怎样用在matlab中用 newton-cotes数值积分法

数值积分，用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。必要性：数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至无法有解析表达式。另外，当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时，牛顿-莱布尼兹公式不再适用，只能使用更广泛的格林公式或斯托克斯公式，以转化为较低维数上的积分，但只能用于少数情况。因此，只能使用数值积分计算函数的近似值。以上内容参考：百度百科·——数值积分

这个系统用数值积分法是因为它的算法难。根据微机网资料显示，高阶系统通常由一组微分方程描述，因为这些微分方程往往难以解析求解，所以需要使用数值方法进行求解。数值积分法是一种常用的数值方法，可以将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到数值解。数值积分法的基本思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间内用一些简单的数值方法来近似计算积分值。对于高阶系统，可以将微分方程转化为一组一阶微分方程，然后采用数值积分法来求解这组一阶微分方程。这样可以将高阶系统的求解问题转化为一组低阶系统的求解问题，从而简化了求解过程。

数值求积是一种近似求积方法，为了要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的列表函数f（x）准确成立，这就提出了代数精度的概念。★定理 如果某个对于次数小于等于m的多项式均能准确地成立，但对于m＋1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精确度。给定一组节点a≤x0<x1<x2<…<xn≤b，且已知函数f（x）在这些节点上的值，作插值多项式Ln（x），且Ln（x）的原函数容易求出，取地球物理数据处理基础作为I＝∫baf（x）dx的近似值，那么，根据插值余项式（6－28）可知，其积分余项地球物理数据处理基础依据式（7－3），对于次数小于等于n的多项式f（x），其余项R［f］等于0，因而这时的求积公式至少具有n次代数精确度。显然，使 精确成立的n愈大，求积公式就能对“尽可能多”的列表函数准确成立，求积公式的精度就应愈高，所以代数精确度的大小是反映求积公式精度好坏的一个重要的指标。在数值积分计算中，还应考虑另一个更重要的指标—数值稳定性，即数值积分的误差不随求积节点的变化而改变，则称其具有良好的数值稳定性。对于n＋1个观测数据点yi＝xi（i＝0，1，2，…，n），我们可以构造唯一一个n次的插值多项式Ln（x），是不是说构造的插值多项式的次数n越大就越好呢？显然不是，因为高阶的Lagrange插值的数据不稳定性（龙格现象）会完全带到相应的积分结果中，所以，高阶的插值求积公式是不稳定的，解决的办法之一就是下面要讨论的复化低阶求积方法。

u2003u2003对于许多实际问题的求解往往需要计算积分。在高等数学中计算积分采用的是著名的牛顿--莱布尼兹公式： 这里 是 的原函数。从理论上来说这个公式很完善，但是这个公式在实际应用中使用是很困难的。原因有3点： u2003u2003因此研究积分的数值计算方法是很有必要的。 定义1 u2003如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能准确地成立，但对于 次多项式就不能准确成立，则称该求积公式具有 次代数精度 定理1 u2003对给定的 个互异节点 ，总存在求积系数 使得机械求积公式至少具有 次代数精度 定理2 u2003机械求积公式至少具有 次代数精度的充要条件是它是插值型的。 （暂略） u2003u2003求积节点在 内等距分布式，插值型求积公式称为牛顿--柯特斯(Newton-Cotes)求积公式，下面给出具体形式： u2003u2003在 上取 个等距节点 ，其中 ，令 得到： 其中 称为 柯特斯系数 （可以通过查表获得） 柯特斯系数具有如下性质： 考虑二重积分 是曲面 与平面区域 围成的体积，对于矩形区域 可写成累次积分 同样可以使用复化梯形公式与复化辛普森公式求解

数学上，对于积分地球物理数据处理基础只要找到被积函数f（x）的原函数F（x），便可得到地球物理数据处理基础但在实际使用中，这种方法往往有困难，因为很多的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，例如 等。在地球物理的实际问题中，被积函数f（x）往往不清楚或者很复杂，只是通过观测、测量等获取了一些离散的值yi＝f（xi），即已知的f（x）是一个列表函数，无法求取其原函数。因此，这类问题就必须依靠数值积分解决。对于列表函数f（x）的积分I*＝∫baf（x）dx，当已知f（x）在区间［a，b］上n＋1个节点a＝x0<x1<x2<…<xn＝b的观测值f0，f1，f2，…，fn时，自然地想到用它们的插值多项式φ（x）的积分I＝∫baφ（x）dx来近似代替I*。其几何意义就是用［a，b］上插值曲线φ（x）与x轴所夹的面积代替f（x）曲线与x轴所夹的面积。利用不同的插值多项式的积分可导出不同的求积系数和求积公式，通常利用分段低阶的插值多项式求积应用最广，表7－1给出了不同数值积分方法的优缺点。复化辛卜生公式和复化梯形公式既简便易行、容易理解，又具有较高的精度，因此是地球物理计算中的主要的求积方法。高斯公式选点少精度高，是正演计算的求积方法。至于龙贝格算法，只要能加密节点，就可以达到最快的收敛速度，且每次提高二阶逼近的精度，是数值积分中很巧妙、很优秀的方法，但是由于地球物理测量的成本和周期限制观测点密度是有限的，因而无法发挥这种算法的优势。样条求积精度高，是地球物理计算中理想的求积方法。基于这些原因本章重点介绍复化梯形求积、复化辛卜生求积，至于样条求积，在第六章样条插值函数的基础上很容易实现。表7－1 不同求积公式对比表

积分是微积分中的重要概念，它可以用来描述曲线下的面积或者曲线的长度、体积等，因此在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。在积分的计算中，常用的方法有下面几种：1. 不定积分：不定积分是指不带上限和下限的积分，它是一个函数家族，表示原函数的所有可能性。对于一些简单的函数，如多项式、三角函数、指数函数和对数函数等，可以直接利用积分的基本公式进行计算。对于一些复杂的函数，如分式函数和三角函数的复合函数等，可能需要利用一些积分技巧，如部分分式分解、换元积分等。2. 定积分：定积分是指带上限和下限的积分，它表示在一定范围内曲线下的面积。定积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、积分的基本公式、换元积分法和分部积分法等。3. 数值积分：数值积分是指通过数值方法来求解积分的值。数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等。这些方法通常是将积分区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间内通过简单的数值计算来估算积分的值。4. 微积分基本定理：微积分基本定理是微积分中的重要定理之一，它将求导和积分联系了起来。根据微积分基本定理，如果函数f是可积的，则其不定积分F(x)的导数是f(x)，即F"(x)=f(x)。基于微积分基本定理，可以将一些复杂的积分问题转化为求导问题，然后再应用求导法来求解积分。总之，积分是微积分中的一个核心概念，具有广泛的应用价值。在实际的计算中，需要根据具体的情况选择合适的计算方法，如基本公式、数值方法、微积分基本定理等。熟练掌握积分的计算方法可以帮助我们更好地理解物理、工程、经济学等学科中的各种现象，从而提高学习和工作的效率。

数值积分可以计算不定积分。根据查询相关资料显示：数值积分，是用来求定积分的近似值的数值方法，即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。

求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了这个分支的理论基础。构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式(Rhomberg Integration)。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

计算机动画的本质上是解微分方程，因此本文主要介绍微分方程常用的一些解法。 首先从最简单的内容开始，也就是particle system。 上面是particle system的一个简单的案例，也就是一个弹簧+一个block，block在弹簧的作用下左右运动，其中弹簧不受力的情况下block所在的位置为原点，这里用q表示位置，那么上述状态可以用q=0来表示，定义向左为负，向右为正，相应的速度与加速度也可以基于下面的公式得到：动能kinetic energy 与势能potential energy 则由如下的公式进行表示：其中m与k分别表示block的质量与弹簧的弹性系数，而弹簧的弹力可通过下述公式计算得到：根据前面的公式可以知道，弹力是 conservative force 的一种。 所谓的conservative force指的是将一个particle从一个点移动到另一个点做的功是跟移动的路径无关的力，在这个定义下，如果将一个particle沿着任意路径移动最后回到原点，那么力的整体做功（微分下可以用 表示）为0，在conservative force的作用下，不论沿着哪条路径，只要保证首尾点是相同的，那么都会导致势能的变化幅度是相同的，常见的力中，重力跟弹力是conservative force，而摩擦力则不是conservative force，从这个角度来理解，conservative force是跟位置相关的力，而这种力作用的效果就是将位置的变化转换为势能的变化。 一个力场（force field）如果满足下面三个公式中的任意一个，那么就可以说明这个力场是conservative的： 前面两个公式计算比较复杂，通常我们会使用第三个公式进行conservative force的判断，根据前面弹簧粒子的公式，我们可以判断弹力就是conservative force。 再说回弹簧粒子系统，根据能量守恒定律，我们有： 其中C是常量，对这个公式的左右两边对时间进行求导，就可以得到： 上述这个公式有两个解： 其中第一个解的含义是速度 不变，也就是物件静止，这种情况我们是不关心的，我们主要关心第二个解，这个解我们换个写法： 用中文的话翻译一下，就是物体运动的加速度大小与物体的受力成正比，跟物体的质量成反比，这就是牛顿第二定律（作为回顾：牛顿第一定律也称为惯性定律，可以表述为任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止；牛顿第三定律可以表述为相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上）。 下面再来看一个复杂一点的案例，block从一个变成两个： 动能公式就变成了：用矩阵来表示就可以写成：这里需要注意的是，我们前面说过，单个block的情况下，我们是以弹簧原始长度时block所在的位置为原点的，而实际上我们这里选择的坐标系是比较随性的，而不是有固定的一套标准，而使用不同的坐标系，得到的公式是不一样的，虽然他们输出的结果是一样的（能量不随坐标系的变化），而这给了我们一个启发，在实际使用中要谨慎选择坐标系，不同的坐标系计算公式不一样，导致计算效率会受影响，而这对于结果的输出并没有任何收益。 重写一下前面的牛顿第二定律的公式：这是一个以q为变量的二阶微分方程，在物理动画模拟中，我们最终需要的是计算各个时刻的位置，也就是解出每个time step下的q，而求解微分方程的方式就是数值积分。 为了解前面这个二阶微分方程，我们这里尝试将之改写成一个一阶的常微分方程（目的是降低求解的复杂度？），令 那么有 上面为了进行一般化处理，用 替代了 ，那么怎么来理解这个y以及y的微分呢？ 如下图所示，我们以q作为横坐标， 作为纵坐标绘制一个坐标系（这个坐标系这里称之为phase space，当然，这里只是一个近似，真实的phase space的纵坐标是动量 ，不过不影响），当我们取点 来看，其微分结果为 ，也就是一条水平方向（向右）的向量，如下面所示： 同样，如果我们取点 来看，其微分结果为 ，也就是一条垂直方向（向下）的向量，如下面所示： 实际上，对单block的弹簧系统而言，对于每个y坐标，在phase space中得到的y的微分，称为y的速度向量，都可以得到这个向量是沿着顺时针方向的，如果我们做特殊处理，取k = m，那么将所有点连起来，我们就能得到一个正圆，如下图所示： 不同半径的正圆对应于弹簧和谐运动的振幅，通过这个正圆也可以看到，在q为0的时候，速度的绝对值最大，反之速度为0的时候，则是位置的绝对值最大的时候；另外，对于任意一个y，其速度 都是这个正圆上的切线，也就是说下一刻的位置同样是在正圆上，如果没有摩擦力的存在，那么就意味着这个block将在这个圆上永无止尽的运动下去。 在进行数值积分方法介绍之前，我们先来看下不同的积分方法的评价标准，总的来说，对于一个数值积分方法好不好，我们通常有如下三个评判标准： 将上面的公式做一下近似，这里用explicit euler（显式欧拉）公式进行模拟，即 中y取k： 从而得到按照上面这个公式，由于 是在y点的切线，也就是说计算得到的下一个坐标点将落在当前坐标点所规范的圆形外面，那么经过这个公式计算出来的运动轨迹将不能保证是圆形的，而是半径不断扩大的螺旋曲线，也就是说，这个方法是不稳定的，即系统的能量越来越大（半径对应着振幅）： 在显式欧拉方法下，我们看下整体方案的误差，根据泰勒展式： 可以看到，显式欧拉只使用了 之前的部分，也就是说是属于一阶微分方程，其误差自然就可以算出来等于 了。 如果前面不用显式欧拉，而是使用implicit euler（隐式欧拉），即 中y取k+1：在这种情况下，右边是一个方程，在弹簧系统中，这个方程是可以显式表达的，但是在其他的系统尤其是复杂系统中，这个方程是没有办法表达出来的，也就是说这个公式通过解析方法是没有办法计算得到的。根据上面的公式，仿造前面显式欧拉的逻辑，我们可以看出来，y(k)是比y(k+1)半径要大的，也就是说，在这个系统中，半径在不断减小，能量在不断衰退，最终衰减到0，那么就处于静止，也就是说这种方式得到的是一个稳定的解（当然，这里需要说清楚的是，不是所有的系统使用隐式欧拉都是稳定的，只有那些能量守恒的系统才是稳定的），不过呢由于 没有解析解，因此求解会很麻烦。 下面要介绍的是一个叫做symplectic euler（辛欧拉，或者半显式欧拉，半隐式欧拉方案）的数值积分方法，根据前面的公式，我们有：将之转换为微分方程： 又回到前面的问题，右边的向量中的q是应该取k还是k+1时刻的值，前面我们说过，取k的值是显式欧拉的方案，好处是数值是已知的，这个方程可以解出来的，缺点则是系统不稳定，而取k+1的时候则是隐式欧拉的方案，好处是方案是稳定的，而缺点则是方程求解困难，基于这一点，我们这里考虑使用一个混合的方案，即上述方程中第二个分量使用显式欧拉方案，第一个分量则使用隐式欧拉方案，如下所示： 根据上面的公式，我们可以先根据第二个分量的公式，计算出 ，之后这个数值可以代入到第一个公式，求得 ，这里借用了显式欧拉的好处，只是需要确定的是，是否同时带入了显式欧拉的缺点——不稳定。 在弹簧系统中，上述公式可以表示为： 从而求得： 根据这公式通过不断迭代可以得到： 好像也不能说明啥，写成矩阵形式： 这个等式右边的2x2的矩阵，我们可以很容易计算出其行列式=1，而根据线性代数的理论，我们可以知道，矩阵的行列式恰好等于变换前后两个形状的面积之比，也就是说，某个区域的数据集合经过这个矩阵变化后得到的新的区域，两个区域的面积之比就恰好等于矩阵的行列式，而这里行列式为1就说明经过这个矩阵的变换，数据是基本维持稳定的，不会膨胀，也不会坍缩，而是能量守恒的（自然也是稳定的系统）。 而虽然上述结论是在弹簧系统中推导出来的，但实际上这个结论的应用面是可以推广到一般的（当然，不是所有的系统都可以使用），对于系统内仅包含动能和势能的系统而言，在经典力学范畴中，这个结论是成立的，即通过辛欧拉算法得到的解都是稳定的（甚至能量守恒的）。

辛普森公式 　　辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。 　　辛普森公式是利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6. [编辑本段]应用　　立体几何中用来求拟柱体体积的公式。 公式内容　　设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为 　　V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6. 　　式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积（即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积）。 　　事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积。 计算实例　　例1：计算底面积为S、高为h的柱体的体积。 　　解：此题中S_1 = S_0 = S_2 = S，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S + S) /6 = S h。 　　例2：计算底面积为S、高为h的锥体的体积。 　　解：此题中S_1 = S，S_0 = S /4，S_2 = 0，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S /4 + 0) /6 = S h /3。 　　例3：计算半径为r的球的体积。 　　解：此题中S_1 = S_2 = 0，S_0 = πr^2，H = 2r，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = 2r (0 + 4πr^2 + 0) /6 = 4πr^3 /3。 公式证明　　只需要证明根据公式算出来的体积和用积分算出来的体积相等即可。 　　设截面面积是截面高h的不超过3次的函数：f(h)= ah^3 + bh^2 + ch + d。 　　那么， 　　利用积分计算体积，可以得到（积分限为0~h）： 　　V = ∫ f(x) dx 　　= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh； 　　利用公式计算体积，可以得到： 　　V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 　　= h ( f(0) + 4f(h/2) + f(h) ) /6 　　= h [ d + 4 (ah^3 /8 + bh^2 /4 + ch /2 + d) + (ah^3 + bh^2 + ch + d) ]/6 　　= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh。 　　因此两式相等，公式得证。 　　

一般是形如的近似公式，又称求积公式，xj和Aj(i=0,1,…，m)分别称为求积结点和求积系数，通常xj∈【α,b】；式（2）右端称为求积和；两端之差称为求积余项或求积误差；区间【α，b】可以是有限的或无限的。　构造求积公式的问题就是确定xj和Aj使得E()在某种意义下尽可能地小。

matlab中常用的求函数的数值积分方法，可以用以下函数来求解：1、对于一重积分，有quad【自适应步长Simpson数值积分】、quadl【高精度Lobatto数值积分】、quadgk【自适应Gauss-Kronrod数值积分】、trapz【梯形数值积分】,上述函数调用格式分别为quad（fun,a,b）%fun—被积函数，a—积分下限，b—积分上限quadl（fun,a,b）%fun—被积函数，a—积分下限，b—积分上限quadgk（fun,a,b）%fun—被积函数，a—积分下限，b—积分上限trapz(X,Y)%X—自变量【a，b】区间的等差向量，Y—对应于X的被积函数值2、对于二重积分，有quad2d【平面区域的数值积分】,dblquad【矩形区域的数值积分】，其调用格式分别为quad2d（fun,xmin,xmax,ymin,ymax）dblquad（fun,xmin,xmax,ymin,ymax）3、对于三重积分，有triplequad【三维矩形区域的数值积分】，其调用格式为triplequadfun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax）

CenaTP 发表于 2013-8-26 18:16登录/注册后可看大图感觉用trapz和用sum直接求和差不多~trapz 和 cumtrapz 函数都是基于梯形积分的函数，其本质是将积分区间划分为一定数量的等间距的子区间，然后将每段子区间上的函数曲线用一段直线近似，该直线经过由小区间端点对应的原曲线上的两个端点。所以，从本质上讲，梯形积分只不过是一种 “分段线性近似”。所以，对于高次函数（次数>=2）时，梯形积分在划分区间数目一定的情况下可能会很变得不精确（尤其是当被积函数不连续或震荡性很大时），而且，在子区间数固定的情况下，被积函数次数越高，梯形积分精度就越差。所以，为了使得梯形积分变得更加精确，你需要用更小的间隔来划分更多的子区间，即用更多的子区间来近似。但是，对于已知离散数据的情况下，数据量是固定的，即无法进一步划分子区间，所以，用梯形积分可能造成很大的误差。如果已知被积函数可能的次数的话，可以考虑用大于等于该次数的多项式拟合，将被积函数表达式拟合出来，一旦有了函数表达式，用符号积分 int 或数值积分 quadgk 或 integral 都可以。即使不知道被积函数的次数，也可以用高次函数你和出被积函数，再做积分

其实，你仔细观察一下会发现，用第二种方法得到xk表达式之后再subs代入的结果有这样的特点：1、大部分项的值都很小，量级在10^(-16)，可以看作0；2、对应于第一种方法得到的非零项的结果是Inf或NaN。这有两个原因：1、第1种情况由数值计算误差导致；2、第2种情况是因为，求出的xk表达式中，分母有因式(k^4-5*k^2+4)，也就是对于k=±2，±1来说会出现被0除的情况。解决这个问题可以用极限：syms t kxk1=int((cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t))*exp(-i*2*pi*k*t),t,-0.5,0.5);K=-10:1:10;for ii=1:length(K) xk2(ii)=limit(xk1,k,K(ii));end这样得到的结果就和第一种方法相同了。

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通过插值途径构成的求积公式。用(x)的以x0,x1，…，xm为结点的插值多项式近似替代(x)后，经过积分可以得到形如（2）的插值型求积公式，其中求积系数特别，若所有的xj都属于【α,b】，则称它为内插型求积公式。这是一类最基本的求积公式。由于m+1个结点的插值型求积公式的代数精度至少是m，所以具有一定代数精度的求积公式总是存在的。

一类具有最高的代数精度的内插型求积公式（表2）。求积公式（2）含有2(m+1）个自由参数（xj和Aj），恰当选择这些参数，能使公式（2）的代数精度达到2m+1。高斯求积理论中的一个基本定理断言：只要把结点x0,x1，…，xm取为区间[α,b]上关于权函数ω(x)的m+1次正交多项式的零点，内插型求积公式（2）即达到最高代数精度2m+1。这里[α,b] 可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。可以证明：对每个连续函数，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。高维数值积分的主要方法有蒙特卡罗法、代数方法和数论方法。

你是想问牛顿科特数值积分的优缺点是什么吗？牛顿科特数值积分的优点是：1、牛顿科特数值积分误差小。2、牛顿科特数值积分数值稳定。牛顿科特数值积分的缺点：1、牛顿科特数值积分对目标函数有较严格的要求。2、牛顿科特数值积分计算相当复杂。

.数值积分可以借助于数学软件（如matlab、 mathematica等）来求解。求解思路：1、自定义函数，如G(t,τ)函数，E(t,τ)函数2、利用多个循环语句，赋值并累加计算，去趋近于χ（t）编程运算，得到如下图形。

一、数值积分基本公式数值求积基本通用公式如下Eqn1.gif(1.63KB)2009-11-2023:23xk：求积节点Ak：求积系数，与f(x)无关数值积分要做的就是确定上式中的节点xk和系数Ak。可以证明当求积系数Ak全为正时，上述数值积分计算过程是稳定。二、插值型数值积分公式对f(x)给定的n+1个节点进行Lagrange多项式插值，故Eqn2.gif(2.95KB)2009-11-2023:23即求积系数为Eqn3.gif(3.29KB)2009-11-2023:23三、牛顿-柯特斯数值积分公式当求积节点在[a,b]等间距分布时，插值型积分公式（先使用Lagrange对节点进行多项式插值，再计算求积系数，最后求积分值）称为Newton-Cotes积分公式。由于Newton-Cotes积分是通过Lagrange多项式插值变化而来的，我们都知道高次多项式插值会出现Runge振荡现象，因此会导致高阶Newton-Cotes公式不稳定。Newton-Cotes积分公式的求积系数为Eqn4.gif(3.38KB)2009-11-2023:28其中C(k,n)称为柯特斯系数。(1)当n=1时，Newton-Cotes公式即为梯形公式Eqn5.gif(1.68KB)2009-11-2023:28容易证明上式具有一次代数精度(对于Newton-Cotes积分公式，n为奇数时有n次迭代精度，n为偶数时具有n+1次精度，精度越高积分越精确，同时计算量也越大)(2)当n=2时，Newton-Cotes公式即为辛普森(Simpson)公式或者抛物线公式Eqn6.gif(2.04KB)2009-11-2023:28上式具有3次迭代精度(3)当n=4时，Newton-Cotes公式称为科特斯(Cotes)公式Eqn7.gif(2.68KB)2009-11-2023:28上式具有5次迭代精度。由于n=3和n=2时具有相同的迭代精度，但是n=2时计算量小，故n=3的Newton-Cotes积分公式用的很少(4)当≥8时，通过计算可以知道，在n=8时柯特斯系数出现负值由于数值积分稳定的条件是求积系数Ak必须为正，所以n>=8以上高阶Newton-Cotes公式，我们不能保证积分的稳定性(其根本原因是，Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多项推导出来的，而高阶多项式会出现Rung现象)。四、复化求解公式n阶Newton-Cotes公式只能有n+1个积分节点，但是高阶Newton-Cotes公式由不稳定。为了提高大区间的数值积分精度，我们采用了分段积分的方法，即先将原区间划分成若干小区间，然后对每一个小区间使用Newton-Cotes积分公式，这就是复化Newton-Cotes求积公式。(1)当n=1时，称为复化梯形公式。将[a,b]等分为n份，子区间长度为h=(b-a)/n，则复化梯形公式为(注意：复化求解公式不需要求积子区间等间距，只是Newton-Cotes公式分段积分时自动对小区间进行等分，我们这里采用等分子区间是为了便于计算而已)Eqn8.gif(2.18KB)2009-11-2023:28(2)当n=2时，称为复化辛普森公式。Eqn9.gif(2.96KB)2009-11-2023:28五、Newton-Cotes数值积分公式Matlab代码

楼上已经比较完全了可以在MATLAB中输“helpint”试试，在帮助文档的最后会有罗列相近的函数链接

H=(B-A)/NH 的定义位置有问题 把它的定义放到 A B 输入之后试试 scanf ("%f",&A); printf ("请输入B值:"); scanf ("%f",&B); printf ("请输入N值:"); scanf ("%f",&N); float H=(B-A)/N;或float A,B,N,H,sum=0;scanf ("%f",&A); printf ("请输入B值:"); scanf ("%f",&B); printf ("请输入N值:"); scanf ("%f",&N); H=(B-A)/N;

佩亚诺型余项的泰勒公式是指在泰勒展开中，用佩亚诺型余项来估计函数在某个点处的误差一、佩亚诺型余项的定义和含义1.定义：佩亚诺型余项是指在泰勒展开中，用来估计函数在某个点处的误差的一种形式。2.含义：佩亚诺型余项可以帮助我们估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开来逼近函数的误差。二、泰勒公式的基本形式1.泰勒公式：对于光滑函数f(x)，在某个点a处的泰勒展开可以表示为f(x)=f(a)+f"(a)(xa)+f""(a)(xa)^2/2!+...+f^n(a)(xa)^n/n!+R_n(x)。2.R_n(x)：R_n(x)表示泰勒展开的余项，即用有限项展开逼近函数时的误差。三、佩亚诺型余项的计算方法1.佩亚诺型余项：对于泰勒展开的余项R_n(x)，佩亚诺型余项的一般形式为R_n(x)=f^(n+1)(c)(xa)^(n+1)/(n+1)!，其中a<c<x。2.估计误差：通过计算佩亚诺型余项R_n(x)来估计函数在某个点处的误差，可以得到一个上界或下界。四、佩亚诺型余项的应用领域1.数值逼近：佩亚诺型余项可以用于数值逼近问题，帮助我们估计逼近函数时的误差。2.数值积分：在数值积分中，佩亚诺型余项可以用来估计数值积分的误差。五、佩亚诺型余项的意义和价值1.误差估计：佩亚诺型余项可以帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性。2.优化算法：在优化算法中，佩亚诺型余项可以用来估计优化算法的收敛速度和精度。六、佩亚诺型余项的案例和实践1.数值逼近：通过计算佩亚诺型余项，可以估计多项式逼近函数时的误差，从而选择合适的多项式次数。2.数值积分：在数值积分中，通过计算佩亚诺型余项，可以估计数值积分的误差，从而选择合适的积分方法和步长。佩亚诺型余项的泰勒公式是用来估计函数在某个点处误差的一种形式。通过计算佩亚诺型余项，我们可以估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开逼近函数的误差。佩亚诺型余项的计算方法是通过计算泰勒展开的余项来估计函数的误差。佩亚诺型余项的应用领域包括数值逼近和数值积分等。佩亚诺型余项的意义在于帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性，并在优化算法中用于估计收敛速度和精度。在实践中，我们可以通过计算佩亚诺型余项来选择合适的多项式次数或积分方法，以提高数值计算的准确性和效率。

MATLAB中主要用int进行符号积分，用trapz,dblquad,quad,quad8等进行数值积分。int(s) 符号表达式s的不定积分int(s,x) 符号表达式s关于变量x的不定积分int(s,a,b) 符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限int(s,x,a,b) 符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限trapz(x,y) 梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。quad8(‘fun",a,b,tol) 变步长数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为积分上、下限，tol为精度，缺省至为1e-3.fblquad(‘fun",a,b,c,d) 矩形区域二重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y的上、下限. 例1 计算二重积分先编写四个M函数文件,%二重积分算法文件dblquad2.mfunction S=dblquad2(f_name,a,b,c_lo,d_hi,m,n) %其中f_name为被积函数字符串,"c_lo"和"d_hi"是y的下限和上限函数 ,都是x的标量函数;a,b分别为x的下限和上限;m,n分别为x和y方向上的等分数(缺省值为100). if nargin<7, n=100; end if nargin<6, m=100; endif m<2|n<2 error("Numner of intervals invalid"); end mpt=m+1; hx=(b-a)/m; x=a+(0:m)*hx; for i=1:mpt ylo=feval_r(c_lo,x(i)); yhi=feval_r(d_hi,x(i)); hy=(yhi-ylo)/n; for k=1:n+1 y(i,k)=ylo+(k-1)*hy; f(i,k)=feval_r(f_name,x(i),y(i,k)); end G(i)=trapz(y(i,:),f(i,:)); end S=trapz(x,G);%被积函数eg3_fun.m function z=eg3_fun(x,y) z=1+x+y;%积分下限函数eg3_low.m function y=eg3_low(x) y=-sqrt(1-x^2);%积分上限函数eg3_up.m function y=eg3_up(x) y=sqrt(1-x^2);保存后,在命令窗口用MATLAB代码:>>clear;>>dblquad2("eg3_fun",-1,1,"eg3_low","eg3_up")结果为ans =3.1383 为了得到更精确的数值解，需将区间更细化，比如x和y方向等分为1000分，MATLAB代码：>>clear; dblquad2("eg3_fun",-1,1,"eg3_low","eg3_up",1000,1000)结果为 ans =3.1415。此题也可用int符号计算求解，MATLAB代码为：>>clear; syms x y;>>iy=int(1+x+y,y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2));>>int(iy,x,-1,1)结果为ans =pi 例2 quad8计算定积分%M函数fun1.mfunction y=fun1(x)y=x.^4;保存后,在命令窗口用MATLAB代码:>>clear;>>quad8("fun1",-2,2)>>vpa(quad8("fun1",-2,2),10) %以10位有效数字显示结果结果为ans =12.8000ans =12.80000000对于变步长数值积分,常用的有quad,quad8两种命令,quad使用自适应步长Simpson法, quad8使用自适应步长8阶Newton-Cotes法,我们建议用quad8,它不但精度较高,且对假收敛和假奇异积分具有一定的适应性,而quad较差.. 龙贝格积分法MATLAB程序代码function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps)if(nargin==3)eps=1.0e-4;end;M=1;tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b));while tol>epsk=k+1;h=h/2;Q=0; for i=1:M x=a+h*(2*i-1);Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;M=2*M;for j=1:kT(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);endtol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));endI=T(k+1,k+1);step=k; 自适应法求积分MATLAB程序代码function I=SmartSimpson(f,a,b,eps)if(nargin==3)eps=1.0e-4;end;e=5*eps;I=SubSmartSimpson(f,a,b,e);function q=SubSmartSimpson(f,a,b,eps)QA=IntSimpson(f,a,b,1,eps);QLeft=IntSimpson(f,a,(a+b)/2,1,eps);QRight=IntSimpson(f,(a+b)/2,b,1,eps);if(abs(QLeft+QRight-QA)<=eps)q=QA;elseq=SubSmartSimpson(f,a,(a+b)/2,eps)+SubSmartSimpson(f,(a+b)/2,b,eps);end 线性振动响应分析的wilson θ积分法MATLAB代码% see also http://www.matlabsky.com% contact me matlabsky@gmail.com% 2010-02-26 16:52:12%clcclear% 结构运动方程参数M=1500000;K=3700000;C=470000;% 威尔逊参数θtheta=1.4;dt=0.02; % 时间间隔tau=dt*theta;% 数据处理eqd=load("acc_ElCentro_0.34g_0.02s.txt"); % 加速激励，第一列是时间，第二列是加速度n=size(eqd,1);t=0:dt:(n-1)*dt;xg=eqd(:,2)*9.8; % 对加速度进行处理dxg=diff(xg)*theta; %F=-M*xg;% D2x 加速度； Dx 速度； x 位移D2x=zeros(n,1);Dx=zeros(n,1);x=zeros(n,1);for i=1:n-1 K_ba=K+3/tau*C+6/tau^2*M; dF_ba=-M*dxg(i)+(M*6/tau+3*C)*Dx(i)+(3*M+tau/2*C)*D2x(i); dx=dF_ba/K_ba; dD2x=(dx*6/tau^2-Dx(i)*6/tau-3*D2x(i))/theta; D2x(i+1)=D2x(i)+dD2x; Dx(i+1)=Dx(i)+D2x(i)*dt+dD2x/2*dt; x(i+1)=x(i)+Dx(i)*dt+D2x(i)*dt^2/2+dD2x/6*dt^2;endsubplot(311)plot(t,x) % 位移subplot(312)plot(t,Dx) % 速度subplot(313)plot(t,D2x)% 加速度 常微分方程求解方法之四阶龙格-库塔算法matlab程序代码function [x,y] = MyRunge_Kutta(fun,x0,xt,y0,PointNum,varargin)%Runge-Kutta 方法解微分方程形为 y"(t) = f(x,y(x))%此程序可解高阶的微分方程。只要将其形式写为上述微分方程的向量形式% x范围为[x0,xt],初值为 y0, PointNum为离散点数,varargin为可选输入项可传适当参数给函数f(x,y)if nargin < 4 | PointNum <= 0PointNum= 100;endif nargin < 3y0 = 0;endy(1,:) = y0(:)"; %初值存为行向量形式h = (xt-x0)/(PointNum-1); %计算步长x = x0+[0:PointNum]‘*h; %得x向量值for k = 1:PointNum %迭代计算f1 = h*feval_r(fun,x(k),y(k,:),varargin {:});f1 = f1(:)"; %得公式中k1f2 = h*feval_r(fun,x(k) + h/2,y(k,:) + f1/2,varargin{:});f2 = f2(:)"; %得公式中k2f3 = h*feval_r(fun,x(k) + h/2,y(k,:) + f2/2,varargin{:});f3 = f3(:)"; %得公式中k3f4 = h*feval_r(fun,x(k) + h,y(k,:) + f3,varargin{:});f4 = f4(:)"; %得公式中k4y(k + 1,:) = y(k,:) + (f1 + 2*(f2 + f3) + f4)/6; %

定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域[a，b]进行划分后，构造一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设f(x)为定义在[a，b]上的函数，任意分划区间[a，b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，记，｜｜Δ｜｜＝ ，任取 xi ∈Δxi，如果有一实数I，有下式成立 ： ，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分，记为I＝f(x)dx。当f(x)≥0时，定积分的几何意义是表示由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”。积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

double(limit(sin(x)+cos(x)))

应为matlab或其他软件只能求出简单基本及其构造函数的解析解（微分方程或积分），但对于绝大多数工程实际的问题，由于其表达式的复杂性，各种软件一般求解不出解析解，所以通过数值解结合图象来研究待求函数或表大师的性质

T_0=linspace(300,1500,101);%T_0=linspace(300,1500,1201);Eg=1.519-5.405*(10^(-4))*((T_0.^2)./(T_0+204));%T_0=linspace(300,1500,1201);Tc=repmat(T_0,100,1);%Tc=repmat(T_0,1e4,1);E0=repmat(Eg,100,1);%E0=repmat(Eg,1e4,1);k=1.38*10^(-23);C0=linspace(1,10,100);%C0=linspace(1,10,1e4);C=repmat(C0",1,101);%C=repmat(C0",1,1201);hv=E0.*C;R_matrix=hv.^2./(exp(hv./k./T_0)-1);%R_matrix=hv.^2./(exp(hv./k./T)-1);R=sum(R_matrix)*10.0250719315895/100;R1=sum(sum(R_matrix)*10.0250719315895/100)plot(T_0,R);

%源程序无法运行，做了适当修改function F=myfunc(w)%syms w %不要这一行z=exp(i*w);g=(1./(1-z.^(-1))).*((1-z.^(-1))+2+0.01.*(1-z.^(-1)).^2);%1./(1-z.^(-1))增加了点运算f=(-13+14*z)./(8*(-1+z)+z); F=(abs((f.*g)./(1+f.*g))).^2;%在命令窗口中运行tol=1.e-6;Q = quadl(@myfunc,0,pi,tol);%tol是误差，Q是积分值%另外还可以x=[0,pi/1000,pi];y=myfunc(x);Q=trapz(x,y)%x去点越密，结果越精度越高

常量有具体的取值？

求解一道积分问题 题目如图 求帮忙上标是负的二分之一 ~展开 hanxiaoyu098LV.52013-04-29我用Matlab积了下，结果如下：syms x m;>> f2=int((1-m*sin(x),^2).^(-1/2),x,0,pi/2)f2 =ellipticK(m)这说明你的积分表达式无法化简解析表达式，只能化简为椭圆积分的表达形式。在数学上并不是所有的函数的积分都可以在基本函数范围内找到解。你可以查阅一下有关数学书，会介绍椭圆积分的。当然matlab可以对椭圆积分进行有关数值方面的计算。LV.52013-04-29我用Matlab积了下，结果如下：syms x m;>> f2=int((1-m*sin(x),^2).^(-1/2),x,0,pi/2)f2 =ellipticK(m)这说明你的积分表达式无法化简解析表达式，只能化简为椭圆积分的表达形式。在数学上并不是所有的函数的积分都可以在基本函数范围内找到解。你可以查阅一下有关数学书，会介绍椭圆积分的。当然matlab可以对椭圆积分进行有关数值方面的计算。

积分是由三块的体积之和来近似的。这三块分别是由A,B,C,D和在三维空间上对应的值的点构成的柱状体。他们的体积可以右下部分的三棱柱和上部分的三棱锥构成，由于顶点的坐标都是已知的，所以这些棱柱和棱锥的体积很容易计算出来。

第一个梯形公式积分的截断误差是 $-frac{(b-a)^3}{12}f^{""}(epsilon)$，第二个是$(n=0)$的Gauss公式，截断误差是$frac{(b-a)^3}{24}f^{""}(epsilon)$，两者可以按照如下组合方式$I(f)=frac{T(f)+2*R(f)}{3}$来组合，得到更高阶的截断误差。 :)

∫sin(x)dx=-cos(x)|(0,pi)=-(1+1)=2

Γ（1 + i）= 0.498016 - 0.15495 i

数值积分，用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。必要性：数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至无法有解析表达式。另外，当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时，牛顿-莱布尼兹公式不再适用，只能使用更广泛的格林公式或斯托克斯公式，以转化为较低维数上的积分，但只能用于少数情况。因此，只能使用数值积分计算函数的近似值。定积分的定义：是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。定积分的定义解析定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系，一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。

求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了这个分支的理论基础。构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式(Rhomberg Integration)。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

辛普森公式 　　辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。 　　辛普森公式是利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6. [编辑本段]应用　　立体几何中用来求拟柱体体积的公式。 公式内容　　设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为 　　V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6. 　　式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积（即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积）。 　　事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积。 计算实例　　例1：计算底面积为S、高为h的柱体的体积。 　　解：此题中S_1 = S_0 = S_2 = S，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S + S) /6 = S h。 　　例2：计算底面积为S、高为h的锥体的体积。 　　解：此题中S_1 = S，S_0 = S /4，S_2 = 0，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S /4 + 0) /6 = S h /3。 　　例3：计算半径为r的球的体积。 　　解：此题中S_1 = S_2 = 0，S_0 = πr^2，H = 2r，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = 2r (0 + 4πr^2 + 0) /6 = 4πr^3 /3。 公式证明　　只需要证明根据公式算出来的体积和用积分算出来的体积相等即可。 　　设截面面积是截面高h的不超过3次的函数：f(h)= ah^3 + bh^2 + ch + d。 　　那么， 　　利用积分计算体积，可以得到（积分限为0~h）： 　　V = ∫ f(x) dx 　　= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh； 　　利用公式计算体积，可以得到： 　　V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 　　= h ( f(0) + 4f(h/2) + f(h) ) /6 　　= h [ d + 4 (ah^3 /8 + bh^2 /4 + ch /2 + d) + (ah^3 + bh^2 + ch + d) ]/6 　　= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh。 　　因此两式相等，公式得证。 　　

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

示例：F = @(x) 1./(x.^3-2*x-5); % 定义函数Q = quad(F,0,2); % [0,2]区间上积分

MATLAB中主要用int进行符号积分，用trapz,dblquad,quad,quad8等进行数值积分。int(s) 符号表达式s的不定积分int(s,x) 符号表达式s关于变量x的不定积分int(s,a,b) 符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限int(s,x,a,b) 符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限trapz(x,y) 梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。quad8(‘fun",a,b,tol) 变步长数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为积分上、下限，tol为精度，缺省至为1e-3.fblquad(‘fun",a,b,c,d) 矩形区域二重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y的上、下限.

用integral指令求数值积分可以来计算。即>>func=@(x)exp((cos(x)).^3);>>integral(func,0,pi)在matlab软件中，运行可以得到其结果。

楼上已经比较完全了可以在MATLAB中输“helpint”试试，在帮助文档的最后会有罗列相近的函数链接

佩亚诺型余项的泰勒公式是指在泰勒展开中，用佩亚诺型余项来估计函数在某个点处的误差一、佩亚诺型余项的定义和含义1.定义：佩亚诺型余项是指在泰勒展开中，用来估计函数在某个点处的误差的一种形式。2.含义：佩亚诺型余项可以帮助我们估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开来逼近函数的误差。二、泰勒公式的基本形式1.泰勒公式：对于光滑函数f(x)，在某个点a处的泰勒展开可以表示为f(x)=f(a)+f"(a)(xa)+f""(a)(xa)^2/2!+...+f^n(a)(xa)^n/n!+R_n(x)。2.R_n(x)：R_n(x)表示泰勒展开的余项，即用有限项展开逼近函数时的误差。三、佩亚诺型余项的计算方法1.佩亚诺型余项：对于泰勒展开的余项R_n(x)，佩亚诺型余项的一般形式为R_n(x)=f^(n+1)(c)(xa)^(n+1)/(n+1)!，其中a<c<x。2.估计误差：通过计算佩亚诺型余项R_n(x)来估计函数在某个点处的误差，可以得到一个上界或下界。四、佩亚诺型余项的应用领域1.数值逼近：佩亚诺型余项可以用于数值逼近问题，帮助我们估计逼近函数时的误差。2.数值积分：在数值积分中，佩亚诺型余项可以用来估计数值积分的误差。五、佩亚诺型余项的意义和价值1.误差估计：佩亚诺型余项可以帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性。2.优化算法：在优化算法中，佩亚诺型余项可以用来估计优化算法的收敛速度和精度。六、佩亚诺型余项的案例和实践1.数值逼近：通过计算佩亚诺型余项，可以估计多项式逼近函数时的误差，从而选择合适的多项式次数。2.数值积分：在数值积分中，通过计算佩亚诺型余项，可以估计数值积分的误差，从而选择合适的积分方法和步长。佩亚诺型余项的泰勒公式是用来估计函数在某个点处误差的一种形式。通过计算佩亚诺型余项，我们可以估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开逼近函数的误差。佩亚诺型余项的计算方法是通过计算泰勒展开的余项来估计函数的误差。佩亚诺型余项的应用领域包括数值逼近和数值积分等。佩亚诺型余项的意义在于帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性，并在优化算法中用于估计收敛速度和精度。在实践中，我们可以通过计算佩亚诺型余项来选择合适的多项式次数或积分方法，以提高数值计算的准确性和效率。

把问题看成用一次最佳平方逼近式拟合在区间【0，1】的exp（x）构造gram矩阵，求解法方程组答案是A

佩亚诺型余项的泰勒公式是指在泰勒展开中，用佩亚诺型余项来估计函数在某个点处的误差一、佩亚诺型余项的定义和含义1.定义：佩亚诺型余项是指在泰勒展开中，用来估计函数在某个点处的误差的一种形式。2.含义：佩亚诺型余项可以帮助我们估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开来逼近函数的误差。二、泰勒公式的基本形式1.泰勒公式：对于光滑函数f(x)，在某个点a处的泰勒展开可以表示为f(x)=f(a)+f"(a)(xa)+f""(a)(xa)^2/2!+...+f^n(a)(xa)^n/n!+R_n(x)。2.R_n(x)：R_n(x)表示泰勒展开的余项，即用有限项展开逼近函数时的误差。三、佩亚诺型余项的计算方法1.佩亚诺型余项：对于泰勒展开的余项R_n(x)，佩亚诺型余项的一般形式为R_n(x)=f^(n+1)(c)(xa)^(n+1)/(n+1)!，其中a<c<x。2.估计误差：通过计算佩亚诺型余项R_n(x)来估计函数在某个点处的误差，可以得到一个上界或下界。四、佩亚诺型余项的应用领域1.数值逼近：佩亚诺型余项可以用于数值逼近问题，帮助我们估计逼近函数时的误差。2.数值积分：在数值积分中，佩亚诺型余项可以用来估计数值积分的误差。五、佩亚诺型余项的意义和价值1.误差估计：佩亚诺型余项可以帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性。2.优化算法：在优化算法中，佩亚诺型余项可以用来估计优化算法的收敛速度和精度。六、佩亚诺型余项的案例和实践1.数值逼近：通过计算佩亚诺型余项，可以估计多项式逼近函数时的误差，从而选择合适的多项式次数。2.数值积分：在数值积分中，通过计算佩亚诺型余项，可以估计数值积分的误差，从而选择合适的积分方法和步长。佩亚诺型余项的泰勒公式是用来估计函数在某个点处误差的一种形式。通过计算佩亚诺型余项，我们可以估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开逼近函数的误差。佩亚诺型余项的计算方法是通过计算泰勒展开的余项来估计函数的误差。佩亚诺型余项的应用领域包括数值逼近和数值积分等。佩亚诺型余项的意义在于帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性，并在优化算法中用于估计收敛速度和精度。在实践中，我们可以通过计算佩亚诺型余项来选择合适的多项式次数或积分方法，以提高数值计算的准确性和效率。

#include <stdio.h>main(){ double pi = 3, x = 3; int i; for(i = 1; x > 0.000001; i++) { x *= 0.25*(2*i-1)*(2*i-1)/(2*i)/(2*i+1); pi += x; printf("PI = %lf ", pi); }}

你要是只对x做一维积分，只需要给出x的范围就行，就是只需要给出积分限可以改成z=quadl(@(x)myfun(x,t1,t2,t3),0,1);当然t1,t2,t3前面也需要给出定值 我说的定值，就是代入参数，就是子函数mufunction的输入参数，就是说t1,t2,t3不要也是积分变量就可以另外，你的子函数是mufunction而你quadl调用时，用的是myfun你看我的例子子函数是：function Exf = Exfun(theta,k,rp,thetap )Exf=sqrt(cos(theta)).*sin(theta).*(1+cos(theta)).*exp(-1i*k*rp.*cos(thetap).*cos(theta)).*besselj(0,-k*rp.*sin(theta).*sin(thetap))... +sqrt(cos(theta)).*sin(theta).*(1-cos(theta)).*exp(-1i*k*rp.*cos(thetap).*cos(theta)).*besselj(2,-k*rp.*sin(theta).*sin(thetap));end调用时：>> x=quadl(@(theta)Exfun(theta,5,7,pi),0,pi)x = -0.0256 + 0.0517i

http://blog.csdn.net/meanwe712/article/details/13719651这是我以前看过的一篇博客。

佩亚诺型余项的泰勒公式是指在泰勒展开中，用佩亚诺型余项来估计函数在某个点处的误差一、佩亚诺型余项的定义和含义1.定义：佩亚诺型余项是指在泰勒展开中，用来估计函数在某个点处的误差的一种形式。2.含义：佩亚诺型余项可以帮助我们估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开来逼近函数的误差。二、泰勒公式的基本形式1.泰勒公式：对于光滑函数f(x)，在某个点a处的泰勒展开可以表示为f(x)=f(a)+f"(a)(xa)+f""(a)(xa)^2/2!+...+f^n(a)(xa)^n/n!+R_n(x)。2.R_n(x)：R_n(x)表示泰勒展开的余项，即用有限项展开逼近函数时的误差。三、佩亚诺型余项的计算方法1.佩亚诺型余项：对于泰勒展开的余项R_n(x)，佩亚诺型余项的一般形式为R_n(x)=f^(n+1)(c)(xa)^(n+1)/(n+1)!，其中a<c<x。2.估计误差：通过计算佩亚诺型余项R_n(x)来估计函数在某个点处的误差，可以得到一个上界或下界。四、佩亚诺型余项的应用领域1.数值逼近：佩亚诺型余项可以用于数值逼近问题，帮助我们估计逼近函数时的误差。2.数值积分：在数值积分中，佩亚诺型余项可以用来估计数值积分的误差。五、佩亚诺型余项的意义和价值1.误差估计：佩亚诺型余项可以帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性。2.优化算法：在优化算法中，佩亚诺型余项可以用来估计优化算法的收敛速度和精度。六、佩亚诺型余项的案例和实践1.数值逼近：通过计算佩亚诺型余项，可以估计多项式逼近函数时的误差，从而选择合适的多项式次数。2.数值积分：在数值积分中，通过计算佩亚诺型余项，可以估计数值积分的误差，从而选择合适的积分方法和步长。佩亚诺型余项的泰勒公式是用来估计函数在某个点处误差的一种形式。通过计算佩亚诺型余项，我们可以估计泰勒展开的截断误差，即用有限项展开逼近函数的误差。佩亚诺型余项的计算方法是通过计算泰勒展开的余项来估计函数的误差。佩亚诺型余项的应用领域包括数值逼近和数值积分等。佩亚诺型余项的意义在于帮助我们估计函数逼近的误差，从而评估逼近结果的准确性，并在优化算法中用于估计收敛速度和精度。在实践中，我们可以通过计算佩亚诺型余项来选择合适的多项式次数或积分方法，以提高数值计算的准确性和效率。