数学建模——线性规划模型的问题！

设置步骤如下：1、单击“文件——选项——加载项——（Excel加载项）转到”，出现“加载宏”对话框，如下图所示。选择“规划求解加载项”，单击“确定”。2、此时，在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组，如下图所示。3、使用Excel求解线性规划问题时，电子表格是输入和输出的载体，因此设计良好的电子表格，更加易于阅读。4、然后将其复制到下方相应的单元格中。单击“数据——分析——规划求解”，出现如下图所示的“规划求解参数”对话框，设计相应的参数。6、并且单击“添加”按钮，添加相应的约束，如下图所示。7、设置好参数后，单击“规划求解参数”对话框中的“求解”按钮，结果如下图所示。

混合整数线性规划模型的含义：线性规划模型(Linear Programming, LP)：LP的定义比较简单，它指的就是目标函数是线性的，所有约束也是线性的，最后，决策变量可以取任何的实数。如果在线性规划问题中有部分决策变量要求必须是整数， 那么这时的规划问题就转变成混合整数线性规划问题了。也就是说优化问题不止有条件约束，还有整数约束。要了解什么是混合整数线性规划模型，第一步是要了解什么是线性规划模型(Linear Programming, LP)。LP的定义比较简单，它指的就是目标函数是线性的，所有约束也是线性的，最后，决策变量可以取任何的实数。举个例子：超市里头有卖3种食品，玉米，牛奶和面包，价格，所含的维他命A和卡路里的信息见上表。现在的问题是买多少份的玉米，牛奶，面包，使得总价格最低，而维他命A的总摄取量不小于500但不大于50000，卡路里的总摄取量不小于2000但不大于2250。现在回到之前的问题，如果在线性规划问题中有部分决策变量，比如上面的X_corn要求必须是整数， 那么这时的规划问题就转变成混合整数线性规划问题了。

线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、技术/工艺系数、右端常数。线性规划模型是指一种特殊形式的数学规划模型，即目标函数和约束条件是待求变量的线性函数、线性等式或线性不等式的数学规划模型。

在线性规划的问题中，称满足约束条件（既满足线性的约束和非负约束）的一组变量x=（x1，x2，x3，x4............）T为可行解。所有可行解组成的集合成为可行域。使目标函数取最大值（或者最小值）的可行解称为最优解。解的特性：（1）线性规划问题的可行解（可行域）为凸集。（2）可行解集S中的点X是顶点的充要条件是X为基本可行解。（3）若可行解有界，则线性规划问题的最优解一定可以在其顶点上达到。

线性规划问题的形式特征三个要素组成：1. 变量或决策变量2. 目标函数3. 约束条件

价值系数，技术系数，限定系数。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支。线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数，技术系数，限定系数。

简述线性规划的建模包括内容：1、每种产品的单位产量利润是已知的常数。2、每种产品所使用的生产方式为已知，而他们的规模收益不变，即如果投入要素增加1倍，产量也增加一倍。3、企业能够得到的投入要素的数量有限，而且已知。4、企业的目标是谋求利润的最大。模型简介一种特殊形式的数学规划模型，即目标函数和约束条件是待求变量的线性函数、线性等式或线性不等式的数学规划模型。它可用于解决各种领域内的极值问题。它所描述的典型问题是怎样以最优的方式在各项活动中间分配有限资源的问题。任何一个线性规划问题可以按下列方式表述：假设有м项有限的资源要在n项活动中间进行分配。

线性规划模型的一般形式和标准形式是有区别的。线性规划标准形式特点:1、目标函数:目标函数都是求最大值，如果出现最小值，那么将其转为求最大值的形式。2、约束条件:约束条件都是等式方程，等式右侧的常数项bib_ibi大于等于000。3、决策变量:决策变量xjx_jxj大于等于0。

【答案】：线性规划是指在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。运用线性规划建立数学模型的步骤是：（1）确定影响目标的变量；（2）列出目标函数方程；（3）找出实现目标的约束条件；（4）找出使目标函数达到最优的可行解，即为该线性规划的最优解。

线性规划模型包括哪些要素（） A.目标函数B.约束条件C.决策变量D.可行解E.基变量正确答案：目标函数；约束条件；决策变量

1．3 线性规划模型的标准型 线性规划规划模型的表示形式有多种，但为研究分析方便，本教材确定如下形式为线性规划模型的标准型 问题的提出 例1．（生产优化计划）p.8 已知 产品1 产品2 资源总量 设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16公斤 原材料B 0 4 12公斤 利润（元） 2 3求解： 目标函数：MAX 2X1+3X2约束条件：X1+2X2≤8 4X1 ≤16 4X2≤12 X1≥0 ，X2≥0该方程即问题的线性规划模型。 线性规划模型由目标函数，约束条件组成，其中目标函数可以求最大化，也可以求最小化；约束条件由资源约束和自然约束组成，资源约束条件可以是大于等于，小于等于，或严格等于，自然约束条件常称为非负约束。

max Z =5x1+15x23x1 +4x2 + x3 = 9 5x1 +2x2 + x4 = 8 x1 uff0cx2, x3, x4u22650

线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题。线性规划方法的数学模型 目标函数： 式中， xi--i产品的计划产量； aik--每生产一个i产品所需k种资源的数量； bk--第k种资源的拥有量； Ui--i产品的最高需求量； Li--i产品的最低需求量； pi--i产品的单价； ci--i产品的单位成本。[编辑本段]运用线性规划模型进行总生产计划时的问题 1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就使得线性规划模型过于理想化； 2、实际运用线性规划模型时，虽然一些因素或约束条件被考虑到了，但是由于这些因素或约束条件不易量化或求得（如进行总生产计划常需考虑到的能源单耗就不易求得）时，线性规划模型的运用和有效性因而受到了一定的限制； 3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得到； 4、目标函数中的产为成本系数c实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种结构而变。这些问题给机械行业应用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得的结果的可靠性会很低的。[编辑本段]线性规划模型的适用性 线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。[编辑本段]线性规划问题的一般解法 对于一般线性规划问题： Min z=CX S.T. AX =b X>=0 其中A为一个m*n矩阵。 若A行满秩 则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。 用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为： 规划问题2： Min z=CB XB+CNXN S.T. B XB+N XN = b (1) XB >= 0, XN >= 0 (2) (1)两边同乘于B-1，得 XB + B-1 N XN = B-1 b 同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为： 规划问题3： Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN S.T. XB+B-1N XN = B-1 b (1) XB >= 0, XN >= 0 (2) 令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4： Min z= ζ + σ XN S.T. XB+ N XN = b (1) XB >= 0, XN >= 0 (2) 在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。 上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A） 乘以增广矩阵 。所以重在选择B，从而找出对应的CB。 若存在初始基解 若σ>= 0 则z >=ζ。同时，令XN = 0，XB = b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。 若σ >= 0不成立 可以采用单纯形表变换。 σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。 若Pj <=0不成立 则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件（1）的两边乘以矩阵T。 T= 则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要： l ai，j>0。 l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。 n 若aq,j<=0，上式一定成立。 n 若aq,j>0，则需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要选择i使得βi/ ai,j最小。 如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。 转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。 若对于每一个i，ai,j<=0 最优值无界。 若不能寻找到初始基解 无解。 若A不是行满秩 化简直到A行满秩，转到若A行满秩。

线性规划模型的对偶性，对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上，线性规划对偶问题的最优解，就是资源的影子价格，它对于线性规划模型的经济分析，用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的好，影子价格就高，反之亦然。影子价格是一种边际价格（对偶变量在经济上表示原问题第i种资源的边际价值） 。影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格，卖出资源；当市场价小于影子价格，买入资源，组织生产。影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。扩展资料对偶理论则广泛应用于经济分析中。例如，在经济均衡的分析中，可以通过设计优化模型，运用对偶理论和模型体系研究市场均衡及其实现均衡所需要的基本条件。对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换（对偶化），由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解（维数）得内射分解（维数）、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。参考资料来源：百度百科-对偶参考资料来源：百度百科-对偶问题

简单的线性规划　　（1）求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：　　①作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；　　②平移——将l平行移动,以确定最优解所对应的点的位置；　　③求值——解有关的方程组求出最优点的坐标,再代入目标函数,求出目标函数的最值

二、建立“运输问题的表格模型”。（25分）某工厂根据合同从当年起连续四年末各提供四台规格型号相同的大型设备。已知该工厂这四年内生产此设备的能力及每台设备的成本如下表所示。已知加班生产时，每台设备的成本比正常高出10%，又知生产出来的设备当年不交货，每台每积压一年所造成的积压损失为3万元。在签合同时，该厂已积压了一台未交货的设备，该厂希望在第四年末完成合同后还能储存一台备用。问该厂应如何安排每年设备的生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的费用为最少？三、建立线性多目标规划模型。（20分）一个投资者决定在三个项目中投资，投资总额为100000元，这三个项目是储蓄、债券和股票。预计每个投资项目的年均收益分别是4%、8%、16%。投资者希望的目标是，第一优先级目标：至少得到8000元的年均收益；第二优先级目标：股票投资尽可能等于债券和储蓄投资的总和；第三优先级目标：股票投资最少为20000元；第四优先级目标：储蓄投资应在15000元到30000元之间。试问投资总额应如何分配？四、建立线性整数规划模型。（30分）某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利110%， 但要求第一年若有投资时投资最低金额为3万元，最高为4万，第二、三、四年不限；项目B：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利120％，但规定最低投资金额为2万元，最高金额为4万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为3万元或为5万元或为6万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息5%，此项投资金额不限。该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?

这是个有趣的问题，但要有数据要求，你有吗？请补充。

1.打开一个EXCEL表格，然后输入线性规划的目标函数，约束条件，值域等信息。2.把线性规划方程式改写成便于EXCEL表格操作的形式。3.在目标函数里面输入相应的方程式。4.在约束条件里面输入方程式，其中$H$15代表的是H列15行的绝对值，然后其它的约束条件待H列15行这个单元格拖动鼠标右下角出现“+”的形状的时候往下拖动鼠标，即完成了相应的约束条件的设置。5.点击“数据","模拟分析”，“规划求解”。6.在设置目标，更改可变单元格，遵守约束几个地方进行相应的设置。7.最后的计算结果.

整数线性规划模型分类:若I={0,1},J={1,…,n},即全部的决策变量仅取0或1,称之为0-1规划;若J是{1,2…n}的非空真子集,即仅有部分决策变量要求取整数,称为混合整数线性规划;若J={1,2,…n},即全部的决策变量都取整数,称为纯整数线性规划;http://202.204.115.67:8080/files/files_upload/content/material_227/chapter_HVj/33605.ppt

相同点：都有决策变量、目标函数和约束条件线性规划模型存在的局限性：（不同点）1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非所有约束都需要严格满足。2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目标和约束可以相互转化。3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解就可以。

整数规划 integer programming 一类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学规划。 一般认为非线性的整数规划可分成线性部分和整数部分，因此常常把整数规划作为线性规划的特殊部分。在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求解答必须是整数。例如，所求解是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是01规划，它的变数仅限于0或1。 整数规划与组合最优化从广泛的意义上说，两者的领域是一致的，都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足一定标准的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如，背袋（或装载）问题、固定费用问题、和睦探险队问题（组合学的对集问题）、有效探险队问题（组合学的覆盖问题）、送货问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。 整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的 ，30多年来发展出很多方法解决各种问题。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即 ，再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。 0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。

看你怎么定义“一般”——“一般”来说，由于增加约束条件也不会增多解（因为解一定要满足已有的约束条件），所以增加约束条件是无法增多解的，，，那么除非你增加的条件能够被其余条件线性表出，否则根据线性代数的知识，新的约束空间一定会减小——同理，减少约束条件“一般”会让可行域范围扩大。

设置四个变量：a,b,c,n 分别表示 2.9m的用量，2.1m的用量，1.5m的用量 7.4m的用量则有：min 2.9a + 2.1b + 1.5c + 7.4n st a = 100 b = 100 c = 100 2.9a + 2.1b + 1.5c - 7.4n < 0 8a + 4 b + 6c -19n < 0end 求得 最少要用95根

太多了微观有微观模型，宏观有宏观模型从最简单的微观的消费需求模型到供给函数模型，到宏观凯恩斯的IS、LM模型，以及各种流派的模型，非常多尤其是90年代以来，随着数学在经济学中的应用越来越普遍，很多以前的理论都被模型化了，而新的理论几乎大多都用模型来阐述

设配料1,2,3,4分别为x,y,z,w,目标成本为c.c=20x+30y+30z+40w且满足1/2 x+3/4y+2/5z+2/5w>=151/3x+1/4y+3/5z+1/3w>=20x,y,z,w>=0用Matlab求解[x,fval]=linprog([20;30;30;40],-[1/2,3/4,2/5,2/5;1/3,1/4,3/5,1/3],[-15;-20],[],[],zeros(4,1))x = 6.0000 0.0000 30.0000 0.0000fval = 1.0200e+003所以，选择配料1 6个单位，配料3 30个单位，总成本最低，1020.

有统一算法，任何线性规划问题都能求解。物流资源分配方案线性规划在物流工程中得到了广泛的应用，数学模型特征是有统一算法，任何线性规划问题都能求解。线性规划是数学规划中理论成熟，方法有效，应用最广泛的一个分支。

线性规划问题的形式特征三个要素组成：1. 变量或决策变量2. 目标函数3. 约束条件

1.打开一个EXCEL表格，然后输入线性规划的目标函数，约束条件，值域等信息。2.把线性规划方程式改写成便于EXCEL表格操作的形式。3.在目标函数里面输入相应的方程式。4.在约束条件里面输入方程式，其中$H$15代表的是H列15行的绝对值，然后其它的约束条件待H列15行这个单元格拖动鼠标右下角出现“+”的形状的时候往下拖动鼠标，即完成了相应的约束条件的设置。5.点击“数据","模拟分析”，“规划求解”。6.在设置目标，更改可变单元格，遵守约束几个地方进行相应的设置。7.最后的计算结果.

不能存在。在线性规划问题中，不能存在严格不等式。也就是说，形如x1+x2<3的约束条件是不合法的。因此没有严格的不等式约束。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

用Lingo软件求解线性规划模型,可以 A.求出最优解 B.知道哪些约束为紧约束 C.求出最优解得个数 D.灵敏度分析 正确答案：ABD

1．3线性规划模型的标准型线性规划规划模型的表示形式有多种，但为研究分析方便，本教材确定如下形式为线性规划模型的标准型问题的提出例1．（生产优化计划）p.8已知产品1产品2资源总量设备128台时原材料a4016公斤原材料b0412公斤利润（元）23求解：目标函数：max2x1+3x2约束条件：x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1≥0，x2≥0该方程即问题的线性规划模型。线性规划模型由目标函数，约束条件组成，其中目标函数可以求最大化，也可以求最小化；约束条件由资源约束和自然约束组成，资源约束条件可以是大于等于，小于等于，或严格等于，自然约束条件常称为非负约束。

二、建立“运输问题的表格模型”。（25分）某工厂根据合同从当年起连续四年末各提供四台规格型号相同的大型设备。已知该工厂这四年内生产此设备的能力及每台设备的成本如下表所示。已知加班生产时，每台设备的成本比正常高出10%，又知生产出来的设备当年不交货，每台每积压一年所造成的积压损失为3万元。在签合同时，该厂已积压了一台未交货的设备，该厂希望在第四年末完成合同后还能储存一台备用。问该厂应如何安排每年设备的生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的费用为最少？三、建立线性多目标规划模型。（20分）一个投资者决定在三个项目中投资，投资总额为100000元，这三个项目是储蓄、债券和股票。预计每个投资项目的年均收益分别是4%、8%、16%。投资者希望的目标是，第一优先级目标：至少得到8000元的年均收益；第二优先级目标：股票投资尽可能等于债券和储蓄投资的总和；第三优先级目标：股票投资最少为20000元；第四优先级目标：储蓄投资应在15000元到30000元之间。试问投资总额应如何分配？四、建立线性整数规划模型。（30分）某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利110%， 但要求第一年若有投资时投资最低金额为3万元，最高为4万，第二、三、四年不限；项目B：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利120％，但规定最低投资金额为2万元，最高金额为4万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为3万元或为5万元或为6万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息5%，此项投资金额不限。该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?希望对你能有所帮助。

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

误区二

线性规划模型的对偶性，对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上，线性规划对偶问题的最优解，就是资源的影子价格，它对于线性规划模型的经济分析，用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的好，影子价格就高，反之亦然。影子价格是一种边际价格（对偶变量在经济上表示原问题第i种资源的边际价值） 。影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格，卖出资源；当市场价小于影子价格，买入资源，组织生产。影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。扩展资料对偶理论则广泛应用于经济分析中。例如，在经济均衡的分析中，可以通过设计优化模型，运用对偶理论和模型体系研究市场均衡及其实现均衡所需要的基本条件。对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换（对偶化），由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解（维数）得内射分解（维数）、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。参考资料来源：百度百科-对偶参考资料来源：百度百科-对偶问题

1.确定决策变量---可以不算组成部分；2.确定目标函数；3.确定不等式约束，形如AX<b，要确定A矩阵,b向量；4.确定等式约束，形如AeqX=beq，要确定Aeq矩阵,beq向量；5.确定决策变量的上下界lb,ub向量；

线性规划是用直线解决问题，而非线性规划是曲线甚至更复杂的图像解决问题。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。非线性规划具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。 线性规划的三要素 线性规划问题的形式特征，三个要素组成： 1、变量或决策变量； 2、目标函数； 3、约束条件。 求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。 线性规划的特点 线性规划建立的数学模型具有以下特点： 1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。 2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 3、约束条件也是决策变量的线性函数。 当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

1．3 线性规划模型的标准型 线性规划规划模型的表示形式有多种，但为研究分析方便，本教材确定如下形式为线性规划模型的标准型 问题的提出 例1．（生产优化计划）p.8 已知 产品1 产品2 资源总量 设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16公斤 原材料B 0 4 12公斤 利润（元） 2 3求解： 目标函数：MAX 2X1+3X2约束条件：X1+2X2≤8 4X1 ≤16 4X2≤12 X1≥0 ，X2≥0该方程即问题的线性规划模型。 线性规划模型由目标函数，约束条件组成，其中目标函数可以求最大化，也可以求最小化；约束条件由资源约束和自然约束组成，资源约束条件可以是大于等于，小于等于，或严格等于，自然约束条件常称为非负约束。

1．3 线性规划模型的标准型 线性规划规划模型的表示形式有多种，但为研究分析方便，本教材确定如下形式为线性规划模型的标准型 问题的提出 例1．（生产优化计划）p.8 已知 产品1 产品2 资源总量 设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16公斤 原材料B 0 4 12公斤 利润（元） 2 3求解： 目标函数：MAX 2X1+3X2约束条件：X1+2X2≤8 4X1 ≤16 4X2≤12 X1≥0 ，X2≥0该方程即问题的线性规划模型。 线性规划模型由目标函数，约束条件组成，其中目标函数可以求最大化，也可以求最小化；约束条件由资源约束和自然约束组成，资源约束条件可以是大于等于，小于等于，或严格等于，自然约束条件常称为非负约束。

Minz=x1-x2+3x3+0x4+0x5+0x6引入变量x4，x5，x6s.t x1+x2+x3=10 5x1-7x2+3x3=+x4-8 x1+x2+x5=2 x3+x6=18 x1≥0,x2≤0,x3无符号限制

设计划生产甲产品x件、乙产品y件，利润为z,则x,y满足2x+2y≤12x+2y≤84x≤164y≤12x,y 为自然数目标函数z=2x+3y由线性规划知在2x+2y=12，x+2y=8的交点（4，,2）利润z有最大值为2×4+3×2=14

简单的线性规划（1）求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；②平移——将l平行移动,以确定最优解所对应的点的位置；③求值——解有关的方程组求出最优点的坐标,再代入目标函数,求出目标函数的最值

在一个线性规划模型的标准型下,当某个基被选定之后,这个基对应的非基变量值都被令为0,此时这个线性规划模型标准型的约束条件部分就成为了一个仅包含基变量的线性方程组,

这个问题是很简单的线性规划模型： 设X11表示第1个制造企业运往第1个销售点的运量，X12表示第1个制造企业运往第2个销售点的运量，依此类推，可以理解X13,X21,X22,X23.则可以建立如下的线性规划模型： 目标函数：min Z=50*X11+60*X12+70*X13+60*X21+110*X22+160*X23; 约束条件： X11+X12+X13=35; X21+X22+X23=43; X11+X21=28; X12+X22=31; X13+X23=19; 此模型可以用单纯形法用手算求解，也可用lingo求解可以得出如下结果： Global optimal solution found. Objective value: 5620.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 40.00000 X12 16.00000 0.000000 X13 19.00000 0.000000 X21 28.00000 0.000000 X22 15.00000 0.000000 X23 0.000000 40.00000即A1运往B2的量为16，A1运往B3的量为19，A2运往B1的量为28，A2运往B1的量为15，其他的都为0，最小运费为：5620

max = 3x1-9x2+2x3s.t.4x1-x2-3x3 = -2x1+x2+3x3+x4 = 142x1-3x2+x3 +x5 = 2

什么是线性规划方法? 线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题。 线性规划方法的数学模型 目标函数: 式中， xi--i产品的计划产量; aik--每生产一个i产品所需k种资源的数量; bk--第k种资源的拥有量; Ui--i产品的最高需求量; Li--i产品的最低需求量; pi--i产品的单价; ci--i产品的单位成本。 运用线性规划模型进行总生产计划时的问题 1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就使得线性规划模型过于理想化; 2、实际运用线性规划模型时，虽然一些因素或约束条件被考虑到了，但是由于这些因素或约束条件不易量化或求得(如进行总生产计划常需考虑到的能源单耗就不易求得)时，线性规划模型的运用和有效性因而受到了一定的限制; 3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得到; 4、目标函数中的产为成本系数c实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种结构而变。这些问题给机械行业应用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得的结果的可靠性会很低的。 线性规划模型的适用性 线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。

具体原因如下:变量一般是目标函数.把目标函数看做函数，找最优解就行了.变量函数一般是画成可行域来由目标函数求最优解的.线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示.

网络最大流问题可以归结为线性规划模型就是在容量网络中，寻找流量最大的可行流。最大流问题，是网络流理论研究的一个基本问题，求网络中一个可行流f，使其流量v（f）达到最大，这种流f称为最大流，这个问题称为（网络）最大流问题。

g

联系我，我有运筹学类型题的网址