： 下面证明一个结论： 证明： 一般地，若 是 阶正交矩阵，则： 这是因为： 同理，若 是 阶正交矩阵，则： 因此： 即： 有了上述结论，我们接下来证明 奇异值分解是在平方损失意义下对矩阵的最优近似。 定理1 设矩阵 ， ，设 为 中所有秩不超过 的矩阵集合， ，则存在一个秩为 的矩阵 ，使得： 称矩阵 为矩阵 在平方误差下的最优近似。 定理2 设矩阵 ， ，有奇异值分解 ，并设 为 中所有秩不超过 的矩阵的集合， ，若秩为 的矩阵 满足： 则： 特别地，若 ，其中： 则： 定理2的具体证明过程见《统计学习方法》。

在实际的应用中，有时候我们会遇到数据的维度太少，我们需要新生成新的维度，可以用我们之前的分享（ 如何自动化进行特征工程 ）；有时候维度太多，这时候我们就需要降维了。降维的方法有许多，我们这里介绍了sklearn中介绍的7种，供大家学习和收藏。 主成分分析（PCA）用于将多维的数据集分解为一组具有最大方差的连续正交分量。在sklearn这个包中，PCA是一个transformer对象，使用fit方法可以选择前n个主成分，并且用于投射到新的数据中。 PCA有两种实现方式，一种是特征值分解去实现，一种是奇异值分解去实现。特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的，如果不使用SVD，PCA只会寻找每个特征的中心，但并不会对数据进行缩放（scaled）。使用参数whiten=True ，可以将数据投射到奇异空间中，并且将每个组分缩放到方差为1，这个对于后续分析中，假设每个特征是isotropy 是很有帮助的，例如SVM和Kmeans聚类。 PCA不仅仅是对高维数据进行降维，更重要的是经过降维去除了噪声，发现了数据中的模式。PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。 SVD是一种矩阵分解法，把一个大矩阵分解成易于处理的形式，这种形式可能是两个或多个矩阵的乘积。 参数 例子2：获取每个主成分与特征的关系 PCA虽然很有用，但是需要将数据全部都存入内存，因此当当要分解的数据集太大，会导致内存很大。这时候，增量主成分分析（IPCA）通常用作主成分分析（PCA）的替代，可以通过部分计算的方式，获得跟PCA一样的结果。 IPCA使用与输入数据样本数无关的内存量为输入数据建立低秩近似。它仍然依赖于输入数据功能，但更改批量大小可以控制内存使用量。 该函数，增加了一个batch_size的参数，用来控制批次，其余都一样，至此不再赘述。 实例 对于大型矩阵的分解，我们往往会想到用SVD算法。然而当矩阵的维数与奇异值个数k上升到一定程度时，SVD分解法往往因为内存溢出而失败。因此，Randomized SVD算法，相比于SVD，它更能适应大型矩阵分解的要求，且速度更快。 此外，在某些场景下，我们期望丢掉某些lower sigular values，来达到减少噪音，保留尽可能多的方差，从而达到更好的预测效果。比如人脸的识别，如果是64X64的像素，那么整个维度有4096个。我们利用这个方法，可以保留重要的维度，从而利于后续的分析。 使用 svd_solver="randomized" 可以实现随机化的SVD，来去掉部分的奇异矩阵。 主成分分析（Principal Components Analysis, PCA）适用于数据的线性降维。而核主成分分析（Kernel PCA，KPCA）可实现数据的非线性降维，用于处理线性不可分的数据集。kernel的选择有 {"linear", "poly", "rbf", "sigmoid", "cosine", "precomputed"}，默认是"linear"。 详细说明见官方说明，与普通的PCA差不多。 SparsePCA 期望找到一组可以最优地重构数据的稀疏主成分。稀疏性的大小由参数alpha给出的L1惩罚系数来控制。Mini-batch sparse PCA是sparsePCA的变种，提高了速度，但是降低了精度。 主成分分析（PCA）的缺点是，该方法提取的成分是一种密集表达式，即用原始变量的线性组合表示时，它们的系数是非零的。这可能会使解释模型变得困难。在许多情况下，真实的基础分量可以更自然地想象为稀疏向量;例如，在人脸识别中，主成分会只包含部分的图像，映射到人脸的某些部分。稀疏主成分产生了一种更简洁的、可解释的表示，清楚地强调是哪些原始特征导致了样本之间的差异。 通过调节alpha来调整惩罚度，alpha越大，越导致许多系数为0。 TruncatedSVD是普通SVD的一个变种，只计算用户指定的前K个奇异值。TSVD通常用于语义分析中，是LSA的其中的一部分，可以解决一词多义和一义多词的问题。 LSA潜在语义分析的目的，就是要找出词（terms）在文档和查询中真正的含义，也就是潜在语义，从而解决上节所描述的问题。具体说来就是对一个大型的文档集合使用一个合理的维度建模，并将词和文档都表示到该空间，比如有2000个文档，包含7000个索引词，LSA使用一个维度为100的向量空间将文档和词表示到该空间，进而在该空间进行信息检索。而将文档表示到此空间的过程就是SVD奇异值分解和降维的过程。降维是LSA分析中最重要的一步，通过降维，去除了文档中的“噪音”，也就是无关信息（比如词的误用或不相关的词偶尔出现在一起），语义结构逐渐呈现。相比传统向量空间，潜在语义空间的维度更小，语义关系更明确。 使用例子如下： 用事先预定义好的字典来对矩阵进行稀疏化编码，达到降维和简化的目的。就像人类的所有语言都是由单词组成一样，因此使用已知的词典可以减少维度；其次，稀疏化可以减少计算的成本，让后续的计算更快。 这个对象没有fit的方法，transformation方法会将数据表示为尽可能少的字典原子的线性组合。可以用transform_method来控制初始化参数，有以下几种： 使用的函数为sklearn.decomposition.DictionaryLearning，会找到一个可以将fitted data足够好稀疏化的字典。 将数据表示为一个overcomplete的字典这个过程，同大脑处理数据的过程类似。这个方法在图像补丁的字典学习已被证明在诸如图像完成、修复和去噪以及监督识别任务的图像处理任务中给出良好的结果。 使用函数为sklearn.decomposition.MiniBatchDictionaryLearning，是一种快速的，但是精确度降低的版本，适应于大数据集合。 默认情况下，MiniBatchDictionaryLearning将数据分成小批量，并通过在指定次数的迭代中循环使用小批量，以在线方式进行优化。但是，目前它没有退出迭代的停止条件。也可以用partial_fit来实现小批次的fit。 从变量中提取共性因子。 因子分析要求原有变量间具有较强的相关性，否则，因子分析无法提取变量间的共性特征，如果相关系数小于0.3，则变量间的共线性较小，不适合因子分析；因子分析得到因子和原变量的关系，因此能够对因子进行解释。 因子分析可以产生与 PCA 相似的特征（载荷矩阵的列）。不过，不能对这些特征做出任何一般性的说明（例如他们是否正交）。 使用的函数为sklearn.decomposition.FactorAnalysis。 使用的函数为sklearn.decomposition.FastICA，ICA可以提取出一系列的主成分，彼此最大的独立。因此，ICA一般不用于降维，而用于区分叠加信号。ICA不考虑noise，为了使模型正确，必须使用whitening，可以使用whiten这个参数。 ICA 通常用于分离混合信号（称为盲源分离的问题），也可以作为一种非线性降维方法，可以找到具有一些稀疏性的特征。 主成分分析假设源信号间彼此非相关，独立成分分析假设源信号间彼此独立。 主成分分析认为主元之间彼此正交，样本呈高斯分布；独立成分分析则不要求样本呈高斯分布。 非负矩阵分解，顾名思义就是，将非负的大矩阵分解成两个非负的小矩阵。在数据矩阵不包含负值的情况下，应用NMF而不是PCA或其变体。 NMF可以产生可以代表数据的主成分，从而可以来解释整个模型。 参数init，可以用来选择初始化的方法，不同的方法对结果会有不同的表现。 在PCA处理中，假使将特征降维为600个，那么降维后的每个人脸都包含了600个特征（所以我们看到降维后的人脸有种“伏地魔”的感觉 ，这是因为降维处理相当于删去了部分细节特征，导致一部分信息丢失，在图片中最直观的体现就是变模糊）。而在NMF的处理中，这1000个特征相当于是被分离了。相当于，一张人脸是由鼻子、耳朵等这些独立的特征叠加出来的。 LDA是文档主题生成模型，对离散数据集（如文本语料库）的集合的生成概率模型。它也是一个主题模型，用于从文档集合中发现抽象主题。LDA是一种非监督机器学习技术，可以用来识别大规模文档集（document collection）或语料库（corpus）中潜藏的主题信息。 sklearn.decomposition.LatentDirichletAllocation是用于进行LDA的函数。 1、 https://www.jianshu.com/p/1adef2d6dd88 2、 https://www.jianshu.com/p/e574e91070ad 3、 https://scikit-learn.org/stable/modules/decomposition.html#decompositions 4、 https://shankarmsy.github.io/posts/pca-sklearn.html 5、 https://mp.weixin.qq.com/s/Tl9ssjmGdeyNrNuIReo1aw 6、 https://www.cnblogs.com/eczhou/p/5433856.html 7、 https://scikit-learn.org/stable/auto_examples/applications/plot_face_recognition.html#sphx-glr-auto-examples-applications-plot-face-recognition-py 8、 https://blog.csdn.net/fkyyly/article/details/84665361 LSA(Latent semantic analysis) 9、 https://blog.csdn.net/fjssharpsword/article/details/74964127 10、 https://www.jianshu.com/p/e90900a3d03a

线性代数中，特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

Step back Subtraction

栅格法，将地图划分为单元格，再进行搜索

Energy consumption and economic growth relationship has been of concern in society, a hot issue. Energy is the driving force of human development, whether it is a socialist country, or the capitalist countries the demand for energy as well as the development and use are all very seriously. Socialist countries, energy is a necessity, play a major driving force for nation-building, in the capitalist countries, energy is a country"s economy a major influence. With the rapid development of modern economy, energy supply issues become increasingly prominent, and therefore the study of energy consumption and economic growth, the relationship between the very real economic significance. This choice of China"s old industrial base of Liaoning Province in energy consumption and economic growth in statistical analysis. At present, the study of energy consumption and economic growth in the relationship between the research methods used by many domestic and foreign scholars controversial. Previous studies have mostly used the traditional method of modeling theory, the analysis of the economic variables are stationary time series. Along with social progress, scientific improvements, many economic variables have shown a non-stationary nature, so persuasive the conclusions of the relative decline. With the Engle - Granger (Engle-Granger) 1987 years of formal co-integration theory, making study the relationship between energy consumption and economic growth, the conclusions of a more practical, and this method has also become a study of energy consumption and economic growth, the relationship between a popular trend. In this paper, in 1978, -2,008 years of China"s Liaoning Province, the total coal consumption, oil consumption, water consumption, gas consumption and GDP in Liaoning Province based on data to conduct unit root tests, Granger causality inspection as well as the co-integration test. Based on vector autoregressive models, using impulse response function (impulse response function) and variance decomposition (forecast variance decomposition) analysis of Liaoning Province between energy consumption and economic growth, the dynamics of relevance, this paper all the data from the 2008 "Statistical Yearbook of Liaoning Province, . " All the variables in this article are a first-order single whole I (1), so they may exist between the cointegration relationship. They carried out after the Granger causality test, test results show that in the next 95% confidence level were rejected by four of the original hypothesis. Only the cointegration relationship between variables exist only when there is error correction model, so they are also to test the cointegration relationship between variables. Cointegration test results show that the characteristic roots trace test showed that the 5% significance level, there are four cointegrating vectors. Then cointegration and error correction model combining the establishment of a vector error correction model and VEC models. At last, the impulse response function for this assessment of the impact of specific variables on a variety of direction and extent of the reaction, the final variance decomposition enables us to further analyze the changes in specific variables relative importance of various shocks. After these empirical results show that the growth of energy consumption in Liaoning Province is the cause of economic growth, while economic growth, in turn, impact on the growth of energy consumption, the role is not significant. And concludes that the total coal consumption, oil consumption, water consumption, gas consumption and economic growth exists between long-run equilibrium relationship, but total consumption of coal than oil consumption, water consumption volume and the greatest impact on GDP growth. Natural gas consumption and the Liaoning Provincial GDP interaction is not significant. Liaoning Province, would like to continue to develop the economy, it must coordinate with the energy consumption, while ensuring enough energy to the case of an adequate economic development. With the development of society, energy, mining, energy savings and reduction in volume is not short of coal, oil, and scarce energy prices soaring, resulting in the cost of increasing the height of the price. Therefore, effective development and use of energy is imperative. How to solve the energy shortage and a better economic development, has become the most important issues. Through this analysis, the proposed use of Liaoning Province, adjust the industrial structure, strengthen energy planning, enhancing energy accessibility, energy conservation and develop new energy utilization measures to increase the level of energy consumption, sustainable economic development of Liaoning Province, helps a lot. Liaoning Province made a number of energy policy-making modest opinion.

行生成就是指的不断添加约束的算法。 因为在求解矩阵中，一个约束条件对应一行，因此添加约束条件的方法自然叫做行生成算法。相对应的，添加变量的方法就叫做列生成算法。 这一节先看行生成算法，用在求解变量不多，但是约束条件特别多的情况下。 Benders分解（Benders Decomposition，BD）的基本思路是：使用 子问题（primal problem） 来寻找合适的约束不断添加到 松弛主问题（relaxed master problem） 中。子问题可以给上界（UB），松弛主问题可以给下界（LB），不断迭代就可以逐步找到最优解。具体可以参考论文： http://www.ie.boun.edu.tr/~taskin/pdf/taskin_benders.pdf ，这里做一下简单的概述： 问题模型是： Benders分解将上述模型拆分为只包含x变量的子问题和只包含y变量的主问题。 子问题（SP）为： min cx s.t. Ax = b - By 使用对偶法求解子问题（DSP）： max α(b-By") s.t. Aα ≤ c α无限制 这是个线性规划问题，枚举可行域{α : Aα≤c}的极点（I）和极方向（J）便可以求解了，上面DSP等价于： min q s.t. α i (b-By) ≤ q α j (b-By) ≤ 0 q无限制 定义q(y)为SP问题的最优解，则原问题可以重新写为如下主问题的形式： min q(y)+fy s.t. y∈Y 等价于下面的主问题（MP）： min q+fy s.t. α i (b-By) ≤ q α j (b-By) ≤ 0 y∈Y，q无限制 由于约束条件较多，因此α也是非常多的，直接上所有约束条件求解MP比较困难。因此从少量约束条件的松弛主问题开始，逐步把约束条件加上。 在下面的问题中，y∈{0,1}属于复杂约束，因此将原问题按如图的颜色拆分开。 一轮迭代后，UB = 23，LB = 8，还需要继续迭代。后面的求解过程省略。 Benders分解法要求子问题必须为线性，而广义Benders分解法（Generalized Benders Decomposition，GBD）针对这个问题作了改进。广义Benders分解的问题模型是： 由于涉及到了非线性规划，因此要用到拉格朗日法。求解的步骤是：

不是一样的我替别人做这类的数据分析蛮多的

逆矩阵的求法：1、利用定义求逆矩阵设A、B都是n阶方阵， 如果存在n阶方阵B 使得AB=BA=E， 则称A为可逆矩阵， 而称B为A的逆矩阵。2、运用初等行变换法将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=（A，I]）对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。3、增广矩阵法如果要求逆的矩阵是A，则对增广矩阵（AE）进行初等行变换，E是单位矩阵，将A化到E，此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵，原理是A逆乘以（AE）=（EA逆）初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的。4、待定系数法待定系数法顾名思义就是对未知数进行求解。用一个新的包含未定因子的多项式来表达多项式，从而获得一个恒等式。接着，利用恒等式的特性，推导出一[e3713.cn][shanghailugong.cn][xiaoshuo-8.cn][i2461.cn][yzrce.cn][mynanyang.c o m.cn][51maitian.cn][zhushu888.cn][4yi.c o m.cn][x9881.cn]

Sequence translation Reverse translation Comprehensive lawSyntax - Sequential translation

MnO2 催化H2O2 分解，冒气泡，生成无色无味气体： MnO22 H2O2======2 H2O+O2

一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。如果实（复）非奇异矩阵A能够化成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称其为A的QR分解。

在洗净步期间， mechanochemical路线到polyaniline仍然介入“wet”过程。 如果 a “dry”洗净方法可以被设计去除副产物，是主要氨盐基硫酸盐 and苯胺齐聚物盐， polyaniline在一个完全地未溶解的系统将得到。 因为副产物可以在分解温度polyaniline之前，被升华或被分解polyaniline综合的最可适用的固体洗净方法似乎是热分解或蒸发。 例如，而分解温度polyaniline在280 °C.之上，氨盐基硫酸盐分解在230和280 °C之间。 在一个初步实验， anilinium硫酸盐和氨盐基peroxydisulfate为1 h球被碾碎了，首先转移了到坩埚，并且被加热了在250 °C。 作为控制实验，相同数量如用于综合的氨盐基peroxydisulfate在另一个坩埚安置了并且加热了与polyaniline产品。 坩埚为24 h是激昂然后冷却了对室温。 与氨盐基peroxydisulfate的坩埚是空的，并且那个与polyaniline产品仍然有黑暗粉末保持。 产品的出产量是根据anilinium硫酸盐wt %的_20。 获得的polyaniline被交互相联并且被氧化，如表示的是由红外光谱。 通过降低分解温度和申请真空，应该减到最小polyaniline的氧化作用，并且应该改进出产量。

degradation 老化; 退化decomposition 分解, 腐败, 变质

分解反应:decomposotion reaction望采纳，谢谢

矩阵分解(decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD(奇异值)分解等，常见的有三种:1)三角分解法 (TriangularFactorization)，2)QR分解法(QRFactorization)，3)奇异值分解法(SingularValueDecomposition)。下面分别简单介绍上面三个分解算法：1、三角分解法三角分解法是将原正方(square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted)的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求逆矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。MATLAB以lu函数来执行lu分解法，其语法为[L,U]=lu(A)。2、QR分解法QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为[Q,R]=qr(A)。3、奇异值分解法奇异值分解(singularvaluedecomposition,SVD)是另一种正交矩阵分解法;SVD是最可靠的分解法，但是它比QR分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。和QR分解法相同，原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。MATLAB以svd函数来执行svd分解法，其语法为[S,V,D]=svd(A)。

矩阵的迹指：在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。例子：设有矩阵：它的迹是：扩展资料：性质一、设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用tr(A)表示）就等于A的特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。1.迹是所有对角元的和2.迹是所有特征值的和3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹4.tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）二、奇异值分解（Singular value decomposition ）奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA"的特征向量组成U，特征值组成B"B，A"A的特征向量组成V，特征值（与AA"相同）组成BB"。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。三、在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广， 表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。《鲁棒控制.倾斜转弯导弹》参考资料来源：百度百科-矩阵的迹

combination reaction 化合反应decomposition reaction 分解反应double replacement reaction 复分解反应Single Displacement reaction 置换反应求采纳！！！！！

用矩阵法求解三元一次方程组的解，其过程是：第一步：确定三元一次方程组的系数矩阵A，即X、Y、Z变量的系数第二步，确定三元一次方程组的常数系数矩慧答阵B，即第三步，创建三元一次方程组的矩阵方程，即其中，X=[x;y;z]。第四步，求解晌樱上述矩阵方程，即对方程左乘A的逆矩阵，有宴碧丛第五步，得到三元一次方程组的解x=16/7；y=-15/7；z=18/7[tele.cdzsxq.cn/article/574081.html][tele.dcgscs.cn/article/163985.html][tele.sxhthb.cn/article/413790.html][tele.scfll.cn/article/034587.html][tele.xayfxj.cn/article/136048.html][tele.scfll.cn/article/502483.html][tele.yujihua.cn/article/581724.html][tele.52hxdq.cn/article/706924.html][tele.qmwds.cn/article/781935.html][tele.52hxdq.cn/article/972568.html][tele.changend.cn/article/610438.html][tele.hxy7.cn/article/970453.html][tele.8f6q94.cn/article/078492.html][tele.8f6q94.cn/article/026713.html][tele.hznalan.cn/article/534871.html][tele.hznalan.cn/article/470531.html][tele.51mz2.cn/article/902453.html][tele.51mz2.cn/article/807396.html][tele.pzh119.cn/article/735982.html][tele.pzh119.cn/article/567108.html]

problem,比如10个,然后有个subproblem,用来add constraints on the fly.如此循... Benders应用得很成功的案例,比如multi-commodity network flow problem.

矩阵的迹：主对角线(左上至右下的那一条)上所有元素之和。

你的邮箱发不进去，请换一个，这里发部分供你参考Principal component analysisPrincipal component analysis (PCA) is a mathematical procedure that uses an orthogonal transformation to convert a set of observations of possibly correlated variables into a set of values of uncorrelated variables called principal components. The number of principal components is less than or equal to the number of original variables. This transformation is defined in such a way that the first principal component has as high a variance as possible (that is, accounts for as much of the variability in the data as possible), and each succeeding component in turn has the highest variance possible under the constraint that it be orthogonal to (uncorrelated with) the preceding components. Principal components are guaranteed to be independent only if the data set is jointly normally distributed. PCA is sensitive to the relative scaling of the original variables. Depending on the field of application, it is also named the discrete Karhunen–Loève transform (KLT), the Hotelling transform or proper orthogonal decomposition (POD).PCA was invented in 1901 by Karl Pearson.[1] Now it is mostly used as a tool in exploratory data analysis and for making predictive models. PCA can be done by eigenvalue decomposition of a data covariance matrix or singular value decomposition of a data matrix, usually after mean centering the data for each attribute. The results of a PCA are usually discussed in terms of component scores (the transformed variable values corresponding to a particular case in the data) and loadings (the weight by which each standarized original variable should be multiplied to get the component score) (Shaw, 2003).PCA is the simplest of the true eigenvector-based multivariate analyses. Often, its operation can be thought of as revealing the internal structure of the data in a way which best explains the variance in the data. If a multivariate dataset is visualised as a set of coordinates in a high-dimensional data space (1 axis per variable), PCA can supply the user with a lower-dimensional picture, a "shadow" of this object when viewed from its (in some sense) most informative viewpoint. This is done by using only the first few principal components so that the dimensionality of the transformed data is reduced.PCA is closely related to factor analysis; indeed, some statistical packages (such as Stata) deliberately conflate the two techniques. True factor analysis makes different assumptions about the underlying structure and solves eigenvectors of a slightly different matrix.

Decomposition of prime factors

1.代谢物提取，一般要求每组至少10个样； 2.在所有提取好的样本中取等量混合作为QC； 3.QC样本与实验样本穿插上机，开始十个QC，结尾三个QC，中间每十个样本穿插一个QC样本 。 得到质谱谱图数据经软件处理后得到峰表。 峰表格式一般为：每行为一个m/z，每列为一个样本 数值表示该样本中某个m/z的信号响应。 第一列为 保留时间_质荷比 来代表离子，如 0.10_96.9574m/z 。 一般有如下几点： 1.数据预处理。如缺失值过滤填充、数据归一化等。 2.数据质控。包括CV分布、QC等。 3.统计分析。包括单变量、多变量等。 4.功能分析。包括Pathway、网络分析、Biomarker筛选等。 缺失值处理 1）缺失原因 a. 信号很低检测不到； b. 检测错误，如离子抑制或者仪器性能不稳定； c. 提峰的算法限制，不能从背景中将低的信号提取出来； d. 解卷积时不能将重叠的峰全部解析出来。 2）缺失值过滤 比如： QC样本中缺失超过50%的去除； 样本中缺失值超过80%的去除。 3）缺失值填充 -- 最小值填充 -- 平均值/中值填充 -- KNN（ k-nearest neighbour）填充 -- BPCA（Bayesian PCA）填充 -- PPCA（probabilistic PCA）填充 -- Singular Value Decomposition (SVD) 一般推荐KNN。 噪音信号去除 一般是低质量的离子。 1）低质量离子的确定： 计算某个离子在QC样本中的RSD（标准差/均值）；其值越小，说明偏差越小； 2）判断标准： -- 对单个离子峰而言，RSD<0.3，则该离子峰合格，否则去除； -- 对于整体数据而言，RSD<0.3，峰所占比例>60%，则整体数据合格； 样本归一化 目的是为了提高样本间的可比性。 样本间有差异性，如不同人的尿液浓度不同，不能直接拿来比较。 可在采集前归一化，如肌酸酐归一化；也可在采集后归一化，如sum，pqn，quantile等。对于数据分析而言，通常是后者，如总和归一化（sum）。 数据转换 下游的分析一般要求数据为正态分布或者高斯分布； 所以数据通常要进行Log转化或power转化，这两者都能够将极大值的抑制效应消除，并且能够调整数据的分布，如下图； Log转化对0值比较敏感，必须首先去除零值。 数据转换——scaling 目的是消除极大值效应。 对不同样本中同一个m/z的强度差异过大进行调整，极大值的存在往往会掩盖较低值的变化特征。 可将某个m/z在所有样本中的强度的值，除以一个因子（SD值）； 方法如auto (uv)，pareto（推荐），vast， range等。 相当于上面样本归一化是为了样本可比，scaling是为了离子可比。 QC样本的TIC重叠情况 一般认为： 所有的QC样本峰重叠良好； 峰强度波动差别不大； QC样本中CV<30%的峰所占比例 PCA中QC样本的聚集程度 QC样本的相关性 单变量分析 一次只分析一个变量，即一个m/z，考察不同组别不同样本的这个m/z表达有无差异？ 常见的方法有倍数分析，t检验，秩和检验，方差分析等。 聚类分析 核心思想就是根据具体的指标(变量)对所研究的样品进行分类； 聚类分析需要设定一个方法来衡量样本间的相似性或者不相似性（常用欧式距离，相关性系数等）； 常见聚类的方法：系统聚类（层次聚类）、K-均值聚类等。 K-均值首先要估计出将要分出几个类，然后将全部的基因按照相似性的距离，归入这几类中。 K– means计算量要小得多，效率比层次聚类要高。 无论哪种分类方法，最终要分成多少类，并不是完全由方法本身来决定，研究者应结合具体问题而定。 聚类分析是一种探索性的数据分析方法。相同的数据采用不同的分类方法，也会的得到不同的分类结果。分类的结果没有对错之分，只是分类标准不同。 使用聚类方法时， 首先要明确分类的目的，再考虑选择哪些变量(或数据)参与分类，最后才需要考虑方法的选择。 多变量分析 1）PCA分析 以下分别是得分图（样本在新的坐标系中的位置 ）和载荷图(loading图，原变量与主成分间的夹角) PCA怎么看？ 2）偏最小二乘法 PLSDA的图和PCA类似。只是一种监督学习的方法，事先给样本分类，最后看能否将不同组分开。 用R2和Q2进行模型评价。 R2是相关性系数，表示这个模型的 拟合效果 ，是一个定量的测量（范围0-1），意味着所建立的模型能在多大程度上代表真实的数据； 一般当R2在0.7-0.8表示模型解释能力较好，较差的模型的R2往往为0.2-0.3 Q2表示PLS-DA模型的 预测能力 ； 一般Q2大于0.5表示预测能力较好，并且R2与Q2的值应该比较接近。 使用permutation test模型进行过拟合检验。 VIP ( Variable Importance in Projection) 变量重要性投影 每一个m/z都有VIP值，表示这个m/z在某一个主成分上的投影，即 重要程度 ； 一般我们使用第一、第二主成分的VIP来表示这个m/z对模型分型的贡献程度， VIP>=1被认为是具有显著贡献的 。 代谢组学数据分析最后两部分内容——功能分析和生物标志物筛选见下节内容

seasonal decomposition require at least one periodicdata component to be confined季节性分解要求至少一周期性将被限制的data组分

partial fraction decomposition 就是让你对分母进行分解展开。像第一个积分，他的分母就可以分解成（x-2)(x-4)分式展开就是，A/(x-2)+B/（x-4)，这里的系数可以求解，求出来是A=2,B=-1.对两个分式积分就简便了。第二题也是一样的方法,对分母展开，但是他要求你不要计算出系数的数值解。那个solution应该是范例吧。

矩阵谱分解谱分解（Spectraldecomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法

1，5g/cm3。白色针状结晶、颗粒或粉末。微有乙酸气味。味微苦。极易吸湿。150℃以下不失去全部水分，如热到160℃时分解成丙酮和碘酸钙。溶于水，微溶于乙醇。0.2mol/L水溶液的pH为7.6。低毒，半数致死量(大鼠，经口)4.28g/kg。密度：1.50闪点 160°C溶解度 H2O: 1 M at 20 °C, clear, colorlessform powder水溶解性 solubleDecomposition 160 oC熔点 160°C (dec.)密度 1,5 g/cm3FEMA 2228。

2.1 LOESS回归： STL主要依赖LOESS方法来做回归，本小节首先介绍一下该非参数回归方法。 LOESS为局部加权非参数回归，做数学和算法相关工作的同学都知道“局部”的意思，它就是当你想回归一个点时，在该点的周围画一个圆，将邻居样本圈进来，之后利用邻居样本的加权求和得到目标点的回归值。更重要的是，回归每一个目标点的时候，对邻居样本的权重都不相同，这个就是局部的意思，每个点都不一样。那么非参数呢？它指的是没有假设数据样本应该服从什么样的关系，例如一般我们做回归会假设y=3x 2这样的因变量-自变量关系，但是在非参数回归中，是没有这个的，它“局部”的回归得到目标点的回归值，不存在一个参数（如y=3x 2中的3）应用全部的情况。 具体的，LOESS是怎么做的呢？首先假设有一个序列x1，x2，...xn，回归一个值x6时， （1）以x6为中心确定一个区间，宽度q可灵活掌握； （2）定义区间内邻居的权重，权重由权数函数确定； （3）区间内的散点拟合直线或曲线，具体取决于参数d（d=1意味着直线，d=2意味着二阶） （4）拟合之后得到目标点的值。 对序列中的每一个点都做这样的拟合，拟合后的数据就是loess回归的结果。 2.2 STL分解： （1）首先展示STL的算法： （2）然后解释其中的变量值： 整体上以上这些参数设置的时候，要理解STL能做周期和趋势分解的一个本质逻辑：之所以能做周期拟合，是因为其中做了子序列平滑，就是说把周期中每一个位置的点拿出来，因为是规律性的，所以原则上每一个子序列都应该是越平滑越好，那怎么才能尽可能得到一个平滑的回归线呢？那就是窗口取大一点，这样受局部影响才小。而做趋势拟合的时候就不一样了，窗口取太大会导致趋势被抑制，取太小会将周期和余项的分量回归进来，所以要取得“合适”，也参考以上的公式。至于除了这两个主要步骤之外，为什么做那么多次loess回归，也就是通过多次平滑、回归，能越来越精确的将趋势分量和周期分量区分开，而不至于混淆。 原文请参考论文：A Seasonal-Trend Decomposition procedure Based on Loess

华北北部地震活动区包括了燕山洼地、宁夏回族自治区、内蒙古自治区等地，历史上曾发生过多次地震事件，其中最为严重的是1976年的唐山大地震。为了深入理解该地震活动区的地质结构和地震机制，研究人员运用了MT（磁法）进行了二维反演和解释。MT方法是通过测量地球表面上自然磁场和地下电性特征，来研究地球内部构造和物质特性的一种非常有效的方法。在华北北部地震活动区，MT的收集主要通过布设带有测量设备的磁力计和电阻率计，并且在时间上进行多次测量，最终得到了关于地下电性特征变化的三维数据集。然而，由于在实际测量中存在诸多影响因素，比如地球电性结构的三维复杂性、设备测量误差、环境电磁干扰等，这些数据集往往需要经过一系列预处理和数据反演处理才能发挥最大的价值。基于MT二维反演和解释的研究发现，华北北部地震活动区主要由三类电性结构组成：1. 低电阻率层：主要位于燕山洼地和河套地区，这些地区的地下结构一般都是由第三系黄土、沙质和粘土等沉积层构成，这些沉积层的电导率都比较低，因此会形成低电阻率层；2. 高电导率层/高电阻率层：主要位于萨拉乌苏地区和内蒙古与宁夏交界地带，这些地区的地下结构一般都是由变质岩、晶状岩和基性岩等组成，这些岩石的电导率都比较高或是电阻率比较低，因此会形成高电导率层或是高电阻率层；3. 中等电导率层：主要位于燕山山脉南部和中部地带，这些地区的地下结构一般都是由第四系黄土、沙丘和砾石等沉积层构成，这些沉积层的电导率处于低电阻率层和高电导率层之间，因此会形成中等电导率层。通过MT二维反演和解释，研究人员得出了关于华北北部地震活动区地下结构的较为完整的图像，这不仅有助于们更好地理解该地区的地球物理特性，也为该地区的地震预测和灾害评估提供了重要依据。

u2003u2003为了避免过拟合，我们经常会在模型的拟合能力和复杂度之间进行权衡。拟合能力强的模型一般复杂度会比较高，容易导致过拟合。相反，如果限制模型的复杂度，降低其拟合能力，又可能会导致欠拟合。因此，如何在模型能力和复杂度之间取得一个较好的平衡对一个机器学习算法来讲十分重要。 偏差-方差分解（Bias-Variance Decomposition） 为我们提供一个很好的分析和指导工具。 u2003u2003偏差-方差分解试图对学习算法的期望泛化误差错误率进行拆解。我们知道，同一个算法在不同的训练集上学得的结果很可能不同，即使这些训练集是来自同一个分布。对测试样本 x ，令 y D 为 x 在数据集中的标记， y 为 x 的真实标记， f(x;D) 为训练集 D 上学得的模型 f 在 x 上的预测输出。以回归任务为例，学习算法的期望预测为： 使用样本数相同的不同训练集产生的方差为： 噪声为 期望输出与真实标记的差别称为偏差，即： 期望错误可以分解为 u2003u2003其中第一项为偏差（Bias），是指一个模型的在不同训练集上的平均性能和最优模型的差异。偏差可以用来衡量一个模型的拟合能力；第二项是方差（Variance），是指一个模型在不同训练集上的差异，可以用来衡量一个模型是否容易过拟合。最小化期望错误等价于最小化偏差和方差之和。 u2003u2003下图给出了机器学习算法的偏差和方差的四种不同组合情况。每个图的中心点为最优模型 f u2217 ( x )，蓝点为不同训练集 D 得到的模型 f D ( x )。图a给出了一种理想情况，方差和偏差都比较小。图b 为高偏差低方差的情况，表示模型的泛化能力很好，但拟合能力不足。图c 为低偏差高方差的情况，表示模型的拟合能力很好，但泛化能力比较差。当训练数据比较少时会导致过拟合。图d为高偏差高方差的情况，是一种最差的情况。方差一般会随着训练样本的增加而减少。当样本比较多时，方差比较少，我们可以选择能力强的模型来减少偏差。然而在很多机器学习任务上，训练集上往往都比较有限，最优的偏差和最优的方差就无法兼顾。 u2003u2003随着模型复杂度的增加，模型的拟合能力变强，偏差减少而方差增大，从而导致过拟合。以结构错误最小化为例，我们可以调整正则化系数λ 来控制模型的复杂度。当λ 变大时，模型复杂度会降低，可以有效地减少方差，避免过拟合，但偏差会上升。当λ 过大时，总的期望错误反而会上升。因此，一个好的正则化系数λ 需要在偏差和方差之间取得比较好的平衡。图2.7给出了机器学习模型的期望错误、偏差和方差随复杂度的变化情况。最优的模型并不一定是偏差曲线和方差曲线的交点。 邱锡鹏-《神经网络与深度学习》 周志华-《机器学习》