数学归纳法

归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。拓展资料归纳法原理：最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：证明当n= 1时命题成立。假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。参考资料百度百科 数学归纳法

简单的说就是首先证明命题在最开始（x=1）时成立。2.然后证明如果前一项成立，那么后一项也成立。举个简单的列子，证明1/n<1(n>1).很明显，第一项n=2时，上式成立；当1/n<1时，1/(n+1)<1/n<1,所以证得，当第n项成立时，第n+1项也成立；则命题得证。这就好像多米诺骨牌，我们只需要两个条件就可以让骨牌全部倒下第一个骨牌倒下当前一个骨牌倒下时，一定能把它的下一个骨牌推倒。

1、(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；2、(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。扩展资料1、归纳可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是前提包含该类对象的全体，从而对该类对象作出一般性结论的方法。2、归纳和演绎反映了人们认识事物两条方向相反的思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动。3、归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程。在进行归纳和概括的时候，解释者不单纯运用归纳推理，同时也运用演绎法。

数学归纳法的过程分为两部分：（1）先证明n=1时命题成立，在实际操作中，把n=1代进去就行了，就像要你证明“当n+1时1+n=2成立”（2）假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立你可以这样理解：第一部分证明n=1成立。绝大部分命题，n取任意非零自然数都成立，既然这样，先证最基本的n=1吧。第二部分，既然当n=k成立时，n=k+1成立，那么，n=1已经证明成立了，n=1+1，也就是n=2时也会成立。n=2成立，按照惯例n=2+1，也就是n=3成立。按照惯例，n=3+1，n=4+1……都会成立，所以所有的自然数都能使命题成立。你可以把第一部分当作一个坚实的基础，既然n取任意自然数成立（大部分命题是如此），那么n=1成立是理所当然的。第二部分是一个骨牌的过程，1证明2，2证明3，3证明4……证明所有非0自然数这是通俗易懂的答案，分一个吧

数学归纳法（MathematicalInduction,MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

数学归纳法常见方式有： 1、第一数学归纳法。确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 2、第二数学归纳法。数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 3、倒推归纳法。证明数列前n项和与通项公式的成立。 4、螺旋式归纳法。证明和自然数有关的不等式。

高中阶段常用的数学归纳法有三种种形式：（1）第一数学归纳法（常见，略）（2）第二数学归纳法，证明步骤是：①验证n=n0（n0∈N+）时命题P（n0）成立；②假设对于所有适合n0≤m≤k的自然数m，命题P（m）成立，能推出P（k+1）成立.根据以上两点，知对一切自然数n（n≥m），P（n）都成立.（3）反向归纳法（又称倒推归纳法）：设P（n）是一个含有自然数n的命题.若①P（n）对无限多个自然数n成立；②假设P（h+1）成立，可推出P（h）成立.则对一切自然数n，命题P（n）成立.

①n＝1时，结论成立②n＝k时，假设结论也成立利用n＝k时成立的结论，验证n＝k＋1时结论也成立得证，结论成立。

数学归纳法步骤：1、证明当n=1时命题成立。2、假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）。 步骤 1）当n=1时，显然成立。 2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立， 则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。 由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。 数学归纳法 数学归纳法就是一种证明方式。 通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化。归纳是在比较的基础上进行的。通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学分成不同的类。最终达到数学上的证明。

高中教材都有的,到书店去看就可以了

（1）理论根据是自然数的皮雅诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中有一条叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合M含有1，而且只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1，那么M就是正整数集本身。”　　现设P(n)是一个与正整数n有关的命题，用M表示使P(n)成立的正整数的集合。由数学归纳法的第一个步骤，可知命题P(1)成立，所以M含有1。再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n＝k时命题P(k)成立后，可以推出n＝k＋1时命题P(k+1)也成立；换句话说，只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1。因此，根据归纳公理，M就是正整数集本身，即命题P(n)对于所有正整数都成立。　　（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可。　　（3）根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1。也可能是2，3等（有时还可能取n＝0或-1等）。例如教科书第120页上的例3，第一步应取n＝2。又如证明凸n边形有n(n-3)/2条对角线时，第一步应取n＝3。要切实理解命题P(n)中的正整数n在各种实际问题中代表什么。　　（4）在完成第二个步骤时，要运用命题P(k)成立这一归纳假定，去推导命题P(k+1)也成立。不能离开P(k)成立这一条件，用其他方法导出P(k+1)成立的结果，因为这样就看不出P(k)成立到P(k+1)成立这一递推关系了。

一）第一数学归纳法： 　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： 　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； 　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 　　（二）第二数学归纳法： 　　对于某个与自然数有关的命题P(n）， 　　（1）验证n=n0时P(n）成立； 　　（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 　　（三）倒推归纳法（反向归纳法）： 　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）； 　　（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立； 　　（四）螺旋式归纳法 　　对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n）， 　　（1）验证n=n0时P(n）成立； 　　（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。编辑本段应用　　（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 　　（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 　　（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。 　　（4）证明和自然数有关的不等式。

1、(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；2、(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。扩展资料数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证n取第一个自然数时成立第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。最后一步总结表述，需要强调是数学归纳法的两步都很重要。

数学归纳法：数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。理论依据：（1）理论根据是自然数的皮雅诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中有一条叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合m含有1，而且只要m含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1，那么m就是正整数集本身。”　　现设p(n)是一个与正整数n有关的命题，用m表示使p(n)成立的正整数的集合。由数学归纳法的第一个步骤，可知命题p(1)成立，所以m含有1。再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n＝k时命题p(k)成立后，可以推出n＝k＋1时命题p(k+1)也成立；换句话说，只要m含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1。因此，根据归纳公理，m就是正整数集本身，即命题p(n)对于所有正整数都成立。　　（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可。　　（3）根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1。也可能是2，3等（有时还可能取n＝0或-1等）。例如教科书第120页上的例3，第一步应取n＝2。又如证明凸n边形有条对角线时，第一步应取n＝3。要切实理解命题p(n)中的正整数n在各种实际问题中代表什么。　　（4）在完成第二个步骤时，要运用命题p(k)成立这一归纳假定，去推导命题p(k+1)也成立。不能离开p(k)成立这一条件，用其他方法导出p(k+1)成立的结果，因为这样就看不出p(k)成立到p(k+1)成立这一递推关系了。

在中学数学教材和高考园地里，使用的数学归纳法一般都是以下列形式出现的： “1对”；假设“n对”，那么“n+1也对”． 应该指出，上述形式是数学归纳法的基本形式，但不是唯一的形式．第二数学归纳法可以概括为 详细地说，它分为以下三步： (1)奠基：证明n=1时命题成立； (2)归纳假设：设n≤k时命题成立；(区别在此步) (3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立． 显然，第二数学归纳法与数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设．

我和你简单的讲一下吧，如果说一个关于自然数n的命题，当n＝1时成立（这一点我们可以代入检验即可），我们就可以假设n=k（k>=1)时命题也成立，为什么可以做出这步假设呢？因为我们在前面已经证明了n=1时命题成立。在进一步，如果能证明n＝k＋1时命题也成立的话（这一步通常使用第二步的假设证明的），由n＝1命题成立，可推知n＝2命题成立，继而又可推出n＝3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n>＝1的自然数都成立。一般书写的格式为：1：n＝1时，……，命题成立。2：假设n＝k（k>=1)时命题成立，即：……3：n＝k＋1时，……，所以n＝k＋1时命题成立。由1，2，3知n>=1时命题成立。证毕

让你能站在更高的地方俯瞰题目。

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。名字带上归纳的原因是因为它跟归纳法的思考方法很像。所谓归纳法或称归纳推理(Inductive reasoning)，是在认识事物过程中所使用的思维方法。有时叫做归纳逻辑是指人们以一系列经验事物或知识素材为依据，寻找出其服从的基本规律或共同规律，并假设同类事物中的其他事物也服从这些规律，从而将这些规律作为预测同类事物的其他事物的基本原理的一种认知方法。它基于对特殊的代表(token)的有限观察，把性质或关系归结到类型；或基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察，公式表达规律。然而，数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。

用数学归纳法进行证明的步骤： （1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立； （2）（归纳递推）假设 时命题成立,证明当 时命题也成立；证明了第二步,就获得了递推的依据,但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起,才能获得普遍性的结论； （3）下结论：命题对从 开始的所有正整数 都成立. 注：（1）用数学归纳法进行证明时,“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可； （2）在第二步中,在递推之前, 时结论是否成立是不确定的,因此用假设二字,这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步,联系第一步的结论（命题对 成立）,就可以知道命题对 也成立,进而再由第二步可知 即 也成立,…,这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中, 时命题成立,可以作为条件加以运用,而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明,不能直接将 代入命题.

用数学归纳法证明：2^n+2>n^2 1,n=1,显然成立 2,设当 N=k 时 成立,即有 2^k+2>k^2. 3. 2^k+2>k^2 2*2^k+4>2*k^2 2*2^k+2>2*k^2-2 =k^2+k^2-2 > k^2 +2k+1 只需 k^2-2>2k+1 即 k^2+2k>3 ,显然成立 数学上证明与自然数n有关的命题的一种方法.必须包括两步：(1)验证当n取第一个自然数值n=n1(n1=1,2或其他常数)时,命题正确；(2)假设当n取某一自然数k时命题正确,以此推出当n=k+1时这个命题也正确.从而就可断定命题对于从n1开始的所有自然数都成立. 数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法. 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年).Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2. 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成,这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立. 递推的依据: 证明如果当n = m时成立,那么当n = m + 1时同样成立.(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设. 不要把整个第二步称为归纳假设.) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中.或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下. 只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒. 那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒. 数学归纳法的原理作为自然数公理,通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条).但是它可以用一些逻辑方法证明；比如,如果下面的公理： 自然数集是有序的被使用. 注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化.更确切地说,两个都是等价的. 用数学归纳法进行证明的步骤： （1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立； （2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；证明了第二步,就获得了递推的依据,但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起,才能获得普遍性的结论； （3）下结论：命题对从开始的所有正整数都成立. 注： （1）用数学归纳法进行证明时,“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可； （2）在第二步中,在递推之前, 时结论是否成立是不确定的,因此用假设二字,这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步,联系第一步的结论（命题对 成立）,就可以知道命题对 也成立,进而再由第二步可知 即 也成立,…,这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中, 时命题成立,可以作为条件加以运用,而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明,不能直接将 代入命题. 数学归纳法的第二种形式 数学归纳法是一种重要的论证方法.它们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言,本文想从最小数原理出发,对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨,旨在加深对数学归纳法的认识. 第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题,如果： （1）当n＝1回时,命题成立； （2）假设当n≤k时命题成立,则当n＝k+1时,命题也成立. 那么,命题对于一切自然数n来说都成立. 证明：用反证法证明. 假设命题不是对一切自然数都成立.命N表示使命题不成立的自然数所成的集合,显然N非空,于是,由最小数原理N中必有最小数m,那么m≠1,否则将与（1）矛盾.所以m－1是一个自然数.但m是N中的最小数,所以m－1能使命题成立.这就是说,命题对于一切≤m－1自然数都成立,根据（2）可知,m也能使命题成立,这与m是使命题不成立的自然数集N中的最小数矛盾.因此定理获证. 当然,定理2中的（1）,也可以换成n等于某一整数k. 对于证明过程的第一个步骤即n＝1（或某个整数a）的情形无需多说,只需要用n＝1（或某个整数a）直接验证一下,即可断定欲证之命题的真伪.所以关键在于第二个步骤,即由n≤k到n＝k＋1的验证过程.事实上,我们不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现,证明等式在n＝k＋1时成立是利用了假设条件；等式在n＝k及n＝k－1时均需成立.同样地,例2也不例外,只是形式的把n＝k及n＝k－1分别代换成了n＝k－1和n＝k－2.然而例3就不同了,第二个步骤的论证过程,是把论证命题在n＝k＋1时的成立问题转化为验证命题在n＝k－2＋1时的成立问题.换言之,使命题在n＝k＋1成立的必要条件是命题在n＝k－2＋1时成立,根据1的取值范围,而命题在n＝k－k＋1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立.这个条件不是别的,正是第二个步骤中的归纳假设.以上分析表明,假如论证命在n＝k＋1时的真伪时,必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据,则一般选用第二数学归纳法进行论证.之所以这样,其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强,不仅要求命题在n－k时成立,而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立,反过来,能用第一数学归纳法来论证的数学命题,一定也能用第二数学归纳进行证明,这一点是不难理解的.不过一般说来,没有任何必要这样做. 第二数学归纳法和第一数学归纳法一样,也是数学归纳法的一种表达形式,而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的,之所以采用不同的表达形式,旨在更便于我们应用.

一、相同点：第一数学归纳法和第二数学归纳法是等价的。二、不同点1、形式上的区别第一数学归纳法：初始验证只要验证n=1（或n=0)时结论成立；通式假定只要假定n=k时结论也成立；渐进递推在前两条基础上，推导n=k+1时结论也成立。第二数学归纳法：初始验证要验证n=1,2,3,……,m时，结论成立；通式假定要假定n=k+1,k+2,k+3,……,k+m时，结论也成立；渐进递推在前两条基础上，推导n=k+m+1时，结论也成立。2、使用方法不同第一数学归纳法：第一归纳法是第二归纳法的特殊形式。凡是能用第一归纳法的，都可以使用第二归纳法。第二数学归纳法：第二归纳法可以证明的，第一归纳法并不一定能证明。3、证明过程不同如果采用第二数学归纳法，假设n<=k成立，证n=k+1成立，可以利用n=1,2,......,k；如果只假设n=k，那就只能利用n=k。参考资料来源：百度百科--第一数学归纳法参考资料来源：百度百科--第二数学归纳法

数学归纳法帕斯卡是数学归纳法的主要发明人数学归纳法〔Mathematical Induction〕是用来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法.它的步骤是： 验证n=1时命题成立〔这叫归纳的基础,或递推的基础〕； 假设n=k时命题成立〔这叫归纳假设,或叫递推的根据〕,在这假设下证明n=k+1时命题成立. 根据1、2可以断定命题对一切自然数都成立. 数学归纳法的思想可以远推至欧几里得〔前330-前275〕.严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的.1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯〔1494-1575〕在他的《算术》一书中明确提出了这一方法,并且用它证了 1+3+……+(2n+1)=(n+1)2 等；法国著名数学家帕斯卡〔1623-1662〕承认莫洛克斯引用了这方法,并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法. 因此,一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人.由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号,因此组合公式及证明只能用叙述的方法,1686年J?伯努利首先采用了表示任意自然数的符号,在他的名著《猜度术》〔1713〕中包含运用数学归纳法证题的出色例子.『数学归纳法』这个名称及数学归纳法的证题形式是德?摩根〔1806-1871〕所提出的.皮亚诺〔1858-1932〕的自然数公理中包含了归纳原理.

数学归纳法的原理是自然数公理。数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。数学归纳法属于完全严谨的演绎推理法，除了自然数以外，广义上也可用于证明一般良基结构，可应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法，例如：集合论中的树。数学归纳法解题最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明为：证明当n=1时命题成立。假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立看的多米诺骨牌。如果你可以：证明第一张骨牌会倒。证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

归纳法好像不好证明整出问题，我觉得用反证法好些。

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法 。在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

推多米诺骨牌（砖头）原理

因为 1/a - 1/b = (b-a)/(ab) 所以 1/(ab)= (1/a - 1/b)/(b-a) = (1/a - 1/b)*(1/(b-a)) a=n,b=n+1时: 1/(n(n+1))= 1/n - 1/(n+1) a=2n-1,b=2n+1时: 1/[(2n-1)(2n+1)] = 1/2 * [1/(2n-1) - 1/(2n+1)] 1/[n(n+1)(n+2)]可以拆成 X/[n(n+1)] - Y/[(n+1)(n+2)] 用待定系数法算出 X=Y=0.5 如果是为了数列求和就不用再拆了,因为A[n]减去的正好是A[n+1]加的. 要拆的话 1/[n(n+1)(n+2)]=0.5*{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}=0.5[1/n-1/(n+1)-1/(n+1)+1/(n+2)]=0.5[1/n -2/(n+1) +1/(n+2)]

摘自百度作业帮数学归纳法只能证明与自然数有关的数学命题,且该数学命题中所讨论的对象必须属于Cantor集,而Cantor集具备三条基本的特征——确定性、互异性和无序性．由数学归纳法的适用范围知道数学归纳法是不适合上述命题的．总之,数学归纳法适用于证明那些与自然数有关的数学命题,且该命题中所讨论的对象必须满足通常意义上的集合(Cantor集)所具备的三个特征——确定性、互异性和无序性．在适用范围内,数学归纳法的实质就在于将一个无法穷尽验证或很难穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题：“P(1)真”和“若P(k)真,则P(k+1)真”.从而达到证明的目的对于模糊集合 非自然数 都不适用

第一数学归纳法：如果：（1）命题对于n=1时成立；（2）若命题对于n=i成立，则对于n=i+1也成立那么，结论对于所有的自然数（非零）都成立。第二数学归纳法：如果：（1）命题对于n=1时成立；（2）若命题对于n≤i成立，则对于n=i+1也成立那么，结论对于所有的自然数（非零）都成立。

有条件An+An-1=An+1。用第二数学归纳法。当n为1，成立，假设n<=k成立，则……(把K和k-1代入通项)。当n=k+1时，把前两个加起来。发现等于把k+1代入的结果。得证。

数学归纳法实际上可以认为n<=k时均成立，再证明n=k+1的情况。这种方法叫第二数学归纳法，也叫强归纳法，参见百度百科：第二数学归纳法。但这道题须注意：因为只证明了n=1时成立，当n=2时需要用到D[n-2]=D[0]是没有证明的，这时必须单独证明D[2]也成立，当n>=3时就可以沿用上面的归纳证明了。关于上面这个注意事项，下面有一个有趣的例子：命题：任意有限只鸟都是同一种。证明：即证明任意n只鸟都是同一种。当只有一只鸟，即n=1时，命题显然成立。假设当n=k时成立，则当n=k+1时，即向k只鸟中加入一只鸟时，从原来的k只鸟中取出k-1只与新加入的鸟放到一起组成k只鸟，则根据归纳假设，这k只鸟是同一种，而取出的k-1只鸟与未取出的那只鸟也是同一种（即归纳假设：这k只鸟是同一种），所以这k+1只鸟都是同一种。所以，根据数学归纳法，任意有限只鸟都是同一种。证毕。这个命题显然是荒谬的。上面的证明的错误之处在于，当n=k+1=2时，即k=1时，k-1=0，这0只鸟不能用来传递证明原来的鸟与新加入的鸟是同一种。所以，归纳法中出现k-1之类的形式时，一定要注意验证初始情况。

厉害啊

数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题。一般的，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时，命题成立。（2）归纳递推：假设当n=k（k>=n0)时，命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。例如证明：1+2+3+....+n=(1/2)n(n+1)证：（1）当n=1时，左边=1，右边=0.5*1*2=1=左边，等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即1+2+3+....+k=(1/2)k(k+1),那么1+2+3+...+k+(k+1)=(1/2)k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(1/2)*(k+1)[(k+1)+1]即当n=k+1时，等号也成立，所以原命题成立。分析：第一步骤证明第一个成立，为后面的递推作奠基。第二步的思想是假如前一个成立，后一个就成立。和第一步骤一起，我们可依次得出：第二项成立，再根据第二步骤，第三项也成立,...依次类推，最后全部都成立。学习数学归纳法时要注意体会理解这种思想，而不是死记硬背的套步骤。

双重归纳法设:p(m.n)是一个含有两上独立自然数m.n 的命题（1）p（1.n） 与 p（m.1）对任意自然数 m n成立；　　（2）若由p（m+1.n） 和p（m.n+1） 成立，能推出p（m+1.n+1） 成立；　　根据（1）、（2）可断定， p（m.n）对一切自然数 m..n均成立．m，n属于N*，求证方程X1+X2+......Xm=n的非负整数解的组数为(（n+m-1）阶乘)/(n阶乘（m-1）阶乘)

大一的题啊，真勤学！

归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。拓展资料归纳法原理：最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：证明当n= 1时命题成立。假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。参考资料百度百科 数学归纳法

数学归纳法就是一种证明方式。通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化。归纳是在比较的基础上进行的。通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学分成不同的类。最终达到数学上的证明。扩展资料：数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）；比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1。下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S，所以k>1）k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。参考资料来源：百度百科-数学归纳法

数学归纳法的原理是自然数公理。数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。数学归纳法属于完全严谨的演绎推理法，除了自然数以外，广义上也可用于证明一般良基结构，可应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法，例如：集合论中的树。数学归纳法解题最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明为：证明当n=1时命题成立。假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立看的多米诺骨牌。如果你可以：证明第一张骨牌会倒。证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

数学归纳法的三个步骤是：1、证明当n=1时命题成立;2、证明当n=m时命题成立;3、证明当n=m+1时命题成立。 数学归纳法三个步骤 数学归纳法的三个步骤是：1、证明当n=1时命题成立;2、证明当n=m时命题成立;3、证明当n=m+1时命题成立。这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。 归纳可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是前提包含该类对象的全体，从而对该类对象作出一般性结论的方法。 归纳和演绎反映了人们认识事物两条方向相反的思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动。 归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程。在进行归纳和概括的时候，解释者不单纯运用归纳推理，同时也运用演绎法。 数学归纳法什么意思 数学归纳法就是一种证明方式。 通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化。归纳是在比较的基础上进行的。通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学分成不同的类。最终达到数学上的证明。

数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并不是不严谨的归纳推理法，它是属于完全严谨的演绎推理法。就是找规律的时候没有准确的证明就推理出来的

散—>合

数学归纳法的过程分为两部分：（1）先证明n=1时命题成立，在实际操作中，把n=1代进去就行了，就像要你证明“当n+1时1+n=2成立”（2）假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立你可以这样理解：第一部分证明n=1成立。绝大部分命题，n取任意非零自然数都成立，既然这样，先证最基本的n=1吧。第二部分，既然当n=k成立时，n=k+1成立，那么，n=1已经证明成立了，n=1+1，也就是n=2时也会成立。n=2成立，按照惯例n=2+1，也就是n=3成立。按照惯例，n=3+1，n=4+1……都会成立，所以所有的自然数都能使命题成立。你可以把第一部分当作一个坚实的基础，既然n取任意自然数成立（大部分命题是如此），那么n=1成立是理所当然的。第二部分是一个骨牌的过程，1证明2，2证明3，3证明4……证明所有非0自然数。

　　数学归纳法常见方式有： 　　1、第一数学归纳法。确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 　　2、第二数学归纳法。数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 　　3、倒推归纳法。证明数列前n项和与通项公式的成立。 　　4、螺旋式归纳法。证明和自然数有关的不等式。

1、(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；2、(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。扩展资料没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．在n＝k到n＝k＋1的证明过程中寻找由n＝k到n＝k＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用。参考资料来源：百度百科-数学归纳法

第一，第二数学归纳法，是学习数学的方法。学习要有方法，才会不累

第一数学归纳法一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： 　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； 　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题P(n)， 　　（1）验证n=n0时P(n)成立； 　　（2）假设n0≤n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 　　倒推归纳法（反向归纳法）（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）； 　　（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立， 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立； 　　螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)， 　　（1）验证n=n0时P(n)成立； 　　（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。

(1)证明n=1时结论成立(2)假设n=k时结论成立，推出n=k+1时结论也成立。命题得证

1、当n=1时，显然成立。2、假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。3、由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。扩展资料：解题要点数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证n取第一个自然数时成立第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。最后一步总结表述。

先从1开始，证明满足条件；有时还要对2验证；之后，假设k成立，再用k推出k+1时的式子，判断正误总的说，数学归纳法是从简单到复杂，从具体到抽象的验证推理