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点O是平面ABC上任意一点,点O是⊿ABC内心的充要条件是什么?(向量表达) 并证明……(重点)

2023-05-19 17:35:37
共2条回复
okok云

充分性:

已知aoa向量+bob向量+coc向量=0向量,

延长co交ab于d,根据向量加法得:

oa=od+da,ob=od+db,代入已知得:

a(od+da)+b(od+db)

+coc=0,

因为od与oc共线,所以可设od=koc,

上式可化为(ka+kb+c)

oc+(

ada+bdb)=0向量,

向量da与db共线,向量oc与向量da、db不共线,

所以只能有:ka+kb+c=0,ada+bdb=0向量,

由ada+bdb=0向量可知:da与db的长度之比为b/a,

所以cd为∠acb的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性:

已知o是三角形内心,

设bo与ac相交于e,co与ab相交于f,

∵o是内心

∴b/a=af/bf,c/a=ae/ce

过a作co的平行线,与bo的延长线相交于n,过a作bo的平行线,与co的延长线相交于m,

所以四边形oman是平行四边形

根据平行四边形法则,得

向量oa

=向量om+向量on

=(om/co)*向量co+(on/bo)*向量bo

=(ae/ce)*向量co+(af/bf)*向量bo

=(c/a)*向量co+(b/a)*向量bo∴a*向量oa=b*向量bo+c*向量co

∴a*向量oa+b*向量ob+c*向量oc=向量0

康康map

已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长.

则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)

证明:设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为O。

|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c

aOA+bOB+cOC

=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)

=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)

设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|

又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0

(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)=

(a+b+c)OA-

b

DA-

c

DA

=aOA+(b+c)OD

又因为OA、OD反向,用角平分线定理和合比定理:

b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a,

b/CD=OA/OD,

所以OA/OD=(b+c)/a

,

又因为OA、OD反向,

故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD

=0.

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