椭圆面积公式是什么？

椭圆的概念:把平面内与两个定点的距的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭园.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面垂直于圆柱体轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

椭圆是一个几何图形，它可以由与一个给定点到平面上所有点的距离之和等于常数的性质来定义。在椭圆中，这个给定点称为焦点，而这个常数称为焦距。椭圆也可以被定义为一个平面上到两个给定点距离之和等于常数的点的轨迹。更具体地说，椭圆可由以下特点定义：1. 有两个焦点F1和F2，它们位于椭圆的长轴上，且距离为2a，其中a为椭圆的半长轴的长度。2. 椭圆的两个焦点与任意一点P到焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的离心率e定义为焦距与半长轴之比，即e = c/a，其中c是焦距的长度。椭圆具有许多特点和性质，例如对称性、四个顶点和两个焦点之间的关系，以及与长轴、短轴和离心率相关的性质。椭圆在数学、物理、工程和其他领域中有着广泛的应用，例如天体轨道、电子轨道等。当我们进一步扩展椭圆的定义时，可以涉及到以下内容：1. 椭圆的方程：椭圆可以用数学方程来描述。在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。2. 椭圆的焦点性质：椭圆的一个重要性质是焦点定理。根据焦点定理，椭圆上的任意一点P到两个焦点之间的距离之和等于椭圆的长轴的长度。即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的参数方程：除了直角坐标系中的方程表示，椭圆也可以用参数方程来描述。通常使用参数t来表示椭圆上的点的位置，参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)。4. 椭圆的离心率：离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。它定义为焦距与半长轴的比例，即e = c/a。离心率决定了椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于一个细长的形状。5. 椭圆的重要性质：椭圆有许多重要的几何性质。例如，椭圆的周长可以由椭圆的参数计算，周长公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的椭圆积分。椭圆还有弦长、面积、切线和法线等各种几何性质。6. 椭圆的应用：椭圆在许多领域中有着广泛的应用。在天体力学中，行星轨道通常被建模为椭圆轨道。在工程学中，抛物面天线和椭圆镜面反射器等设备也利用了椭圆的特性。此外，椭圆还在密码学、信号处理和图像处理等领域中有着重要的应用。总之，扩展椭圆的定义可以涵盖更多的数学方程、性质、参数、应用和解释。这些概念和应用有助于更深入地理解和应用椭圆。

椭圆椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：1：平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；2：平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。如图，有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：如图，将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端相中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以Apollonius所著的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

椭圆的三个定义如下：1. 几何定义：椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数的点的集合构成。换句话说，椭圆是到两个焦点距离之和等于常数的点的轨迹。2. 代数定义：椭圆可以通过代数方程来定义。在直角坐标系中，一个椭圆的代数方程通常形如 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度。3. 轨迹定义：椭圆也可以通过运动学的观点来定义。当一个点沿着一个平面上的轨迹，且到两个焦点的距离之和等于常数时，该轨迹即为椭圆。这种定义可以在描述行星绕太阳运动的椭圆轨道时得到应用。这些定义提供了不同的视角来理解椭圆的性质和特征。椭圆在几何学、代数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

椭圆的周长L等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴度长（a）与短半轴长（b）的差，即L=2πb+4(a-b)。椭圆是指数学上平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹曲线。椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆与圆很相似。不同之处在于椭圆有不同的 x 和 y 半径，而圆的 x 和 y 半径是相同的。在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是同一个常数的点的轨迹。这两个固定点叫做焦点。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为标准式x/a+y/b=1。

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹。

椭圆的定义与标准方程如下：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)。其中a^2-c^2=b^2。推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)。极坐标方程（一个焦点在极坐标系原点，另一个在0=0的正方向上）r=a（1-e2）/（1-ecose）（e为椭圆的离心率=c/a）。一般方程Ax2+By2+Cx+Dy+E=0（A>0，B>0，且A子B）。参数方程x=acose，y=bsine。椭圆的常见问题以及解法例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。

椭圆的定义有两个，具体如下：第一定义平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距。第二定义平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1）的点的轨迹。我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。这两个定义是等价的。椭圆的长半轴、短半轴和面积公式如果把椭圆的任意一条对称轴与椭圆的两个交点所对应的线段都称为椭圆的“轴”，那么较长的那个“轴”被称为椭圆的长轴，较短的那个“轴”被称为椭圆的短轴。习惯上，把椭圆的长轴长度记为“2a”，并把以椭圆的对称中心为端点的长轴的一半称作这个椭圆的长半轴；把椭圆的短轴长度记为“2b”，并把以椭圆的对称中心为端点的短轴的一半称作这个椭圆的短半轴。有了“长半轴”和“短半轴”的概念后，任何一个椭圆的面积公式就可以表述为：“椭圆的面积等于圆周率π与长半轴长、短半轴长这三者间的乘积”，用数学公式可以表示为：S=πab。

定义 椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的） 1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离，一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）； 2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的;[编辑本段]标准方程 高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。 椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： 1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0) 其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1[编辑本段]公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c) 椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a[编辑本段]椭圆参数方程的应用 求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 相关性质 由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。 例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。 设两点为F1、F2 对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点 用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。 -----关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程.（2）直线l：y=x+1与椭圆交与a，b两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.（3）设直线l与椭圆C交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值. 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c==√2，b=√(a05-c05),b=1,方程是x^2/3+y^2/1=1，二，要求面积，显然已ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值）弦长=3√2/2,对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求的m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的3√2/2,面积1/2*3√2/2*3√2/2=9/4,

第一定义：平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：|PF1|+|PF2|=2a其中两定点。其中F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距。第二定义：平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点f为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在x轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在y轴上]）。其他定义：根据椭圆的一条重要性质，也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e^2-1。可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况，还有k应满足<0且不等于-1。扩展资料：在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。参考资料：百度百科-椭圆

椭圆不是圆。在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆有无数条对称轴。圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。圆的介绍同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。圆可以看成又无数个无限小的点组成的正多边形，当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是一种概念性的图形。（当直线成为曲线即为无限点，因此也可以说有绝对意义的圆）

高中数学课程中关于椭圆的定义方式：平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面垂直于圆柱体轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。椭圆手绘的方法：椭圆的焦距│FF"│（Z）定义，为已知椭圆所构成的长轴X（ab）与短轴Y（cd）则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧，从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距，求证公式为2√{（Z/2）^2+（Y/2）^2}+Z=X+Z（平面内与两定点F、F"的距离的和等于常数2a（2a>|FF"|）的动点P的轨迹叫做椭圆），可演变为z=√x^2-y^2（x>y>0）。Z两端点F、F"为定点。取有韧性且伸缩系数越小越好的线，环绕线段AF"或者FB线段任意一组为长度，以该长度为固定三角形周长，以F、F"　为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。

1．椭圆的简单几何性质　　以方程 为例：　　（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。　　（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。　　（3）顶点：共有四个，即 ，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。　　（4）离心率： ，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。　　若设a不变，∵ ，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。　　2．椭圆的第二定义　　椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。　　由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆 ，与F（c，0）对应的准线方程是 ，与F′（－c，0）对应的准线方程是 ，如果椭圆方程是 ，则两条准线方程是 ，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。　　3．椭圆的参数方程　　从椭圆方程 联想三角公式 ，　　若令 即 ，这就是椭圆的参数方程。　　它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。　　利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数

椭圆的标准方程当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0)。其中a^2-c^2=b^2。介绍在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0(圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆的解释 [ellipse;elliptic] 一种 规则 的卵形线;特指平面两定点(焦点)的距离之和为一常数的所有点的轨迹 详细解释 亦作“ 椭圜 ”。长 圆形 。 清 姚鼐 《罗雨峰鬼趣图》 诗：“君看隙外光，穿落窗中壤，或方或椭圜，横斜直曲枉。” 杨沫 《 青春 之歌》 第一部第一章：“她的脸庞是椭圆的、白晳的， 晶莹 得好像透明的玉石。” 词语分解 椭的解释 椭 （椭） ǒ 〔椭圆〕长圆形。 （椭） 部首 ：木； 圆的解释 圆 （圆） á 从中心点到周边任何一点的距离都相等的形：圆形。圆圈。圆周。圆锥。圆柱。 完备，周全： 圆满 。圆全。 使之周全： 自圆其说 。圆谎。圆场。 占梦以决吉凶：圆梦。 宛转，滑利： 圆滑 。圆润。 运转

椭圆及其性质定义：椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）性质：

椭圆的简单几何性质可以总结为以下几种:1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。 2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。课本例题的变形考查：1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点P（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点P的坐标；2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。3、已知椭圆内一点M，在椭圆上求一点P，使点P到点M与到椭圆准线的距离的和最小的求法。4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆的标准方程共分两种情况[1]：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a^2-c^2=b^2推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)希望能帮到你

椭圆方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a^2-c^2=b^2。椭圆方程介绍在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆，椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0(圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

一、椭圆的第一定和第二定义这是解题中经常会用到的，尤其是在数形结合的时候，往往使用后解题效率会大幅提高。二、椭圆的各参数之间的关系（a,b,c） 这一点几乎每一题都要用到，需要牢记。三、椭圆被直线所截线段的长度 通常是联立圆和直线的方程。得到关于x或者y的一元二次方程。然后用公式l=sqrt(1+k^2) |X1-X2| 或者 l=sqrt(1+(1/k)^2) |Y1-Y2| （k为直线斜率）四、椭圆过(m,n)的切线方程为mx/a^+ny/b^2=1扩展资料：椭圆的俩长顶点与一短顶点所成的角大于椭圆上任一点与俩长顶点的连线切线与法线的几何性质定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，则∠APF1＝∠BPF2。定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

一般利用a方减去b方，或者已知离心率e就可以知道c，

椭圆是平面上的一个几何图形，具有特定的形状和定义。它可以用以下的定义描述：椭圆是所有到两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。椭圆的基本要素包括两个焦点、主轴、短轴和离心率。两个焦点是椭圆的两个特定点，它们到椭圆上的任意一点的距离之和是一个常数。主轴是通过焦点连结的直线段，短轴是与主轴垂直且通过中心点的直线段。离心率是一个用来衡量椭圆形状的标志，它等于焦点距离与主轴长度之比。椭圆在日常生活中有许多应用，例如椭圆的形状可以用来描述行星的轨道、地球的地理边界、椭圆形的运动轨迹等。在数学、物理学和工程学等领域，椭圆也有广泛的应用。

椭圆是到两个定点的距离和是一个定值的点的轨迹。椭圆是对圆定义的一个扩展，它是平面中到两个点的距离之和为定值的所有点组成的图形，这两个点被称为焦点、两个点之间的距离称为焦距。在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆的三个定义如下：1. 几何定义：椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数的点的集合构成。换句话说，椭圆是到两个焦点距离之和等于常数的点的轨迹。2. 代数定义：椭圆可以通过代数方程来定义。在直角坐标系中，一个椭圆的代数方程通常形如 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度。3. 轨迹定义：椭圆也可以通过运动学的观点来定义。当一个点沿着一个平面上的轨迹，且到两个焦点的距离之和等于常数时，该轨迹即为椭圆。这种定义可以在描述行星绕太阳运动的椭圆轨道时得到应用。这些定义提供了不同的视角来理解椭圆的性质和特征。椭圆在几何学、代数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

平面内与两定点的距离的和等于常数2a（a为长半轴长度）的动点P的轨迹叫做椭圆。其中，两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴长，椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴。 椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值。可以得出：在坐标轴内，动点P到两定点F1,F2的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的

椭圆的定义有两个，具体如下：第一定义平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距。第二定义平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1）的点的轨迹。我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。这两个定义是等价的。椭圆的长半轴、短半轴和面积公式如果把椭圆的任意一条对称轴与椭圆的两个交点所对应的线段都称为椭圆的“轴”，那么较长的那个“轴”被称为椭圆的长轴，较短的那个“轴”被称为椭圆的短轴。习惯上，把椭圆的长轴长度记为“2a”，并把以椭圆的对称中心为端点的长轴的一半称作这个椭圆的长半轴；把椭圆的短轴长度记为“2b”，并把以椭圆的对称中心为端点的短轴的一半称作这个椭圆的短半轴。有了“长半轴”和“短半轴”的概念后，任何一个椭圆的面积公式就可以表述为：“椭圆的面积等于圆周率π与长半轴长、短半轴长这三者间的乘积”，用数学公式可以表示为：S=πab。

一动点到两不同位置的定点的距离之和不变所形成的路线

定义 椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的） 1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离，一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）； 2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的;[编辑本段]标准方程 高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。 椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： 1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0) 其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1[编辑本段]公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c) 椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a[编辑本段]椭圆参数方程的应用 求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 相关性质 由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。 例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。 设两点为F1、F2 对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点 用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。 -----关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程.（2）直线l：y=x+1与椭圆交与a，b两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.（3）设直线l与椭圆C交与A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值. 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c==√2，b=√(a05-c05),b=1,方程是x^2/3+y^2/1=1，二，要求面积，显然已ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值）弦长=3√2/2,对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求的m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的3√2/2,面积1/2*3√2/2*3√2/2=9/4,

椭圆的三大定义介绍如下：1. 有两个焦点F1和F2，它们位于椭圆的长轴上，且距离为2a，其中a为椭圆的半长轴的长度。2. 椭圆的两个焦点与任意一点P到焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的离心率e定义为焦距与半长轴之比，即e = c/a，其中c是焦距的长度。椭圆具有许多特点和性质，例如对称性、四个顶点和两个焦点之间的关系，以及与长轴、短轴和离心率相关的性质。椭圆在数学、物理、工程和其他领域中有着广泛的应用，例如天体轨道、电子轨道等。当我们进一步扩展椭圆的定义时，可以涉及到以下内容：1. 椭圆的方程：椭圆可以用数学方程来描述。在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。2. 椭圆的焦点性质：椭圆的一个重要性质是焦点定理。根据焦点定理，椭圆上的任意一点P到两个焦点之间的距离之和等于椭圆的长轴的长度。即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的参数方程：除了直角坐标系中的方程表示，椭圆也可以用参数方程来描述。通常使用参数t来表示椭圆上的点的位置，参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)。4. 椭圆的离心率：离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。它定义为焦距与半长轴的比例，即e = c/a。离心率决定了椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于一个细长的形状。5. 椭圆的重要性质：椭圆有许多重要的几何性质。例如，椭圆的周长可以由椭圆的参数计算，周长公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的椭圆积分。椭圆还有弦长、面积、切线和法线等各种几何性质。6. 椭圆的应用：椭圆在许多领域中有着广泛的应用。在天体力学中，行星轨道通常被建模为椭圆轨道。在工程学中，抛物面天线和椭圆镜面反射器等设备也利用了椭圆的特性。此外，椭圆还在密码学、信号处理和图像处理等领域中有着重要的应用。总之，扩展椭圆的定义可以涵盖更多的数学方程、性质、参数、应用和解释。这些概念和应用有助于更深入地理解和应用椭圆。

椭圆的定义与标准方程如下：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)。其中a^2-c^2=b^2。推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)。极坐标方程（一个焦点在极坐标系原点，另一个在0=0的正方向上）r=a（1-e2）/（1-ecose）（e为椭圆的离心率=c/a）。一般方程Ax2+By2+Cx+Dy+E=0（A>0，B>0，且A子B）。参数方程x=acose，y=bsine。椭圆的常见问题以及解法例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。

椭圆的定义有两个，具体如下：第一定义平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距。第二定义平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1）的点的轨迹。我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。这两个定义是等价的。椭圆的长半轴、短半轴和面积公式如果把椭圆的任意一条对称轴与椭圆的两个交点所对应的线段都称为椭圆的“轴”，那么较长的那个“轴”被称为椭圆的长轴，较短的那个“轴”被称为椭圆的短轴。习惯上，把椭圆的长轴长度记为“2a”，并把以椭圆的对称中心为端点的长轴的一半称作这个椭圆的长半轴；把椭圆的短轴长度记为“2b”，并把以椭圆的对称中心为端点的短轴的一半称作这个椭圆的短半轴。有了“长半轴”和“短半轴”的概念后，任何一个椭圆的面积公式就可以表述为：“椭圆的面积等于圆周率π与长半轴长、短半轴长这三者间的乘积”，用数学公式可以表示为：S=πab。

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程共分两种情况： 当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)； 当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a^2-c^2=b^2 推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点) 椭圆的对称性 不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。 顶点： 焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0） 短轴顶点：（0，b），（0，-b） 焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a） 短轴顶点：（b,0），（-b,0） 注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。 焦点： 当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0) 当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

第一定义：平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：|PF1|+|PF2|=2a其中两定点。其中F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距。第二定义：平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点f为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在x轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在y轴上]）。其他定义：根据椭圆的一条重要性质，也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e^2-1。可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况，还有k应满足<0且不等于-1。扩展资料：在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。参考资料：百度百科-椭圆

椭圆的标准方程如下：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)。其中a^2-c^2=b^2。推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)。极坐标方程（一个焦点在极坐标系原点，另一个在0=0的正方向上）r=a（1-e2）/（1-ecose）（e为椭圆的离心率=c/a）。一般方程Ax2+By2+Cx+Dy+E=0（A>0，B>0，且A子B）。参数方程x=acose，y=bsine。椭圆的常见问题以及解法例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。

椭圆的基本性质有：椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

圆规画椭圆方法：1、用直尺画出两条相互垂直的线，并确定 ABCDO5个点。2、AB为长轴CD为短轴，连接AC，以O为圆心，OA为半径画圆弧，交CD与点E。3、以C为圆心，CE为半径画弧，交AC于点F，以A为圆心，AF为半径画弧。4、以F为圆心AF为半径画圆，两圆弧相交G点和H点，连接G点和H点，交AB于O1点，交CD于O2点。5、以O为圆心，OO1的长为半径画圆，交OB于O3。6、以O为圆心，OO2的长为半径画圆，交OB于O4。7、以O1为圆心，O1A的长为半径画圆弧，以O3为圆心，O3B的长为半径画圆弧。8、以O2为圆心，O2C为半径画圆弧，以O4为圆心，O4D为半径画圆弧。

椭圆的解释 [ellipse;elliptic] 一种 规则 的卵形线;特指平面两定点(焦点)的距离之和为一常数的所有点的轨迹 详细解释 亦作“ 椭圜 ”。长 圆形 。 清 姚鼐 《罗雨峰鬼趣图》 诗：“君看隙外光，穿落窗中壤，或方或椭圜，横斜直曲枉。” 杨沫 《 青春 之歌》 第一部第一章：“她的脸庞是椭圆的、白晳的， 晶莹 得好像透明的玉石。” 词语分解 椭的解释 椭 （椭） ǒ 〔椭圆〕长圆形。 （椭） 部首 ：木； 圆的解释 圆 （圆） á 从中心点到周边任何一点的距离都相等的形：圆形。圆圈。圆周。圆锥。圆柱。 完备，周全： 圆满 。圆全。 使之周全： 自圆其说 。圆谎。圆场。 占梦以决吉凶：圆梦。 宛转，滑利： 圆滑 。圆润。 运转

椭圆是指所有到两个定点距离之和为定值的点的集合

椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数大于|F1F2|的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a2a>|F1F2|。椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线，椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

椭圆体积公式：V= 4/3*（πabc） (a与b,c分别代表x轴、y轴、z轴的一半)。表面积：标准公式：S=2*π*cd*dx的0到a的积分的2倍 =4/3ab*π。椭圆是一个几何图形，它可以由与一个给定点到平面上所有点的距离之和等于常数的性质来定义。在椭圆中，这个给定点称为焦点，而这个常数称为焦距。椭圆也可以被定义为一个平面上到两个给定点距离之和等于常数的点的轨迹。更具体地说，椭圆可由以下特点定义：1. 有两个焦点F1和F2，它们位于椭圆的长轴上，且距离为2a，其中a为椭圆的半长轴的长度。2. 椭圆的两个焦点与任意一点P到焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的离心率e定义为焦距与半长轴之比，即e = c/a，其中c是焦距的长度。椭圆具有许多特点和性质，例如对称性、四个顶点和两个焦点之间的关系，以及与长轴、短轴和离心率相关的性质。椭圆在数学、物理、工程和其他领域中有着广泛的应用，例如天体轨道、电子轨道等。当我们进一步扩展椭圆的定义时，可以涉及到以下内容：1. 椭圆的方程：椭圆可以用数学方程来描述。在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。2. 椭圆的焦点性质：椭圆的一个重要性质是焦点定理。根据焦点定理，椭圆上的任意一点P到两个焦点之间的距离之和等于椭圆的长轴的长度。即|PF1| + |PF2| = 2a。3. 椭圆的参数方程：除了直角坐标系中的方程表示，椭圆也可以用参数方程来描述。通常使用参数t来表示椭圆上的点的位置，参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)。4. 椭圆的离心率：离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。它定义为焦距与半长轴的比例，即e = c/a。离心率决定了椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于一个细长的形状。5. 椭圆的重要性质：椭圆有许多重要的几何性质。例如，椭圆的周长可以由椭圆的参数计算，周长公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的椭圆积分。椭圆还有弦长、面积、切线和法线等各种几何性质。6. 椭圆的应用：椭圆在许多领域中有着广泛的应用。在天体力学中，行星轨道通常被建模为椭圆轨道。在工程学中，抛物面天线和椭圆镜面反射器等设备也利用了椭圆的特性。此外，椭圆还在密码学、信号处理和图像处理等领域中有着重要的应用。总之，扩展椭圆的定义可以涵盖更多的数学方程、性质、参数、应用和解释。这些概念和应用有助于更深入地理解和应用椭圆。

椭圆方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a^2-c^2=b^2。椭圆方程介绍在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆，椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0(圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

e=c/ac为焦半距a为长半轴e=1时方程图像为抛物线准线方程为x=正负a方/c或y=正负a方/c

1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时： + =1(a＞b＞0) 当焦点在y轴上时： + =1(a＞b＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2 (2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上. (3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.

椭圆的定义有两个，具体如下：第一定义平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距。第二定义平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1）的点的轨迹。我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。这两个定义是等价的。椭圆的长半轴、短半轴和面积公式如果把椭圆的任意一条对称轴与椭圆的两个交点所对应的线段都称为椭圆的“轴”，那么较长的那个“轴”被称为椭圆的长轴，较短的那个“轴”被称为椭圆的短轴。习惯上，把椭圆的长轴长度记为“2a”，并把以椭圆的对称中心为端点的长轴的一半称作这个椭圆的长半轴；把椭圆的短轴长度记为“2b”，并把以椭圆的对称中心为端点的短轴的一半称作这个椭圆的短半轴。有了“长半轴”和“短半轴”的概念后，任何一个椭圆的面积公式就可以表述为：“椭圆的面积等于圆周率π与长半轴长、短半轴长这三者间的乘积”，用数学公式可以表示为：S=πab。

一是椭圆定义、二是几何性质、三是平面内的动点到两定点A1(a,0)、A2(-a,0)的斜率乘积等于常数 e^2- 1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于 - 1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.

椭圆第一定义：椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。椭圆第二定义：椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆第三定义：椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆焦点是指平面上到两个固定点的距离之和等于常数的动点P的轨迹中的这两个固定点，也就是椭圆的两个焦点

平面内到两个定点的距离之和等于定值(大于两点间距离)的点的轨迹。两个定点叫椭圆的焦点，两个定点间距离叫焦距。

1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时： + =1(a＞b＞0) 当焦点在y轴上时： + =1(a＞b＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2 (2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上. (3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.

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