复数的几何意义以及运算公式

我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。扩展资料：1799年，维塞尔首次发表了对复数的正确几何解释，他同时用解析的方法表示了未知线段的长度和方向（类似于向量）。事实上，早在1787年，他已经详细说明了怎样给出在一个平面上的方向的解析表示。在1799年的论文里，他定义了平面内有向线段（复数）的加法与乘法，并给出了√-1的一个几何解释。而阿尔冈则创造性的讨论了复数的几何表示，对有向线段的积做了几何解释，并且用这种几何思想证明了三角，几何及代数的一些定理。1830年，高斯第一次发表了有关复数几何表示的论文，并详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数a+bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数。

复数是语法上的一个数的形式，用来表示多个或大于一个的事物或概念。它与单数相对应，用于区分数量上的差异。以下是对复数的详细解释：1.复数的定义与基本概念复数是名词和代词的一种形式，用来表示多个个体、事物或概念。它是语法上的一个数，与单数相对应。复数的形式通常在词尾加上特定的标记，如“-s”、“-es”、“-ies”等，但也有一些例外情况。2.复数在名词中的形式变化般情况下，英语名词的复数形式通过在词尾加上“-s”来表示。例如，单数形式的“cat”变为复数形式的“cats”。然而，也有一些特殊情况，需要进行形式上的变化，如“box”变为“boxes”，“child”变为“children”等。3.复数的规则和例外虽然大多数名词的复数形式遵循规则，但也有一些例外情况。例如，某些名词在复数形式中有不同的形变，如“man”变为“men”，“mouse”变为“mice”等。此外，还有一些词没有复数形式或单复数形式相同，如“sheep”和“deer”。4.复数在代词中的形式变化代词的复数形式也有规则和例外。一般情况下，代词的复数形式与名词相对应，如单数的“he”对应复数的“they”。然而，也有一些代词在复数形式上有不同的变化，如“I”变为“we”，“you”变为“you”。总结：复数是一种语法上的数的形式，用来表示多个或大于一个的事物或概念。它在名词和代词中有着不同的形式变化规则，大多数情况下名词在词尾加上特定标记表示复数，代词的复数形式通常与名词相对应。然而，也有一些名词和代词存在例外情况，需要进行特定的形态变化。理解复数的概念和形式变化对于正确运用英语语法至关重要。

简单分析一下，答案如图所示

形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0 时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。应用1、在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。2、信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。3、在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。4、量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

复数的词语解释是：复数fùshù。(1)表示多数的变化形式或多数形式的词。(2)形式为a+bi的数或表达式，其中a和b是实数，i=-1。亦称“复量”。复数的词语解释是：复数fùshù。(1)表示多数的变化形式或多数形式的词。(2)形式为a+bi的数或表达式，其中a和b是实数，i=-1。亦称“复量”。注音是：ㄈㄨ_ㄕㄨ_。拼音是：fùshù。结构是：复(上中下结构)数(左右结构)。复数的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、引证解释【点此查看计划详细内容】⒈某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个以上的数量。如英语中的book(书，单数)，books(书，复数)。⒉数学上指含有实数和虚数两部分的数。二、国语词典两个以上的数量，称为「复数」。相对於单数而言。如「我」指单数，「我们」指复数。三、网络解释复数（数的概念扩展）我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数（两个及两个以上的可数名词）众数，或称复数，在语言学中是词素的其中一种，常和单数相对，在没有双数概念的语言中用于标示多于一个的物件，在有双数概念的语言中则表示多于两个的名词数量。在另外某些语言当中，用于标示非一个物件，包括多于一个物件和没有。在许多的语言里，多数的名词都有众数，而另一部份的语言则缺乏，或通常不使用众数，如汉语、日语、越南语等。能被2整除的数字叫复数。有些语言透过外部屈折将名词变为众数，如英语；有些语言则同时透过外部屈折和内部屈折将名词转为众数，如德语、俄语、阿拉伯语；而另有一部份的语言则以黏着词尾来表达复数，如维吾尔语、土耳其语、藏语、匈牙利语等；另有一部分语言以孤立的词素来标明，如汉语、越南语、日语，虽然一般而言汉语和越南语的名词不做单复数之分。关于复数的诗词《病眼·飞花无复数》《到并州已复数月率尔成诗》关于复数的诗句安焉不复数归程山楼复数杯庶饶那复数中州关于复数的单词pluralpensionersboxespantsleavesdoescircumstancenotions关于复数的成语数一数二如数奉还擢发莫数讳树数马浑身解数论黄数黑滥竽充数数米量柴数不胜数擢发难数关于复数的词语数罪并罚浑身解数滥竽充数擢发难数一目数行擢发莫数如数奉还气数已衰数米量柴不计其数关于复数的造句1、比如复数、坐标系三次方程、立体几何中的直观图，虽然简单，但是普遍掌握不好，这些题目也比较容易，所以这些分数也必须争取。2、此外，本发明又关于另一种拼接式液晶面板的方法及另一种显示器，其中，该些复数个单一液晶面板在组装前被截角。3、保健小贴士：每天起床后，两手掌心分别按紧两耳，用食指，中指和无名指轻轻弹击后脑，反复数次可解疲乏，防头晕，强听力。4、防风外衣，风衣：用于一种温暖的茄克式外套的商标，领圈和腰部通常有松紧带且紧身。这种商标印刷时常用小写和复数。5、每次血掉到一半的时候，林阳就喝一小瓶红药，这样反复数次，喝掉了大约六七瓶药，剧毒终于过了期限，而天际山也已经遥遥在望。点此查看更多关于复数的详细信息

复数的概念：我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。由于自然数对减法运算不封闭（即：较小的自然数减去较大的自然数，其结果不是自然数），为了对减法运算封闭，我们将自然数扩充至整数。由于整数对除法运算不封闭（即：一个整数不能被另一个整数整除，其结果不是整数），为了对除法运算封闭，我们将整数扩充至有理数。复数由于有理数对于开方运算不封闭（即：有理数开正整数次方，其结果可以不是有理数），为了对开方运算封闭，我们将有理数扩充至一部分代数数。“代数数”定义为整系数（或有理系数）一元多项式方程的根，它包括一部分实数和一部分虚数。另一方面，有理数对于极限运算不封闭，为了对极限运算封闭，我们又将有理数扩充到实数。从而，极限、微积分、无穷级数运算均可以良好操作。也就是说，将定义在实数域上的函数进行极限、定积分、多重积分、无穷级数、无穷积等运算，只要不发散，其化简结果都在实数范围之内。以上内容参考：百度百科——复数

复数：把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数发展历史：经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数有什么用：复数是平面上点和另一平面上的点的一个变换，复数能表示平移，旋转，镜射，伸缩，在几何和图形处理上有极为重要的应用。磁波信号就是通过傅里叶和逆变换实现，它们就是一对的复变函数。当今的量子力学的最基本方程，薜定谔方程是由复数来建立。量子力学的理论是基于复变量的希尔伯特空间实现的。流体力学的涡流问题就是复数的奇点理论。电工学的交流电用复数表示比用三角函数表示要方便。就拿中学数学里一个最基本的问题，二次曲线的顶点极点个数，也是要用复数中的共形变换实现。复数主要用于一些科学上的计算，最主要应用还是在数学理论上。使用的很多东西无不和复数的计算有关，比如一个小小的收音机，其中的电路设计，计算电容电感等在电路中的效力，不使用复数可以说甚至寸步难行。

复数的基本概念如下：复数也称为众数，指的是语言中与单数相对，两个及两个以上的可数名词，即能被2整除的数字。在有双数概念的语言中表示多于两个的名词数量，在没有双数概念的语言中用于标示多于一个的物件，在语言学中是词素的其中一种。在许多的语言里，多数的名词都有众数，而另一部份的语言则缺乏，或通常不使用众数，如汉语、日语、越南语等。有些语言透过外部屈折将名词变为众数，如英语；有些语言则同时透过外部屈折和内部屈折将名词转为众数，如德语、俄语、阿拉伯语；而另有一部份的语言则以黏着词尾来表达复数，如维吾尔语、土耳其语、藏语、匈牙利语等；另有一部分语言以孤立的词素来标明，如汉语、越南语、日语，虽然一般而言汉语和越南语的名词不做单复数之分。英语复数相关后缀：1、-s是最常见的名词复数后缀，比如：computer—computers。某些以-s结尾的名词却并不是某个单数形式的变形，而是一个独立的形式，如：news，shorts，summons，billards，works，trousers。其中动词可能是单数也可能是复数，视词的具体情况而定。2、某些名词复数由-es构成，比如box—boxes。与-s类似，某些以-s结尾的名词却并不是某个单数形式的变形，而是一个独立的形式，如clothes。3、某些以-um或者-on结尾的词的复数以-a结尾。值得一提的是data在词源上是datum的复数，但可以独立使用。4、某些以-us或者-e或者-o结尾的词的复数以-i结尾。5、某些名词复数以-en结尾，如ox—oxen。docken其实开始是dock的复数，但已不作为复数使用。

复数的解释 ①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

复数是形如 a ＋ b i的数.式中a,b 为 实数,i是一个满足i^2 ＝－1的数,因为任何实数的平方不等于－1,所以i不是实数,而是实数以外的新的数. 在复数a＋bi中,a称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数.由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张. 复数有多种表示形式,常用形式 z ＝ a ＋ b i叫做代数式.此外有下列形式. ①几何形式.复数 z ＝ a ＋ b i 用直角坐标平面上点 Z （ a ,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数 z ＝ a ＋ b i用一个以原点 O 为起点,点 Z （ a ,b ）为终点的向量 O Z 表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释. ③三角形式.复数 z＝ a ＋ b i化为三角形式 z ＝｜ z ｜（cos θ ＋isin θ ） 式中｜ z ｜= ,叫做复数的模（或绝对值）； θ 是以 x 轴为始边；向量 O Z 为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算. ④指数形式.将复数的三角形式 z ＝｜ z ｜(cos θ ＋isin θ ）中的cos θ ＋isin θ 换为 e i q ,复数就表为指数形式 z ＝｜ z ｜ e i q ,复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行. 复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元 n 次复系数方程总有 n 个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序.

复数的解释①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

只有可数名词才有复数而且可数名词前都要有冠词的aanthe

（一）数学名词.由实数部分和虚数部分所组成的数,形如a＋bi .其中a、b为实数,i 为“虚数单位”,i 的平方等于－1.a、b分别叫做复数a＋bi的实部和虚部.当b＝0时,a＋bi＝a 为实数；当b≠0时,a＋bi 又称虚数；当b≠0、a＝0时,bi 称为纯虚数.实数和虚数都是复数的子集.如同实数可以在数轴上表示一样,复数可以在平面上表示,这种表示通常被称为“阿干图示法”,以纪念瑞士数学家阿干(J.R.Argand,1768—1822).复数x+yi以坐标黑点(x,y)来表示.表示复数的平面称为“复数平面”.如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数称为共轭复数.（二）指在英语中与单数相对,两个及两个以上的可数名词. 例如book, books door, doors tomato, tomatoes photo, photos phenomenon, phenomena

1、我们把形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 2、复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 3、概述：在复变函数中，自变量z可以写成 ，r是z的模，即r = |z|；θ是z的辐角，记作 Arg(z)。在区间 [-π, π] 内的辐角称为辐角主值，记作 arg(z)（小写的A）。 4、释义：任意一个不为零的复数 的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍。把适合于 -π≤θ<π 的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作arg (z)。辐角的主值是唯一的。

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简单点就是实数+虚数，公式为a+bi,a是实数，bi代表虚数(例如根号-7无法运算，所以就找虚数符号i来帮忙，写成负根号7乘i)，当a=0，b≠0时，a+bi为纯虚数；当a≠0，b≠0时，a+bi为虚数；当a≠0，b=0时，a+bi为实数。

1、知识结构 本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件, 接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念． 2、重点、难点分析 （1）正确复数的实部与虚部 对于复数 ,实部是 ,虚部是 ．注意在说复数 时,一定有 ,否则, 不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数. 说明：对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念, 这对于解有关复数的问题将有很大的帮助. （2）正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系 分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一.根据上述原则, 复数集的分类如下： 注意分清复数分类中的界限： ①设 ,则 为实数 ② 为虚数 ③ 且 . ④ 为纯虚数 且 （3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意： ①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数,即 （4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意： ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说, 复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的． ②复数 用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ), 也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 ．由于 =0＋1· , 所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1, 等于纵轴上的单位长度．这就是说, 当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的 距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度． ③当 时,对任何 ,是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时, 是实数．所以,纵轴去掉原点后称为虚轴． 由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面) 的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、 纵坐标轴的公共点． ④复数z=a＋bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z, 书写时大写．要学生注意． （5）关于共轭复数的概念 设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数 （不能认为 与 或 是共轭复数）． 教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称, 例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时,与 互为共轭虚数．可见, 共轭虚数是共轭复数的特殊情行． （6）复数能否比较大小 教材最后指出：“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”, 要注意： ①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立, 那么 ．两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系, 而不能比较它们的大小． ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指： “不论怎样定义两个复数间的一个关系‘

在数学中，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。 复数包含虚数，所以所有的虚数都是复数。虚数没有正负可言，不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。复数集包含了实数集，因而是复数是实数的扩张。

后面的j是虚数单位

1、我们把形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 2、复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

加s或十es 但还是要在要的时候加es

　　“复数”、“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1572年,意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词.此后,德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系,除解方程以外,还把它用于微积分等方面,得出很多有价值的结果,使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理.大约在1777年,欧拉第一次用i来表示-1的平方根,1832年,德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入复数概念,一个复数可以用a＋bi来表示,其中a,b是实数,i代表虚数单位,这样就把虚数与实数统一起来了.高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来,给出了复数的一种几何解释.不久,人们又将复数与平面向量联系起来,并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用,然后,又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论,这是一个崭新而强有力的数学分支,所以我们应该深刻认识到了“虚数不虚”的道理. 　　16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650）,他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来. 　　数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i,而使用=一1）.法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视. 　　德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a＋bi.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组（a,b）代表复数a＋bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了. 　　经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集.

实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数和开根开不尽的数，有理数就包括整数,分数,0.数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母R或R^n表示。而R^n表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a②a为0时，|a|=0③a为负数时，|a|=-a③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a（a≠0）

问题一：什么事复数，什么时候学习？ 复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。另外，复数还指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。虚数复数高二就能接触到 问题二：复数部分是什么时候学的知识？ 如果是人教版的书，那你应该是在高二丹的。但现在全国的教材有好几种，有的可能不一样，但从学习的次序来说，都应该是高二学的。 问题三：高中必修几学复数？在哪一节？高中数学必修几学复数？在哪一节 1、复数在选修选材2-2中 2、选修2-2的各章内容如下： 第一章 导数及其应用 第二章 推理与证明 第三章 数系的扩充与复数的引入 3、第一章 主要介绍了导数的概念、导数在研究函数中的作用，微积分基本定理等内容 第二章 主要介绍了 合情推理与演绎推理及各种证明方法：如分析法、综合法、反证法、数学归纳法 第三章 主要介绍了复数的概念与运算 问题四：名词的复数变化规则是在几年级学的 名词复数的规则变化 ___________________________________________________ 情况 构成方法 读音 例词__________________________________________________一般情况 加 -s 1.清辅音后读/s/; map-maps 2.浊辅音和元音后 bag-bags 读 /z/; car-cars___________________________________________________ 以s,sh,ch,x等结尾的词 加 -es 读 /iz/ bus-buses watch-watches___________________________________________________以ce,se,ze,(d)ge等结尾的词 加 -s 读 /iz/ license-licenses___________________________________________________以辅音字母+y 变y 为i结尾的词 再加es 读 /z/ baby---babies___________________________________________________ 其它名词复数的规则变化 1) 以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数： 如： two Marys the Henrys monkey---monkeys holiday---holidays 比较： 层楼：storey ---storeys story---stories 2) 以o 结尾的名词，变复数时： a. 加s，如： photo---photos piano---pianos radio---radios zoo---zoos； b. 加es，如：potato--potatoes tomato--tomatoes c. 均可，如：zero---zeros / zeroes 3) 以f或fe 结尾的名词变复数时： a. 加s，如： belief---beliefs roof---roofs safe---safes gulf---gulfs； b. 去f,fe 加ves，如：half---halves knife---knives leaf---leaves wolf---wolves wife---wives life---lives thief---thieves； c. 均可,如： handkerchief: handkerchiefs / handkerchieves 名词复数的不规则变化 1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women 注意：与 man 和 woman构成的合成词，其复数形式也是 -men 和-women。 如： an Englishman，two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。2）单复同形 如： deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin 但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如:a do......>>

复数集: 用a+bi表示复数 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集 当a=0,b≠0时,表示纯虚数 当b=0时表示实数 当b≠0时表示虚数

实部与虚部是数学名词“复数”中的一个概念，把形如z=a+bi（a，b均为实版数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。扩展资料复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的"和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示。

笨蛋

复数　　图1[编辑本段]定义　　我们将形如：Z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，并规定i^2=i*i=-1.x与y是任意实数，依次成为z的实部（realpart)与虚部（imaginarypart),分别表示为Rz=x,Imz=y.易知：当y=0时，z=x+iy=x+0,我们就认为它是实数；当x=0时z=x+iy=0+iy我们就认为它是纯虚数。设Z1=x+iy是一个复数，称Z2=x-iy为Z1的共轭复数。　　复数的四则运算规定为：　　（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，　　（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，　　（a＋bi）u2022（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，　　（c与d不同时为零）　　（a＋bi）÷（c＋di）＝[(ac+bd)/(c^2+d^2)]＋[(bc－ad)/(c^2+d^2)]i，　　（c+di）不等于0　　复数有多种表示形式，常用形式z＝a＋bi叫做代数式。　　此外有下列形式。　　①几何形式。复数z＝a＋bi用直角坐标平面上点Z（a，b）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。　　②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。　　③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式　　z＝r（cosθ＋sinθi）　　式中r=sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。　　④指数形式。将复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)　　复数三角形式的运算：　　设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]　　z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。　　复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。[编辑本段]分类　　复数(a+bi)　　实数(b=0)　　有理数　　正数　　正整数　　正分数　　0　　负数　　负整数　　负分数　　无理数　　正无理数　　负无理数　　虚数(b不等于0)　　纯虚数(a=0)　　混虚数(a不等于0)

复数是一个与单数相对的概念，指的是两个或两个以上的可数名词，用于标示多于一个的物件，在有双数概念的语言中则表示多于两个的名词数量。在英语里，多数的名词都有众数，而另一部份的语言则缺乏，即可数名词有复数，不可数名词没有复数。例如：egg是可数名词，表示一个鸡蛋；若为eggs，表示多个鸡蛋。扩展资料在英语中，名词都有单复数的变化。单数表示“一”，复数表示“多于一”的概念。也就是通过一个单词，以（an）apple 出现，你就知道一定是一个，而apples出现，一定是多余一个，都不需要别人告诉你是几个。名词的复数一般都是在名词后面加s，以发咝擦音的ch，sh，ge，z，s结尾时，要加es，以辅音字母加y结尾的名词，则要把y去i再加上es。还有一些不规则的词，比如police，看上去是单数，但是却会以复数对待，认为police是一个整体。他们叫集体名词。在一般现在时中，单数的名词就意味着动词也要变化成单数的形式。这就是所谓的“三单”。

复数的解释①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

1、把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 2、复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数的解释 ①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

复数是形如 a ＋ b i的数.式中a,b 为 实数,i是一个满足i^2 ＝－1的数,因为任何实数的平方不等于－1,所以i不是实数,而是实数以外的新的数. 在复数a＋bi中,a称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数.由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张. 复数有多种表示形式,常用形式 z ＝ a ＋ b i叫做代数式.此外有下列形式. ①几何形式.复数 z ＝ a ＋ b i 用直角坐标平面上点 Z （ a ,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数 z ＝ a ＋ b i用一个以原点 O 为起点,点 Z （ a ,b ）为终点的向量 O Z 表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释. ③三角形式.复数 z＝ a ＋ b i化为三角形式 z ＝｜ z ｜（cos θ ＋isin θ ） 式中｜ z ｜= ,叫做复数的模（或绝对值）； θ 是以 x 轴为始边；向量 O Z 为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算. ④指数形式.将复数的三角形式 z ＝｜ z ｜(cos θ ＋isin θ ）中的cos θ ＋isin θ 换为 e i q ,复数就表为指数形式 z ＝｜ z ｜ e i q ,复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行. 复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元 n 次复系数方程总有 n 个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序.

复数的基本概念如下：复数也称为众数，指的是语言中与单数相对，两个及两个以上的可数名词，即能被2整除的数字。在有双数概念的语言中表示多于两个的名词数量，在没有双数概念的语言中用于标示多于一个的物件，在语言学中是词素的其中一种。在许多的语言里，多数的名词都有众数，而另一部份的语言则缺乏，或通常不使用众数，如汉语、日语、越南语等。有些语言透过外部屈折将名词变为众数，如英语；有些语言则同时透过外部屈折和内部屈折将名词转为众数，如德语、俄语、阿拉伯语；而另有一部份的语言则以黏着词尾来表达复数，如维吾尔语、土耳其语、藏语、匈牙利语等；另有一部分语言以孤立的词素来标明，如汉语、越南语、日语，虽然一般而言汉语和越南语的名词不做单复数之分。英语复数相关后缀：1、-s是最常见的名词复数后缀，比如：computer—computers。某些以-s结尾的名词却并不是某个单数形式的变形，而是一个独立的形式，如：news，shorts，summons，billards，works，trousers。其中动词可能是单数也可能是复数，视词的具体情况而定。2、某些名词复数由-es构成，比如box—boxes。与-s类似，某些以-s结尾的名词却并不是某个单数形式的变形，而是一个独立的形式，如clothes。3、某些以-um或者-on结尾的词的复数以-a结尾。值得一提的是data在词源上是datum的复数，但可以独立使用。4、某些以-us或者-e或者-o结尾的词的复数以-i结尾。5、某些名词复数以-en结尾，如ox—oxen。docken其实开始是dock的复数，但已不作为复数使用。

复数：把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数发展历史：经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数有什么用：复数是平面上点和另一平面上的点的一个变换，复数能表示平移，旋转，镜射，伸缩，在几何和图形处理上有极为重要的应用。磁波信号就是通过傅里叶和逆变换实现，它们就是一对的复变函数。当今的量子力学的最基本方程，薜定谔方程是由复数来建立。量子力学的理论是基于复变量的希尔伯特空间实现的。流体力学的涡流问题就是复数的奇点理论。电工学的交流电用复数表示比用三角函数表示要方便。就拿中学数学里一个最基本的问题，二次曲线的顶点极点个数，也是要用复数中的共形变换实现。复数主要用于一些科学上的计算，最主要应用还是在数学理论上。使用的很多东西无不和复数的计算有关，比如一个小小的收音机，其中的电路设计，计算电容电感等在电路中的效力，不使用复数可以说甚至寸步难行。

形如z=a+bi的数称为复数，这里a和b是实数，i是虚数单位。由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。 扩展资料 　　1、复数的.运算 　　1、加减法：实部与实部相加减;虚部与虚部相加减。 　　2、乘法：(a+ib)*(c+id)=ac+iad+ibc-bd=ac-bd+i(ad+bc) 　　3、除法：先把分母化为实数，方法是比如分母为a+ib，就乘上它的共轭复数a-ib(同时分子也要乘上(a-ib)分母最后化为a+b分子就变成乘法了设z=a+ib则z的共轭为a-ib(a+ib)(a-ib)=a+b|z|=根号a+b共轭就是复数的虚部系数符号取反。 　　4、以z1,z2为例：z1=x1+iy1，z2=x2+iy2；z1+z2=x1+x2+iy（1+2)，z1-z2=x1-x2-iy（1-2) z1*z2=x1x2+x1iy2+iy1x2-y1y2，以及，复数运算当中一些结论。 　　5、|z|是z的模长=√a+b

题库内容：复数的解释①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数。其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。扩展资料加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

复数：形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。最早有关负数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家希罗，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。16世纪意大利数学家（请参看塔塔利亚和卡尔达诺）得出一元三次和四次方程的根的表达式，并发现即使只考虑实数根，仍不可避免面对负数方根。17世纪笛卡尔称负数方根为虚数，“子虚乌有的数”，表达对此的无奈和不忿。18世纪初棣莫弗及欧拉大力推动复数的接受。扩展资料：复数应用-系统分析在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点位于右半平面，则因果系统不稳定； 都位于左半平面，则因果系统稳定； 位于虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

复数的解释①某些语言中由词的形态变化等表示的属于两个或两个以上的数量。例如 英语 里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书。 ②形如a+bi的数叫做复数。其中a，b是实数，i＝，是虚数单位。a叫做复数的实部，bi叫做复数的虚部。如1-3i，5i都是复数。 词语分解 复的解释 复 （①复④复⑤复） ù 回去 ，返： 反复 。往复。 回答， 回报 ：复命。复信。复仇。 还原，使如前：复旧。复婚。复职。光复。 复辟 。 再，重来：复习。复诊。复审。复现。复议。 许多 的， 不是 单一 的：重（峦 ） 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

复数源自拉丁语“complexis”，意思是“遍及，包含”。在数学中，复数是由实数和虚数组成的扩展数学概念，可以用来描述平面上的向量、波动等现象。 在数学中，虚数是不能表示实际物理量的数，计算时一般用 i表示，其中 i^2=-1。当一些数既包括实数又包括虚数时，就可以写成 a+bi 的形式，其中 a 是实部，b是虚部。这种表示方法就叫做复数。复数最早的整体概念可以追溯到16世纪中期，当时意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺将其命名为“虚数”，并通过与实数结合来解决实际问题。当时，这种数学概念并未得到广泛的应用，直到18世纪著名的数学家欧拉开始使用复数解决物理和工程学的问题，复数才逐渐被广泛接受和应用。 复数充分利用了虚数的概念，对许多数学问题进行了深入的研究和探索，其应用也涉及到电工、机械学、量子力学等很多领域。

复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数有什么用：复数是平面上点和另一平面上的点的一个变换，复数能表示平移，旋转，镜射，伸缩，在几何和图形处理上有极为重要的应用。磁波信号就是通过傅里叶和逆变换实现，它们就是一对的复变函数。当今的量子力学的最基本方程，薜定谔方程是由复数来建立。量子力学的理论是基于复变量的希尔伯特空间实现的。流体力学的涡流问题就是复数的奇点理论。电工学的交流电用复数表示比用三角函数表示要方便。就拿中学数学里一个最基本的问题，二次曲线的顶点极点个数，也是要用复数中的共形变换实现。复数主要用于一些科学上的计算，最主要应用还是在数学理论上。使用的很多东西无不和复数的计算有关，比如一个小小的收音机，其中的电路设计，计算电容电感等在电路中的效力，不使用复数可以说甚至寸步难行。

复数是实数的更广的一个范围，比如x^2=-1，在实数范围就没有解，这时候就要到复数范围去求解。我们规定i^2=-1，所以就有了复数。

简单分析一下，答案如图所示

我们把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

复数集就是所有实数和虚数组成的集合，符号为C。形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）。复数由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，后来这个概念逐渐为数学家所接受。数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。复数的构成：定义：形如z=a+bi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)。我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部(real part)记作Rez=a。实数b称为虚数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b。易知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数。当a=0且b≠0时 ，z=bi，我们就将其称为纯虚数。定义： 对于复数z=a+bi，称复数z‘=a-bi为z的共轭复数。定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣，即对于复数z=a+bi，它的模∣z∣=√(a^2+b^2)。复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集。复数集是无序集，不能建立大小顺序。

根据定义，若 (a，b∈R），则 =a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、乔治·皮库克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数 。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组 代表复数 ，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

如果是英语当中的复数，就是可数名词大于等于2的数量，叫做复数比如abook一本书twobooks两本书这里的books就是复数变为复数的规律一般情况下加s,特殊情况下加es，加es的规律如下一，以s，sh，ch，x，o结尾的加es二，辅音字母加y结尾的，y变i加es三，f或fe结尾的，f或者fe变成ves不规则的复数变化有：manwomanchildmouselousegoosefoottoothChineseJapanesedeersheep祝你进步