最小二乘法怎么算

最小二乘法原理：找出一条直线使得所有图上面的点纵坐标的差值的平方和最小，其实也是方差最小。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。最小二乘法在交通运输学中的运用：交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法：回归分析法和聚类分析法。回归分析法是根据对因变量与一个或多个自变量的统计分析，建立因变量和自变量的关系，最简单的情况就是一元回归分析，一般式为：Y=α+βX式中Y是因变量，X是自变量，α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成，则以下标 i 标记所有变量；如果用它研究分区交通吸引，则以下标 j 标记所有变量。

参差平方和最小

使每个采样点的拟合值与实际值之差的平方为最小。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法原理 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1). Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”. 你测的数据 是时间X和距离Y, 用所测数据确定a0,a1

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。实际应用中，常用一堆数据来得到优化或相对理想的参数值。

首先这里需要用到几个OLS的假定：E(u)=0, cov(ui,uj)=0, var(u)=σ^2; 在这里用大写表示估计量, k=(x-X u0305)/∑((x-X u0305)^2) B2=b2+∑ku, B1=Y u0305-B2*X u0305=Y u0305-(b2+∑ku)*X u0305=b1+(∑u)/n-X u0305*∑ku, E(B1)=b1 var(B1)=E[(B1-b1)^2]=E{[(∑u)/n-X u0305*∑ku]^2}=E((∑u)^2)/n^2+X u0305^2*E((∑ku)^2)-2(X u0305/n)*E[(∑u)(∑ku)] 分开来证明 cov(ui,uj)=E(ui*uj)-E(ui)*E(uj)=0, so E(ui*uj) =0; E[(u)^2]=Du+E(u)^2=σ^2； E((∑u)^2)=∑E(u^2)+2∑E(ui*uj)=n*σ^2E((∑ku)^2)=∑（k^2)*E(u^2)=σ^2/(∑((x-X u0305)^2)); E[(∑u)(∑ku)]=∑k*E(u^2)+∑k*E(ui*uj)=σ^2*∑k=0; 汇总在一起 var(B1)=σ^2/n+(σ^2)(X u0305^2)/(∑((x-X u0305)^2)) 你最后合并一下就能得出这个公式

一.特征估计和模型检验1、均值估计[1]估计量 u0302= u0305_n[2]性质无偏性： u0302是 的无偏估计相合性：若 _ → 0，则 u0302是 的相合估计；如果{ }严遍历则是强相合估计收敛性：若若{ _ }正态/独立同分布白噪声，则2、自协方差[1]估计量[2]性质(若 { 1 = 0} = 0，则 正定)3、偏相关函数[1]定义[2]性质如果{ }是正态平稳序列，则当 > 时，4、独立白噪声检验[1]正态检验[2]卡方检验5、特殊序列检验[1]季节序列检验[2]求和模型检验

【答案】：C对于给定的n组观测值，可用于描述数据的直线有很多条，究竟用哪条直线来代表两个变量之间的关系。需要有一个明确的原则。我们自然会想到距离各观察点最近的一条直线，即实际观测点和直线间的距离最小。根据这一思想对回归模型进行估计的方法称为最小二乘法。最小二乘法就是使得因变量的观测值与估计值之间的离差平方和最小来估计参数的方法。

最小二乘法是一种用于拟合数据的最常用的统计学方法。它的基本原理是，通过最小化拟合数据的误差平方和，来求解拟合参数的最优解。最小二乘法的基本思想是，在拟合数据的时候，要使拟合数据的误差平方和最小，从而得到最优的拟合参数。具体来说，就是要求解一个函数，使得该函数的误差平方和最小。最小二乘法的解决方法是，首先，根据拟合数据，建立拟合函数，然后，求解拟合函数的最优参数，使得拟合函数的误差平方和最小。最后，根据拟合函数和最优参数，得到拟合数据的最优拟合曲线。最小二乘法的实现步骤主要有：1）根据拟合数据，建立拟合函数；2）求解拟合函数的最优参数；3）根据拟合函数和最优参数，得到拟合数据的最优拟合曲线。最小二乘法的实现过程中，需要用到微积分、线性代数等数学知识，以及梯度下降算法等机器学习算法。

我用括号把层次分开,简单的说就是: 让(((采样的点)跟(拟合的曲线)的距离)总和)最小. 楼上的说法有问题,不是非要直线不可,任何曲线都可以的. 最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2。

最小二乘法拟合圆原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差最小二乘法，是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据、并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法拟合圆的方法；第一步，根据已知点，描图X=[。。。]，Y=[。。。]，plot(X,Y,"p")第二步，根据已知点拟合圆的一般式方程，利用公式求出圆心和半径首先，用方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，拟合出其系数D、E、F，求出圆心（-D/2，-E/2），半径0.5√（D^2+-E^2-4F）第三步，根据圆的参数方程，求出x，y的点，描点plot(x,y,"r-")，得到拟合圆的图形利用仿真的得来的数据、选取某一截面，用最小二乘法进行拟合，得到其拟合效果图，如上图所示在1809年高斯对最小二乘估计进行的误差分析中发现。在线性模型的所有无偏估计类中，最小二乘估计是唯一的方差最小的无偏估计。进入20世纪后，哥色特、费歇尔等人还发现。在正态误差的假定下、最小二乘估计有较完善的小样本理论、使基于它的统计推断易于操作且有关的概率计算不难进行与此同时。对最小二乘法误差分析的研究也促进了线性模型理论的发展.如今。线性模型已经成为理论结果最丰富、应用最广泛的一类回归模型.

使用年数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均价格2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204(1) 利用“ListPlot”函数绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征?(2) 令 , 绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征?(3) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 说明有何特征?(4) 利用最小二乘法, 求 与 之间的关系;(5) 求 与 之间的关系;(6) 在同一张图中显示散点图 及 关于 的图形.思考与练习1. 假设一组数据 : , , …, 变量之间近似成线性关系, 试利用集合的有关运算, 编写一简单程序: 对于任意给定的数据集合 , 通过求解极值原理所包含的方程组, 不需要给出 、 计算的表达式, 立即得到 、 的值, 并就本课题 I /(3)进行实验.注: 利用Transpose函数可以得到数据A的第一个分量的集合, 命令格式为:先求A的转置, 然后取第一行元素, 即为数据A的第一个分量集合, 例如(A即为矩阵)= (数据A的第一个分量集合)= (数据A的第二个分量集合)B-C表示集合B与C对应元素相减所得的集合, 如 = .2. 最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新计算 与 的值, 并与先前的结果作一比较.

【答案】：A最小二乘法就是使得因变量的观测值和估计值之间的离差(又称残差)平方和最小来估计回归方程参数的方法。

【答案】：D此题考查最小二乘法。最小二乘法就是使得因变量观测值与估计值之间的离差平方和最小来估计参数β0和β1的方法。

是想让拟合的直线方程与实际的误差最小。由于误差有正有负，所以，如果用误差的和来作为指标，那最后的结果是零，指导意义不能满足要求。如果用误差的绝对值来计算的话，那应该好一些。但由于函数计算中，绝对值的和的计算和分析是比较复杂的，也不易。所以，人们发明了用误差的平方来作为拟合的指标，由于平方总是正的，在统计计算中比较方便，所以误差的最小平方和（最小二乘法）就应运而生了。

是想让拟合的直线方程与实际的误差最小。由于误差有正有负，所以，如果用误差的和来作为指标，那最后的结果是零，指导意义不能满足要求。如果用误差的绝对值来计算的话，那应该好一些。但由于函数计算中，绝对值的和的计算和分析是比较复杂的，也不易。所以，人们发明了用误差的平方来作为拟合的指标，由于平方总是正的，在统计计算中比较方便，所以误差的最小平方和（最小二乘法）就应运而生了。

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 　　Y计= a0 + a1 X (式1-1) 　　其中：a0、a1 是任意实数 　　为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。 　　令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) 　　把(式1-1)代入(式1-2)中得: 　　φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 　　当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 　　(式1-4) 　　(式1-5) 　　亦即： 　　m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) 　　(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 　　得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： 　　a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) 　　a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9) 　　这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 　　在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 　　R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 　　在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。

是想让拟合的直线方程与实际的误差最小。由于误差有正有负，所以，如果用误差的和来作为指标，那最后的结果是零，指导意义不能满足要求。如果用误差的绝对值来计算的话，那应该好一些。但由于函数计算中，绝对值的和的计算和分析是比较复杂的，也不易。所以，人们发明了用误差的平方来作为拟合的指标，由于平方总是正的，在统计计算中比较方便，所以误差的最小平方和（最小二乘法）就应运而生了。

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。 最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。 如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。因此称最小二乘法。所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。 法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。 最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0 + a1 X)的离差(Yi - Y计)的平方和‘〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。 令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) (见附图)亦即： m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值

是想让拟合的直线方程与实际的误差最小。由于误差有正有负，所以，如果用误差的和来作为指标，那最后的结果是零，指导意义不能满足要求。如果用误差的绝对值来计算的话，那应该好一些。但由于函数计算中，绝对值的和的计算和分析是比较复杂的，也不易。所以，人们发明了用误差的平方来作为拟合的指标，由于平方总是正的，在统计计算中比较方便，所以误差的最小平方和（最小二乘法）就应运而生了。

完全最小二乘法（Total Least Squares），又称总体最小二乘法。可参考：总体最小二乘法。基本原理：求解Ax=b的最小二乘法只认为b含有误差，但实际上系数矩阵A也含有误差。总体最小二乘法就是同时考虑A和b二者的误差和扰动，令A矩阵的误差扰动为E，向量b的误差向量为e，即考虑矩阵方程：(A+E)x=b+e (1)的最小二乘解。上式(1)可写作：(B+D)z=0 (2)式中B=[-b|A]，D=[-e|E]，z=[1/x]。求解方程组的总体最小二乘法(TLS)就是求解向量z，使得扰动矩阵D的F-范数最小。

我用括号把层次分开,简单的说就是:让(((采样的点)跟(拟合的曲线)的距离)总和)最小.楼上的说法有问题,不是非要直线不可,任何曲线都可以的. 最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。 令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即： m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊ 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系数 , 的方法称为最小二乘法.

一、最小二乘法的优点：1、最小二乘法能通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。2、利用最小二乘法能简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。3、最小二乘法可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。当自变量和因变量同时存在均值为零，相同方差的随机误差时，此方法能给出在统计意义上最好的参数拟合结果。二、、最小二乘法的缺点：XTX不可逆时，不能用最小二乘估计。最小二乘法是线性估计，已经默认了是线性的关系，使用有一定局限性。在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点。扩展资料最小二乘法的原理：研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如：其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用计算值Yj（Yj=a0+a1Xi）（式1-1）的离差（Yi-Yj）的平方和最小为“优化判据”。参考资料来源：百度百科-最小二乘法

a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-a*x（平均）b 是截距a 是斜率

最小二乘法目的是根据n个离散的点，拟合出一条曲线y=F(x)，每个点到F(x）的距离两两相乘的积最小。

对于n个样本 残差和=yi-(bxi+a)(i=[1,n])=ny-n(bx+a),这里x,y为均值，因为y=a+bx，所以n(y-bx-a)=0

加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数,从而提高估计精度。加权最小二乘法是对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数的一种数学优化技术。线性回归的假设条件之一为方差齐性，若不满足方差齐性（即因变量的变异程度会随着自身的预测值或者其它自变量的变化而变化）这个假设条件时，就需要用加权最小二乘法（WLS）来进行模型估计。加权最小二乘法（WLS）会根据变异程度的大小赋予不同的权重，使其加权后回归直线的残差平方和最小，从而保证了模型有更好的预测价值。在多重线性回归中，我们采用的是普通最小二乘法(OLS)估计参数，对模型中每个观测点是同等看待的。但是在有些研究问题中，例如调查某种疾病的发病率，以地区为观测单位，地区的人数越多，得到的发病率就越稳定，因变量的变异程度就越小，而地区人数越少，得到的发病率就越大。在这种情况下，因变量的变异程度会随着自身数值或者其他变量的变化而变化，从而不满足残差方差齐性的条件。

注意；在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。其中V为残差向量，P为其权矩阵。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法原理　　在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1.x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 　　Y计= a0 + a1 X (式1-1) 　　其中：a0、a1 是任意实数 　　为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。 　　令： φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) 　　把(式1-1)代入(式1-2)中得: 　　φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 　　当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 　　(式1-4) 　　(式1-5) 　　亦即： 　　m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) 　　(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 　　得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： 　　a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) 　　a1 = [m∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [m∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9) 　　这时把a0、a1代入(式1-1)中， 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 　　在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1. x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 　　R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 　　在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。

最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。 令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即： m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊ 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系数 , 的方法称为最小二乘法.

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。 最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。

最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配.　　最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小.　　最小二乘法通常用于曲线拟合.很多其他的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表达.　　比如从最简单的一次函数y=kx+b讲起 　　已知坐标轴上有些点(1.1,2.0),(2.1,3.2),(3,4.0),(4,6),(5.1,6.0),求经过这些点的图象的一次函数关系式.　　当然这条直线不可能经过每一个点,我们只要做到5个点到这条直线的距离的平方和最小即可,这这就需要用到最小二乘法的思想.然后就用线性拟合来求.

　　最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。　　最小二乘法公式　　∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平　　∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2　　最小二乘法的原理:　　用各个离差的平方和M=∑(i=1到n)[yi-(axi+b)]^2最小来保证每个离差的绝对值都很小。解方程组?M/?a=0；?M/?b=0，整理得(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑xiyi；(∑xi)a+nb=∑yi。解出a,b。　　在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中, 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。　　Y计= a0 + a1 X (式1-1)　　其中：a0、a1 是任意实数　　为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化数据”。　　令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)　　把(式1-1)代入(式1-2)中得:　　φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)　　当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。　　(式1-4)　　(式1-5)　　亦即：　　m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)　　(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)　　得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：　　a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)　　a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9)　　这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。　　在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。　　R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊　　在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。

对于曲线拟合函数ψ(x)，不要求其严格的通过所有数据点，也就是说拟合函数ψ(x)在xi处的偏差（亦称残差）不都严格的等于零，即为矛盾方程组：为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，要求偏差按照某种度量标准最小。这后面的分析用到了范数的概念。这种方法就叫做曲线拟合的最小二乘法。我们新建并打开一个excel表格，在excel中输入或打开要进行最小二乘法拟合的数据。此时按住“shift”键，同时用鼠标左键单击以选择数据。单击菜单栏上的“插入”-“图表”-“散点图”图标。此时，我们选择第一个“仅带数据标记的散点图”图标，随后我们可以在窗口中间弹出散点图窗口。鼠标左键单击上边的散点，单击鼠标右键，弹出列表式对话框，再单击“添加趋势线(R)”。右侧就会弹出“设置趋势线格式”对话框。利用最小二乘法将上面数据所标示的曲线拟合为二次曲线，使用c语言编程求解函数系数；最小二乘法原理 原理不再赘述，主要是解法采用偏微分求出来的。

B　为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Y计=a0+a1X）的离差（Yi-Y计）的平方和〔∑（Yi - Y计）2〕最小为“优化判据”。参见百度百科 最小二乘法

　　摘　要：分析了当前常用的标准化方法在肿瘤基因芯片中引起错误分类的原因，提出了一种基于类均值的标准化方法，该方法对基因表达谱进行双向标准化，并将标准化过程与聚类过程相互缠绕，利用聚类结果来修正参照表达水平，选取了5组肿瘤基因芯片数据，用层次聚类和K-均值聚类算法在不同的方差水平上分别对常用的标准化和基于类均值的标准化处理后的基因表达数据进行聚类分析比较，实验结果表明，基于类均值的标准化方法能有效提高肿瘤基因表达谱聚类结果的质量。 　　关键词：肿瘤基因芯片；聚类分析；标准化；中心化；相关系数 　　中图分类号：Q332　文献标识码：A　文章编号：1007－7847(2007)03－0206－06 　　 　　肿瘤基因芯片分析是当前研究的一个热点，主要研究技术之一就是聚类分析，其目标是用某种相似性度量准则(如Pearson相关系数等)将样本或基因组织成有意义的组，对基因聚类，有助于对基因功能、基因调控及细胞过程等进行综合研究：对样本聚类，可以确定和发现新的肿瘤类型，从而对相应的诊断、治疗和预防有很大帮助，有多种聚类算法已被成功地用于基因表达谱的聚类分析，如层次聚类(hierarchical clustering)，K-均值聚类(K-means clustering)等。 　　然而，基因芯片实验中的误差来源很多，如荧光标记效率、扫描参数的设置以及空间位置的差异等，这些都可能对基因表达水平的测量产生影响，从而导致较差的聚类效果，因此，为了消除这些外界因素引起的误差，使基因表达数据能够真实地反映测量样本的生物学差异，需要对基因表达数据进行标准化处理，虽然，已有许多文献介绍了当前常用的标准化方法。但还没有文献在理论上对其作用机理进行深入地阐述，概括起来，常用的标准化方法包括零均值单位方差方法和数据中心化方法，它们都是用均值或中值对样本或基因进行标准化处理，但是，这些方法处理后的数据不能正确反映出类别差异，在以相关系数为相似性度量准则的聚类算法中，尤其在基因表达谱中存在极端值，或者各类包含的样本或基因数量相差较大的情况下，会引起类型偏倚，从而导致样本或基因的错误分类。 　　针对上述问题，本文在研究聚类分析和标准化基本原理的基础上，分析了上述标准化方法引起错误分类的原因，提出了一种基于类均值的标准化方法，该方法对基因表达谱进行双向标准化，并将标准化过程与聚类过程相互缠绕，利用聚类结果来修正基因(或样本)的参照表达水平，不但消除了芯片间差异，还突出了每个基因(或样本)在各样本(或基因)中的变异，本文通过对5组寡核苷酸芯片的基因表达数据的聚类分析，验证了该方法能有效地提高聚类结果的质量。 　　 　　1　聚类分析 　　 　　聚类分析的基本思想是在样本或基因间定义相似性度量准则，将相似度高的样本或基因划分为一类从而确定各个样本或基因间的关系，最常用的聚类分析方法有层次聚类(hierarchical clus-tering，HC)，K-均值聚类(K-means clustering，KM)等，这些方法都是基于个体间的相似度来进行聚类的，因此，相似度是聚类分析的首要环节，对聚类结果有着非常重要和直接的影响， 　　Pearson相关系数是最常用的相似性度量准则之一，它从方向上判断两个表达水平X=(x1,x2…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)的相似程度，即 　　 Θ田为向量X和Y间的夹角，P为1时，X和Y的相似度最高，Θ为0°；P为-1时，相反程度最高，Θ为180°：P为0时，相关程度最低，Θ为90°，可见，影响Pearson相关系数的是X和Y间的夹。 　　 　　2　标准化及其对聚类结果的影响 　　 　　2．1　常用的标准化方法及其对聚类结果的影响 　　最常用的一种标准化方法是零均值单位方差，即，使每个样本或基因向量的平均值为0，标准差为1，其目的是放大弱信号抑制强信号，将所有数据转换到同一个范围内，另一种常用的标准化方法是数据的中心化，即把每个基因在各样本中的表达值减去该基因在所有样本中表达值的均值或中值来去除参照表达水平的影响，或者将各个基因在每一样本中的表达值减去该样本中所有基因表达值的均值或中值来消除芯片间的差异，使基因表达水平具有可比性，该方法一般用于肿瘤样本的聚类或分类研究中。 　　实际上，上述两种标准化方法都有一个中心化的过程，均值和中值都是观察值“中间”位置的一种测度，可以看作是对参照水平的估计，在向量空间中，减去均值或中值就是将坐标原点平移到均值或中值所对应的点上，零均值单位方差的标准化方法只是比数据中心化方法多了一个单位化的过程，此过程方便比较和计算相关系数，但是，会把噪声纳入真实信号，尤其在标准差很小时会产生很大的噪声。 　　对样本的标准化，虽然消除了芯片间的差异。但是标准化后的值不能很好地反映各个基因在不同样本中的变异：对基因进行标准化后的值虽然突出了各个基因在不同样本中的变异，但是由于芯片间差异没有消除，各个基因在不同样本中变异的可靠性值得怀疑，所以，只进行单向的标准化不能得到可靠的数据，尤其值得注意的是，当对基因标准化并对样本聚类或对样本标准化并对基因聚类时，由于均值和中值固有的特性，会使样本(或基因)间的相似度偏离真实的相似度，从而使得聚类结果出现类型偏倚，下面以基因芯片样本的两类别聚类为例来说明均值和中值的中心化对聚类结果的影响， 　　设A=[αij]m×n为m×n基因表达谱矩阵，行表示基因gi，i=1，…，m，列表示样本sj，j=1，…n，αij表示基因gi在样本Sj中的表达值，对基因中心化后，基因gi的表达值为g"i=gi[αi]1×n，样本Si的表达值为s"i=Si-β，其中，αi表示用来中心化的值， 　　 　　 　　 　　但是，当两类所包含的样本数目不相等时，中值就会有比较大的差异，在基因表达谱聚类分析中，两类中样本的数目一般都不会相等。还经常会出现两类中样本的数目相差较大的情况，在这种情况下，均值和中值都会偏向数目较大的一类，使聚类结果偏向数目较小的一类，此时，样本所对应的向量空间分布在二维平面上的投影如图1b所示，图中所有标示与图1a相同，点线箭头表示经过s中心化后的样本所对应的向量，如图1b所 示，由于C2类所含样本数目明显多于C1类，点S1和点2更接近C2类的样本点，此时，一些原本属于C2类的样本点会被划分到C1类中。 　　 　　2．2　基于类均值的标准化方法 　　为了解决上述问题，本文提出了一种基于类均值的标准化方法，具体过程如下： 　　Step 1：对所有样本Sj，j=1，…，n进行零均值单位方差标准化： 　　Step 2：将样本聚为k类，Sc11，…，Sc1t1为第一类样本(C1)，…，Sck1¨…，Scktk为第k类样本(Ck)，其中，C11，…，c1t1，…，Ck1，…，cktk=1，…，n，t1+…tk=n； 　　Step3：分别计算出每一类样本的中值 　　 称m为类均值，再将每个样本减去m，对基因进行数据中心化的标准化处理，得到新的样本表达值； 　　Step4：重复Step2和Step3，直到每类中的样本不再改变，或达到预定的迭代次数为止， 　　(注：对基因的标准化也是类似的过程.) 　　下面以基因芯片样本的两类别聚类为例来说明该方法的有效性。 　　如图2a所示，设点p1，和点p2分别为C1类和C2类的实际的类别中心，则点S0位于线段P1P2的中点位置，当样本中出现极端值时，该方法根据第一次聚类的结果，分别计算出C1类和C2类的中值m1和m2，对应图中的点M1和点M1，由于点M2是C2类的中值点，不受极端值的影响，所以点M2在点P2附近；C1类中没有极端值，所以点M1也在点P1附近，因此，C1类和C2类中值的均值m所对应的点M位于线段M1M2的中点位置，并且在点S0附近，所以，经过m中心化后，样本间的相似度接近实际，不会影响聚类结果。 　　如图2b所示，当两类中样本的数目相差较大时，由于本文所提出的方法先计算了每一类的中值，所以样本数目的差异对相似度没有明显的影响。因此，聚类结果不会受到影响， 　　上述过程中，m1和m2分别是对C1类和C2类的类别中心的估计，反映了每一类的基本表达水平，经过m中心化后的表达值反映了每个基因在每个样本中与每个类别中心的接近程度，突出了样本间的类别差异，而且，由于中值具有不受极端值影响的特性，所以，在初步聚类中，被错误分类的样本点对估计类别中心的影响不大，例如，当第一次聚类时，将边缘上的点D1划分到了C1类中，而中值对点D1的变化不敏感，只是样本数目的变化使得点M1会向C2类的方向稍有移动，点M2会向偏离C1类的方向稍有移动，但都不会偏离点p1和点p2很远，这样，点M也不会偏离点S0很远，所以，经过m中心化后再对样本聚类，将会纠正点D1的错误分类。 　　 　　3　实验结果 　　 　　3．1　基因表达谱数据 　　1)白血病数据集 　　选用文献提供的7129个白血病基因表达谱的两组数据，第一组(Datal)有38个样本，包括27例ALL样本和11例AML样本；第二组(Data2)有34个样本，包括20例ALL样本和14例AML样本，过滤掉所有表达值含有负值的基因。 　　还选用了文献筛选出的50个与ALL和AML分类紧密联系的基因(Data5)，包含25个与ALL高度相关的基因，25个与AML高度相关的基因，将小于20的表达值改为20。 　　2)结肠癌数据集 　　选用文献提供的2000个结肠癌基因表达谱的两组数据，第一组(Data3)有40个样本，包括26例结肠癌组织和14例正常组织，第二组(Data4)有22个样本，包括14例结肠癌组织和8例正常组织。 　　 　　3．2　结果及分析 　　先对所有数据进行对数变换，然后在20个不同方差水平上，对前4组数据进行特征基因筛选，每个数据集得到相应的20组数据，对于Data5随机选取35个基因，使两组基因的数目有一定的差异，也得到20组数据，Data1－4中行为基因列为样本，Data5中列为基因行为样本，对每组数据使用4种标准化处理方法――对列进行零均值单位方差标准化(no central，NC)、对行进行中值中心化(median central，MDC)、对行进行零均值单位方差标准化(mean central，MC)、基于类均值的标准化(class mean，CM)。 　　为了使用已有的外部标准对聚类结果进行评估，本文针对两类别聚类问题进行分析，分别使用层次聚类和K-均值聚类算法对上述数据经过4种预处理后得到的基因表达谱聚类，其中，Datal-4进行样本聚类，Data5进行基因聚类，表1和表2分别列出了层次聚类法和K-均值聚类法对经过上述4种标准化处理后的5个数据集在所有方差水平上最差和最好的聚类结果，表中数字表示聚类结果中被正确分类的样本数。 　　 　　通过比较可以看出，Data1、Data2、Data3、Da-ta5经过CM标准化处理后，在层次聚类和K-均值聚类中的都得到了优于其它标准化处理的聚类结果，而且迭代次数不超过6次；Data4无论经过怎样的标准化，聚类结果的正确率都不高，这是因为Data1-3、5的类别差异比较显著，而Data4的两类样本交叉在一起，类别差异不显著，这一点可以由Madab7中的PCA分析得到，此处不再赘述。 　　 　　图3表示层次聚类法和K-均值聚类法对经过上述4种标准化处理后的前4个数据集的聚类结果中被正确分类的样本数目在不同方差水平上的变化曲线(由于对Data5的20组数据是随机采样得到的没有规律性，所以不研究它的变化曲线)，其中，细线对应层次聚类法，粗线对应K-均值聚类法，可以看出，层次聚类法总体上要比K-均值聚类法的结果要好，所以，本文提出的方法更适用于层次聚类，随着方差水平的升高，即特征基因数量的减少，无论使用哪种标准化，聚类效果都呈改善趋势，但是当基因数量太少时，又会有所下降，从图3中还可以看出，Data1和Data3经过CM标准化后的聚类结果明显优于其它标准化的聚类结果，这是由于这两个数据集中，不同类别中包含的样本数量相差较大，而且Data1中包含有极端值。 　　综上所述，本文所提出的基于类均值的标准化方法在样本聚类和基因聚类中都具有优于其它标准化方法的数据处理能力，通过使用与聚类过程相互缠绕的迭代方法，使聚类结果得到明显改善，而且不占用时间资源，尤其是在处理由于实验条件的限制使不同类别所包含的样本(或基因)的数目相差较大，或由于基因芯片的高噪声而使表达谱数据中包含有极端值的基因表达数据时，该方法能取得很好的效果，从而给后续的分析提供更能反映样本(或基因)间生物学差异的数据，使后续分析得到更准确的结果。 　　 　　4　结论 　　 　　基于类均值的标准化方法在消除芯片间差异的同时，突出了肿瘤基因在各样本中表达值与类别的相关程度，在以Pearson相关系数为相似度准则进行聚类时能有效的提高聚类结果的质量，与其它标准化方法的主要区别在于，它进行双向标准化，并与聚类过程相互缠绕，所以它能够为聚类分析提供更好的数据，本文对各种标准化方法作用机理的研究能够为研究人员提供一定的参考，帮助他们针对特定任务选择最佳的标准化处理的策略和方法。 　　 　　作者简介：王广云(1980－)，女，山西运城人，博士研究生，从事生物信息学研究。

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1. 有些情况等同于聚类重心。（1） 根据CNKI《卫生学大辞典》给出的“最优分割聚类法 ”定义，“类中心”可以用“类重心”代替。而“类重心”，即该类所含样品的各聚类指标值的均数。（2） 根据李卫东老师的《应用多元统计分析》 第六章第四节 动态聚类法 对于K均值法的描述，也可以大致认为聚类中心即为聚类中心，也就是聚类均值。 2. 有些情况表示类中心对应的样本号。张忠静, 陈刚等.基于最优聚类原理的电网无功电压分区算法[J].重庆大学学报（自然科学版）,2007,30(5)

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在学术界是素的，其他情况特殊对待。大蒜（英文名称Garlic；拉丁名称Allium sativum L.），为百合科（Liliaceae）葱属（Allium）植物的地下鳞茎。大蒜整棵植株具有强烈辛辣的蒜臭味，蒜头、蒜叶（青蒜或蒜苗）和花薹（蒜薹）均可作蔬菜食用，不仅可作调味料，而且可入药，是著名的食药两用植物。扩展资料：大蒜的营养功效：1、抗癌防癌同时也能够抗炎灭菌大蒜能够有效的保护肝脏，能够有效的阻断亚硝酸胺在身体里面的合成，预防肝癌的产生，另外大蒜里面含有的硒和锗能够抑制恶性肿瘤。大蒜里面含有硫化丙烯，具有一定的杀菌功效，能够有效的杀灭寄生虫以及病原菌，只有预防流感的功效，同时也能够防止伤口感染，辅助治疗感染性疾病。2、预防关节炎，调节胰岛素大蒜具有除风湿以及破冷风的功效，同时也能够医治风寒湿性的关节炎。不合理的饮食结构会下降胰岛素的合成能力，大蒜里面含有的硒能够调节胰岛素的功能，能够辅助治疗糖尿病。3、降低血脂延缓衰老大蒜里面含有的有效成分能够预防动脉硬化和冠心病的发生，同时也能够降低血脂，防止血栓。经常吃大蒜能够延缓衰老，因为里面含有的抗氧化性很高，适合于经常吸烟以及铅中毒的人群。参考资料来源：百度百科-大蒜参考资料来源：人民网-大蒜有3大功效 正确吃大蒜会营养翻倍

1、竹料需要煮30分钟左右不会开裂。2、刚开始使用竹制品的时候不能直接倒入开水，以免竹子内外受热不均而开裂；竹制品不能长期存放积水，因为竹子不能长时间浸泡，过分吸水会导致其变形，进而开裂；用淡盐水浸泡3个小时，再用清水蒸煮30分钟左右，可防止竹制品霉变、虫蛀和开裂；若长时间不使用时，可晾干后用胶袋密封保存，可放防潮袋，这样可以防止竹制品开裂。

盐水能使竹子死亡。假如撒了盐水后会使得竹子生长的土壤中的渗透压升高，且高于竹子根中的渗透压，那么竹子根部就不能从土壤中汲取水分，竹子就会因为缺水而死亡。比较渗透压的高低：看单位体积内水分子的数目。 单位体积内水分子数目多，则渗透压低。单位体积内水分子数目少，则渗透压高。

具体步骤如下：首先玩家需要先找到地图存档路径，路径如下。游戏安装目录.minecraftmods，一般情况下玩家如果使用的是Forge版本来游戏的话都会有这个文件夹。（重要提醒：如果游戏目录下面没有mods文件夹，新建之后也不可以的，因为原版游戏不能使用MOD。）打开MOD文件夹mods，将下载好的mod复制进去。我这里拿弓箭视角MOD为例。（重要提醒：一般情况MOD有两种，一种是.jar类型的，一种是.zip类型，MOD只要复制进去就可以了，不需要解压打开或者其他操作。）打开并进入游戏，点击打开MOD选项。进入后可以看到我们的MOD已经在列表上了，如下图：（重要提醒：在这里可以看到你的MOD文件说明它能够被游戏读取了，但是不一定能在游戏中使用，因为MOD之间的兼容性和一些其他问题会导致MOD不能正常使用，部分问题解决可以向下查看。）如果在菜单页面进入MOD进入后查看不到MOD那么先查看下载的MOD文件是不是需要先解压，MOD文件是不是被包裹在另一个文件夹或者压缩包下面，如下面两张所示图，MOD文件实际上没有被解压出来，这样的话需要先解压才可以。(重要提醒：有一些网站下载MOD会将其打包到一些压缩包中而且会有一些宣传类的东西包含在里面，导致MOD不能使用，所以在下载和安装的时候一定要注意。)当遇到MOD安装完成后打开或者进入游戏导致游戏无法进去或者崩溃的情况一般有如下几种情况：第一种MOD冲突：因为MOD之间会有一些冲突导致游戏崩溃，或者无法打开，这样的话就需要玩家去逐个排查哪些MOD会有冲突，将其删除或者找其他同类的MOD代替。第二种MOD缺少核心文件或者前置MOD：一些MOD会需要一些核心文件或者前置MOD的支持才可以运行，否则可能会遇到MOD在游戏中无法被加载和使用，或者导致游戏崩溃，一般解决方法是找到下载MOD的源头，看看在下载源头有没有介绍该MOD的需要的核心文件或者前置MOD，有的话就一并下载并放入MOD文件夹即可。第三种MOD和游戏版本不符：MOD也是有版本支持的，安装的时候要注意使用MOD的版本和当前游戏的版本一样不一样，否则可能会遇到MOD无法加载，客户端无法打开的问题。

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摘要：气动隔膜泵的类型有很多种，但是它的结构组成非常相似，一般包括顶盖和底盖、四螺丝连接、流体力学室、气动马达、硬件配置、阀球、空气阀、曲轴、隔膜维护块、隔膜。它的制作材料有五种，分别是塑料、铝合金、铸铁、不锈钢、特氟龙。下面我们就一起来看看一下气动隔膜泵配件有哪些以及气动隔膜泵有什么常用材质。一、气动隔膜泵配件有哪些气动隔膜泵分为多种类型，操作的结构和基本原理差别不大，以下是气动隔膜泵的配件组成：1、顶盖和底盖气动隔膜泵配有左右盖板，适合运输两种其他物质。入口和出口位于中间，该泵采用低单脉冲制造，设计方案分为三个阶段，有利于安装方便。2、四螺丝连接四螺杆连接提供出色的密封特性，气动隔膜泵具有自吸抽吸工作能力，可将耗气量降低。3、流体力学室流体力学腔室由优质原材料制成，具有改善的结构抗压强度。即使在极端的自然环境中使用，仍然可以长时间使用。4、气动马达气动马达可以由铝合金型材或不锈钢板制成。5、硬件配置为了防止腐蚀和侵蚀，隔膜泵选择不锈钢板硬件，因此，将来的维护要容易得多。6、阀球气动隔膜泵的阀球是通过独特的设备进一步生产和加工的，具有高精度和出色的防漏特性。7、空气阀导向阀由改性工程塑料制成，具有出色的耐腐蚀性和自湿性。空气阀无死角。闸阀不需要润滑，消耗的气体更少。8、曲轴曲轴由304不锈钢板制成，具有极好的耐腐蚀性，耐磨性和自润湿性，经过非常研磨的表面层，具有低摩擦阻力。9、隔膜维护块铝合金型材或不锈钢膜片维护块采用整体设计。它合理地避免了液体泄漏。此外，塑料膜片维护块衬有网状结构的不锈钢板，该板具有耐热性和耐高压性。10、隔膜它可以准确地测量移动距离，气动隔膜泵由进口原材料制成，可将其地面应力降低，从而延长了使用年限。二、气动隔膜泵有什么常用材质气动隔膜泵常用的有五种材质：塑料、铝合金、铸铁、不锈钢、特氟龙。电动隔膜泵有其中四种材质：塑料、铝合金、铸铁、不锈钢。隔膜泵膜片根据不同液体介质分别采用丁腈橡胶、氯丁橡胶、氟橡胶、聚四氟乙烯、聚四六乙烯等安置在各种特殊场合，用来抽送各种介质。

利用观察到的数据来推断人际关系网络中的未知结构群体。隐性群体分析法A利用一种基于数学建模的算法，将人与人之间的联系量化为影响力，并计算得到彼此之间的相似度。然后，该算法通过聚类分析的方法将相似的点进行归类，从而揭示隐藏的群体结构。这样就能够在社会网络中发现隐藏的社群结构和个体之间的关联关系。

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shipment receipt货物收据receipt[英][ru026au02c8si:t][美][ru026au02c8sit]n.收据，发票; 收入; vt.开收据; [美国英语]给…开收据，承认收到; 复数：receipts例句:1.Here is the two dollars, will bring me the receipt? 这儿是两美元，能给我的收据吗？