因式分解教案

因式分解就是把一个多项式变成几个因式的积的形式。

下德国的法国的风格

把多项式分解成因式有什么意义?因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。为什么分解因时可以知道方程解？因为一些方程10分复杂只有用因式分解使他简便才能知道方程中的未知数之间的关系。OK拉选我吧

一、因式分解的概念： 把一个多项式化为几个整式的积的形式。二、因式分解的方法： （一）提公因式法： 1.公式： ma+mb+mc=m(a+b+c) 2.具体方法 ：①当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数 ②字母取各项的相同字母，而且各字母的指数次数取次数最低的 ③如果多项式的第一项是负的，一般要提 “-”号，使括号中的第一项系数为正（如果多项式中有正项，也可以利用加法交换律，保证括号中的第一项系数为正） 3. 例题讲解 : 2a(y-z)-3b(z-y)  解：原式=2a(y-z)+3b(y-z)         =(y+z)(2a+3b)           （二）公式法 1.公式： 2. 例题讲解 : （三）十字相乘法 3.例题讲解 2.例题讲解 3.二次项系数为1的齐次多项式 例题讲解 4. 二次项系数不为1的齐次多项式例题讲解 （四）分组分解法： 1.定义：对于一个大于四项（包括四项）多项式整体，可以采用分组分解法 。         分组要求：分组对每一组因式分解后，两组之间仍能提公因式。 2. 例题讲解 : （五）拆项、添项分解法： 1. 无中生有法（添项分解法） 例题讲解 2. 各奔东西法（拆项分解法） 例题讲解 3. 各回各家法（拆项分解法） 例题讲解 （六）换元法分解因式： 1. 换单项式 例题讲解 2.换多项式例题讲解 3. 换常数 例题讲解 （七）除为上策法： 例题讲解 分析：观察式子会发现 三次项系数与一次项系数的和 = 二次项系数与常数项的和， 即 1+4=-7+12 ∴当 x=-1 时，原式 =0 即（ x+1 ）是原式的一个因式 因式分解的方法还有很多，但最应该牢记的是因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式。 这是因式分解题型的关键之所在。

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。例如多项式x²-4可被分解为(x+2)(x-2)。

分解因式即把一个多项式化为几个最简整式的积的形式 比如 a²-b²=（a+b)x（a-b） 上式是最基本的因式分解 又比如实际解方程中 X²-3X+2=0 可分解为（X-1）（x-2）=0 则x的解马上可以看出是1或2 到了初二就会学到十字相乘法,就会明白上式是如何得来 到了初三就会学到跟的判别式,也可得出解,但没因式分解方便快捷 到了高中因式分解涉及各个方面,尤其以数学和物理方面运用最广 废话又一大堆,希望对你有用 凸^-^凸

提公因式运用公式十字相乘拆项、添项

根据性质啊例我的数学也还很好，因式分解也不太难的，有技巧的我的老师告诉我们，做因式分解要有技巧，也要按照定义去做，送你四句话，也是我的老师给我们的：首先提取公因式，然后考虑用公式分组分的要合适结果必是连乘式如果老师讲的少，你还可以试试自学！！①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.比如...x^2+6x-7这个式子由于一次幂x前系数为6所以，我们可以想到，7-1=6那正好这个式子的常数项为-7因此我们想到将-7看成7*（-1）于是我们作十字相成x+7x-1的到（x+7）·（x-1）如什么十字相乘法，提公因式，立方和立方差，平方差，完全平方，求根公式

把一个式子表示成几项的乘积的形式，称为将该式因式分解了。例如：x^2+3x+2=(x+1)*(x+2)，从左边到右边的过程就是因式分解的过程。所以，因式分解实质就是把一个式子变成几个更简单的式子的乘积的形式。我们说这些更简单的式子，称为因式。要注意的是，因式分解一定要彻底，即分解后的乘积里的那每一个更简单的式子必须不能再化简或分解了，否则被认为分解不彻底，是要扣分的。也举个简单例子：x^4-16=(x^2+4)*(x^2-4)，这时是不完整的，虽然是表示成乘积的形式了，但因为后面的x^2-4还能继续分解，所以应该是：x^4-16=(x^2+4)*(x^2-4)=(x^2+4)*(x+2)*(x-2)才是最终因式分解的结果。希望对你有帮助。

把多项式分解成因式有什么意义?因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。为什么分解因时可以知道方程解？因为一些方程10分复杂只有用因式分解使他简便才能知道方程中的未知数之间的关系。OK拉选我吧

因式分解和分解因式是同样的概念。

因式分解的一般步骤是:一提二套三分解一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则先提公因式;若没有,则套用公式.二套:即套用公式,在没有公因式的前提下,则套用公式,常用公式有:a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2十字相乘法:x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)举例: x^2+5x+6=(x+3)(x+2)三分解:即分组分解法.对于四项或四项以上的,一般都采用这种方法下面主要对分组分解法和其他常见的方法归纳如下．　　一、分组分解因式的几种常用方法．　　1．按公因式分解　　例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．　　分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，　　解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．　　2．按系数分解　　例2 分解因式x3+3x2+3x+9．　　分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．　　解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．　　3．按次数分组　　例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2．　　分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．　　解：原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．　　4．按乘法公式分组　　分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．　　5．展开后再分组　　例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．　　分析：将括号展开后再重新分组．　　解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．　　6．拆项后再分组　　例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．　　分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．　　解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．　　7．添项后再分组　　例7 分解因式x4+4．　　分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．　　解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)　　二、用换元法进行因式分解　　用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．　　例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．　　分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．　　解：令y=x2+3x，则　　原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．　　因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．　　三、用求根法进行因式分解　　例9 分解因式x2+7x+2．　　分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．　　　　四、用待定系数法分解因式．　　例10 分解因式x2+6x-16．　　分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得　　x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得　　b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．　　解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)　　则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2　　∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．

没啥区别啊，我想吃饭，吃饭我想。你觉得有啥区别？

　　知识的学习需要的不仅是大量的做题，更重要的是知识点的累积。我为大家准备了因式分解知识点，欢迎阅读与选择! 　　 一、单项式 　　1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 　　2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 　　3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 　　4、单独一个数或一个字母也是单项式。 　　5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 　　6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 　　7、单独的一个非零常数的次数是0。 　　8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 　　9、单项式的系数包括它前面的符号。 　　10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 　　11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字"1"。 　　12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 　　 二、多项式 　　1、几个单项式的和叫做多项式。 　　2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 　　3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 　　4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 　　5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 　　6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 　　7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 　　 三、整式 　　1、单项式和多项式统称为整式。 　　2、单项式或多项式都是整式。 　　3、整式不一定是单项式。 　　4、整式不一定是多项式。 　　5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。 　　 四、整式的加减 　　1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 　　去括号法则：如果括号前是"十"号，把括号和它前面的"+"号去掉，括号里各项都不变符号;如果括号前是"一"号，把括号和它前面的"一"号去掉，括号里各项都改变符号。 　　2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 　　合并同类项： 　　1).合并同类项的概念： 　　把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 　　2).合并同类项的法则： 　　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 　　3).合并同类项步骤： 　　a.准确的找出同类项。 　　b.逆用分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。 　　c.写出合并后的结果。 　　4).在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的.系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　　b.不要漏掉不能合并的项。 　　c.只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)。 　　说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 　　3、几个整式相加减的一般步骤： 　　1)列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 　　2)按去括号法则去括号。 　　3)合并同类项。 　　4、代数式求值的一般步骤： 　　(1)代数式化简 　　(2)代入计算 　　(3)对于某些特殊的代数式，可采用"整体代入"进行计算。 　　 五、同底数幂的乘法 　　1、n个相同因式(或因数)a相乘，记作an，读作a的n次方(幂)，其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。 　　2、底数相同的幂叫做同底数幂。 　　3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am﹒an=am+n。 　　4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。 　　5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

初中数学说课稿——《因式分解》 　　作为一位优秀的人民教师，通常需要准备好一份说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。那么写说课稿需要注意哪些问题呢？以下是我收集整理的初中数学说课稿——《因式分解》，欢迎大家分享。 初中数学说课稿——《因式分解》1 　　我说课的题目是选自华东师大版，八年级上册，第十四章第四节，因式分解，这是初中数学传统的经典，在新课标的理念下，重新理解它深刻的内涵。 　　为此，我设定说课程序是： 　　一、重新审视因式分解的教育价值 　　二、教材处理的设想 　　三、教学总体设计 　　四、教学过程概述 　　（一）重新审视因式分解的教育价值 　　传统的因式分解，是数学的工具使学生熟练掌握一些因式分解技能技巧，本来十分简单的问题演绎得十分复杂（如填数法，拆项法，凑和法，十字相乘法） 　　新课程把因式分解作为培养学生逆向思维，全面思考，灵活解决矛盾的载体。为此，淡化理论。简化难题，紧紧掌握最基本的教学方法（提取公因式法和公式法）即可。这是新课程体现教育价值最明显的变化。为此，在学生思维方法和对世上的事，要正，反两方面认识上下功夫，是这节课的重要所在。 　　通过整式乘法与因式分解互为逆向变换，使学生澄清这种逆是反过来的变换，不是逆运算—是教学的难点（逆运算，是在一个算式中，以两种形式不同实质不变的两种运算，而因式分解是一种恒等变换的两种说法） 　　为实现本节课的教育价值，在教学目标的确定上，重点考虑我的学生理解能力弱，善于模仿，满足于一知半解，我确定： 　　1、知识的能力目标：理解因式分解的意义，掌握提取公因式法和公式法，激发学生学习兴趣，培养学生创编因式分解题目的能力 　　2、方法与过程目标：采用自学自练的方法，逐见打开学生思维的大门，学会两分法看问题，体验知识发生过程就是学生思维发展的全过程 　　3、情感态度与价值观：通过情境教学，使学生在参与中激发学习情感，关注每一个学生的思维变化，鼓励成功全面体现学生的价值观，使学生满腔热忱，科学积极的态度，投入本节课的学习 　　（二）教材处理设想 　　我以我是教学资源的开发者的身份，重新组织教学内容，增加教学情境的创设，明确目的与动机，用实际问题是学生体验到这节内容的价值（见教学过程） 　　（三）教学总体设计 　　教学总体框架：教师设计生活中的实际问题，使学生在问题情境中展开思考→通过揭示因式分解的概念学习因式分解的意义→学生实践探索，发现提取公因式和公式法→熟练运用这种方法解题，发展学生的理性思维→通过学生的编题活动，培养学生思维创造性。 　　教学的主体是概念与方法20分钟训练上主题部分由学生自主探索，合作学习。 　　（四）教学过程概述 　　教学环节一：创设情境：“去过本溪吗？”“本溪的著名矿产是什么？”〈铁矿〉本溪歪头山的铁矿石，每吨含铁75%，采矿工人第一天采矿石203吨，那么，第一天矿石含铁多少？（75%×203）第二天采矿石198吨含铁（75%×198）第三天采矿216吨，含铁（75%×216）现将这三天采矿石的含铁量总数用代数式表示：75%×203+75%×198+75%×216，还可表示：75%（203+198+216），若果用a表示75%，用x、y、z表示三天的采矿数就有ax+ay+az=a（x+y+z） 　　通过此例，揭示因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，就是因式分解，结合ax+ay+az=a（x+y+z）揭示，这种方法叫提取公因式法“正好相反”通过讨论，认识到整式乘法与因式分解不是逆运算，而是互逆变换，从而突破了教学难点，实现了教学的第一目标 　　教学环节二：思维在探索中展开：教学中，抓住“反过来”让学生从思维的逆向考虑，如何分解因式，这里在学生完成 　　a（x+y+z）=ax+ay+az的基础上，再完成 　　ax+ay+az=a（x+y+z） 　　a2—b2=（a+b）（a—b） 　　a2+2ab+b2=（a+b）（a+b） 　　（制课件） 　　整式乘法因式分解 　　原型单项式与多项式、多项式与多项式相乘单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相加 　　结果多项式因式乘积 　　范围都能完成不能完成：3ab+5ac+7mn 　　在学生的实践过程中，认识到多项式的因式分解是有条件限制的，不是所有的多项式都能因式分解。因此，会观察，判断，十分重要。 　　教学环节三：思维在展开教学中定势：本节课重点，掌握1、提取公因式法2、公式法对于这一新知识点，学生感到陌生，必须先使他们头脑中牢记，这就是先形成的.思维定式 　　例如，公式法中，平方差公式a2—b2=（a+b）（a—b） 　　如—a2+25b216x2—4/9y2 　　特点：1两项式2平方3异号 　　教学环节四：思维在编题中创新：学生在认识整式乘法与因式分解的关系后，就不难编出很多因式分解的题目来（要求编题中，简单，明了，易解） 　　总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习情感，态度的价值观上发生深刻的变化。 初中数学说课稿——《因式分解》2 　　 一、说教材 　　1、说教材的地位与作用。 　　我今天说课的内容是《因式分解》。因式分解就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。它是在学生掌握了因数分解、整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，通过这节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习分式、解方程及代数式的恒等变形作铺垫。因此，它起到了承上启下的作用 　　 二、说目标 　　1、教学目标。 　　《新课标》指出“初中数学的教学，不仅要使学生学好基础知识，发展能力，还要注意培养学生初步的辩证唯物主义观点。”因此，根据本节内容所处的地位，我定如下教学目标： 　　知识目标：理解因式分解的概念和意义，掌握因式分解与整式乘法之间的关系。 　　能力目标： 　　①经历从分解因数到分解因式的类比过程，培养学生的观察、发现、类比、化归、概括等能力； 　　②通过对因式分解与整式乘法的关系的理解，克服学生的思维定势，培养他们的逆向思维能力； 　　情感目标：培养学生乐于探究，合作的习惯，体验探索成功，感受到成功的乐趣。 　　2、教重点与难点。 　　重点是因式分解的概念。理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的灵魂。 　　难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，理由是学生由整式乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前面学了较长时间的整式乘法，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。 　　 三、说教法 　　1、教法分析 　　针对初一学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，我采用启发式、发现法等教学方法，培养学生分析问题，解决问题的能力。同时遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则。 　　2、学法指导 　　在教师的启发下，让学生成为行为主体。正如《新课标》所要求的，让学生“动手实践、自主探索、合作交流”。 　　3、教学手段 　　采用多媒体辅助教学，增加课堂容量，提高教学效果。 　　 四、说教学过程 　　本节课教学过程分以下六个环节： 　　创设情景，引出新知；观察分析，探究新知； 　　师生互动，运用新知；强化训练，掌握新知； 　　整理知识，形成结构；布置作业，巩固提高。 　　具体过程设计如下： 　　第一环节：创设情景，引出新知 　　1、我先出示几个整式乘法的练习，让学生做。教师巡视。 　　学生完成后，教师引导：把上述等式逆过来看一看还成立吗？ 　　△设计意图：安排以上练习：一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，满足“温故而知新”的教学原理。二是为本节课目标的达成作好铺垫。在此基础上引出课题——因式分解。 　　第二环节：观察分析，探究新知 　　2、再让学生练习：当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．教师巡视，并代表性地抽取两名学生板演，给出两种解法。 　　△设计意图：安排这一过程是想利用对比分析，让学生体会，把a2－b2化为整式积的形式，会给计算带来简便，顺应了因式分解概念的引出。 　　3、问题是数学的心脏，而一个好的问题的提出，将会使学生产生求知欲，引发教学高潮，是学生知识及能力获得发展的有效动力。故在教因式分解概念时，我设计以下两个问题： 　　（1）你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？并与小学所学的因数分解作比较。 　　（2）因式分解与整式乘法有什么关系？ 　　让学生分四人小组讨论。归纳因式分解的定义。 　　一个多项式→几个整式＋积→因式分解 　　4、教师板书板书： 　　师生归纳要注意的问题： 　　（1）因式分解是对多项式而言的一种变形； 　　（2）因式分解的结果仍是整式； 　　（3）因式分解的结果必是一个积； 　　（4）因式分解与整式乘法正好相反。 　　△设计意图：通过类比，让学生进一步理解因式分解是整式乘法的逆运算，培养学生逆向思维。 　　第三环节：师生互动，运用新知为了让学生进一步理解因式分解是整式乘法的逆运算，培养学生逆向思维。 　　我特设三个例题，这几个题目完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，使学生真正成为学习的主体。 　　△设计意图：通过例1、例2罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，让学生进一步体会整式乘法与因式分解的互逆关系。促使他们认识概念的本质、确定概念的外延，从而形成良好的认知结构。通过例3体会用分解因式解决相关问题的简捷性。 　　第四环节：强化训练，掌握新知 　　数学家 华罗庚 先生说过：“学数学而不练，犹如入宝山而空返”。适当的巩固性，应用性练习是学习新知识，掌握新知识所必不可少的。为了促进学生对新知识的理解和掌握，我及时安排学生完成两个练习。 　　△设计意图：通过这两个练习让学生学会辨析因式分解这种变形。使学生进一步理解和掌握因式分解，为下一节提取公因式法进行因式分解打基础；同时又训练、培养和发展学生的基本技能和能力。 　　第五环节：整理知识，形成结构。 　　最后我设计了一个表格的形式进行归纳小结。使学生对知识的掌握上升为一种能力，并纳入已有的认知结构，同时也培养了学生的概括提炼能力。 　　第六环节：布置作业，巩固提高 　　在作业上我布置了看书、作业本、思考题。这样既有利于学生巩固所学内容，又让不同层次的学生得到相应的发展。 ;

这个式子在有理数范围内是不可分解的，但在实数范围内可分解为：2x^2-2xy-y^2=3x^2-(x^2+2xy+y^2)=3x^2-(x+y)^2=((根号3)x)^2-(x+y)^2=((根号3)x+(x+y))((根号3)x-(x+y))=((1+根号3)x+y)((1-根号3)x-y).

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解 分解因式的特点；注意分解因式必须进行到每个因式都不能再分解为止希望采纳

初中奥数的知识点1 　　1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。 　　2、常用的因式分解方法： 　　(1)提取公因式法： 　　(2)运用公式法：平方差公式： ; 　　完全平方公式： 　　(3)十字相乘法： 　　(4)分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 　　(5)运用求根公式法： 　　若 的两个根是 、 ，则有： 　　3、因式分解的一般步骤： 　　(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式; 　　(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法; 　　(3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 　　(4)最后考虑用分组分解法。 初中奥数的知识点2 　　 (1)公约数和最大公约数 　　几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 　　例如：4是12和16的最大公约数，可记做：(12 ，16)=4 　　 (2)公倍数和最小公倍数 　　几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 　　 例如：36是12和18的.最小公倍数，记作[12，18]=36。 　　 (3)最大公约数和最小公倍数的关系 　　如果用a和b表示两个自然数 　　1、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是： 　　(a，b)×[a，b]=a×b。 　　(多用于求最小公倍数) 　　2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b] 　　3、[a，b]是(a，b)的倍数，(a，b)是[a，b]的约数 　　4、(a，b)是a+b 和a-b 的约数，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-[a，b]的约数 　　 (4)求最大公约数的方法很多，主要：短除法、分解质因数法、辗转相除法。 　　 例如： 　　1、(短除法)用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少? 　　解：∵ 　　(30，60，75)=5×3=15 　　这个数最大是15。 　　2、(分解质因数法)求1001和308的最大公约数是多少? 　　解：1001=7×11×13(这个质分解常用到) ， 308=7×11×4 　　所以最大公约数是7×11=77 　　在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。 　　3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 　　解：∵4811=2×1981+849， 　　1981=2×849+283， 　　849=3×283， 　　∴(4811，1981)=283。 　　补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。 　　 (5)约数个数公式 　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。 　　例如：求240的约数的个数。 　　解：∵240=24×31×51， 　　∴240的约数的个数是 　　(4+1)×(1+1)×(1+1)=20， 　　∴240有20个约数。

主要知识回顾：幂的运算性质：am·an＝am＋n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．＝amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．（n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．＝am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减．零指数幂的概念：a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．负指数幂的概念：a－p＝（a≠0，p是正整数）任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．也可表示为：（m≠0，n≠0，p为正整数）单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3、乘法公式：①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．4、因式分解：因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2

一、因式分解法的概念和方法1、因式分解的概念及与整式乘法的关系（1）因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。（2）因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，它们目标不同，过程相反，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。2、因式分解的方法（1）提公因式法① 公因式：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。② 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法用字母表示为：$pa+$$pb+$$pc=$$p(a+$$b+$$c)$，$p$既可表示单项式也可表示多项式，$p$称为这个多项式的公因式。（2）公式法① 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。② 完全平方公式：$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。（3）形如$x^2+(p+q)x+pq$型式子的因式分解$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$，利用该式可将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。如：$x^2-$$6x-$$7=$$(x-7)$$(x+1)$，$x^2+$$5x-$$6=$$(x+6)$$(x-1)$。（4）因式分解方法的综合运用对多项式进行因式分解常常是几种方法综合运用，灵活操作。首先，看各项有无公因式，若有公因式，则把它提取出来。其次，观察是否符合完全平方公式或平方差公式，若符合就用公式法分解因式。二、因式分解法的相关例题下列由左边到右边的变形是因式分解的是A．$3x+3y-5=3(x+y)-5$B．$(x+1)(x-1)=x^2-1$C．$x^2-9=(x+3)(x-3)$D．$x+y=xleft(1+ rac{y}{x}ight)(x≠0)$答案：C解析：从左到右变形是因式分解必须满足的特点：第一，左边是多项式， 右边整体是乘积形式；第二，左右两边都是整式；第三，结果分解彻底，A选项右边整体是减法，不是乘积形式，因此不是因式分解；B选项左边是乘积形式而不是多项式，因此不是因式分解；C选项符合因式分解的特点；D选项右边不是整式，因此不是因式分解。

分解因式的方法有什么？

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形，叫做把这个多项式分解因式，也叫因式分解，故，概念上是一回事，无区别。

把多项式分解成因式有什么意义?因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。为什么分解因时可以知道方程解？因为一些方程10分复杂只有用因式分解使他简便才能知道方程中的未知数之间的关系。OK拉选我吧

　　一、因式概念：如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x)整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。　　这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。　　注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。　　一个数也可以看做一个因式。　　二、因式分解概念：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。例如：m²-n²=（m+n）（m-n)　　三、知识点延伸　　1、因式分解原则：　　（1）分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）　　（2）最后结果只有小括号　　（3）最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)　　2、因式分解技巧：　　①因式分解是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。　　②因式分解的结果必须是以乘积的形式表示。　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。　　④因式分解必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。　　注：因式分解前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。　　3、因式分解的方法　　（1）提取公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式。　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　　口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例如：am+bm+cm=m(a+b+c)　　提公因式法基本步骤：　　（1）找出公因式　　（2）提公因式并确定另一个因式　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同　　（2）公式法　　根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。　　立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)　　立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)　　完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3　　公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)　　例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2　　（3）解方程法　　通过解方程来进行因式分解，如：　　X2-6X+8=0 ,解，得X1=2，X2=4，就得到原式=（X-2）（X-4）

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，

一样的意思啊

提公因式法: 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。例如:a+ab=a(1+b)a^3+a^2+a=a(a^2+a+1)2a+4b=2(a+2b)-2a+2b=-(2a+2b)=-2(a+b)举例是举不完的，需要你自己多接触这类的题目。

若干个单项式的和组成的式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）.多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项.如一式中：最高项的次数为5,此式有3个单项式组成,则称其为：五次三项式. 比较广义的定义,1个或0个单项式的和也算多项式.按这个定义,多项式就是整式.实际上,还没有一个只对狭义多项式起作用,对单项式不起的定理：0作为多项式时,次数为负无穷大. 因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式,它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式. 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题) x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题) a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n = (m^2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx^2 +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x^2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x^2 +3x-40 解x^2 +3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 （解答错误太多,请大牛再分一遍吧） 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6 令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为1/2 ,-3,-2,1 则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图像,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6 令y= x^3 +2x^2 -5x-6 作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15 令x=2,则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ,验证后的确如此. 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多

什么是因式分解？忘记了。

分解因式可以简化问题分解因式后多项式都是以乘积的形式存在的，方程的解是0，所以每个因式都可能是0，而这个分解后的方程基本上都是关于未知数的一次项式

在一个式子中，相乘的两个项是互为因式。

提公因式法1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式．2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．因式分解是两个或几个因式积的表现形式整式乘法是多项式的表现形式3．提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。

分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6] =(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 例2分解因式：x4+5x3+15x-9 解析可根据系数特征进行分组 解原式=（x4-9）+5x3+15x =(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) =(x2+3)(x2+5x-3) 附：仅供参考 第4课 因式分解 〖知识点〗 因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。 〖大纲要求〗 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。 〖考查重点与常见题型〗 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 因式分解知识点 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多项式 其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用 写出结果． (3)十字相乘法 对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则 (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. (5)求根公式法：如果 有两个根X1，X2，那么

　　作为一位无私奉献的人民教师，很有必要精心设计一份教案，教案有助于学生理解并掌握系统的知识。优秀的教案都具备一些什么特点呢？以下是我为大家收集的因式分解教案3篇，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 因式分解教案 篇1 　　 【教学目标】 　　1、了解因式分解的概念和意义; 　　2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 　　 【教学重点、难点】 　　重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 　　 【教学过程】 　　一、情境导入 　　看谁算得快：（抢答） 　　(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； 　　(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________； 　　(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。 　　二、探究新知 　　1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400； 　　(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000； 　　(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。 　　2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2， 20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 　　3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。） 　　板书课题：§6.1 因式分解 　　因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做 因式分解 ，也叫 分解因式 。 　　三、前进一步 　　1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2， 20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？ 　　2、因式分解与整式乘法的关系： 　　因式分解 　　结合：a2-b2 （a+b）（a-b） 　　整式乘法 　　说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。 　　结论：因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。 　　四、巩固新知 　　1、 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ 　　(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； 　　(3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）； 　　(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7)k2++2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b·6ac。 　　2、你能写出整式相乘（其中至少一个是多项式）的两个例子，并由此得到相应的.两个多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。 　　五、应用解释 　　例 检验下列因式分解是否正确： 　　(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2). 　　分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。 　　练习 计算下列各题，并说明你的算法：(请学生板演) 　　(1)872+87×13 　　(2)1012-992 　　六、思维拓展 　　1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 　　2．机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m= 　　七、课堂回顾 　　今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。 　　八、布置作业 　　作业本（1） ,一课一练 　　（九）教学反思： 因式分解教案 篇2 　　 教学目标 　　教学知识点 　　使学生了解因式分解的好处，明白它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。 　　 潜力训练要求。 　　透过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生观察潜力和语言概括潜力。 　　 情感与价值观要求。 　　透过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系。 　　 教学重点 　　1、理解因式分解的好处。 　　2、识别分解因式与整式乘法的关系。 　　教学难点透过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。 　　 教学方法观察讨论法 　　 教学过程 　　 Ⅰ、创设问题情境，引入新课 　　导入：由（a+b）（a－b）=a2－b2逆推a2－b2=（a+b）（a－b） 　　 Ⅱ、讲授新课 　　1、讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。 　　993－99=99×98×100 　　2、议一议 　　你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。 　　3、做一做 　　（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=_________;②（y－3）2=__________; 　　③3x（x－1）=_______;④m（a+b+c）=_______;⑤a（a+1）（a－1）=________ 　　（2）根据上面的算式填空： 　　①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）; 　　④y2－6y+9=（）2。⑤a3－a=（）（）。 　　定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式。 　　4。想一想 　　由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ 　　下面我们一齐来总结一下。 　　如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1） 　　ma+mb+mc=m（a+b+c）（2） 　　5、整式乘法与分解因式的联系和区别 　　ma+mb+mcm（a+b+c）。因式分解与整式乘法是相反方向的变形。 　　6。例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ 　　（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; 　　（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2。 　　 Ⅲ、课堂练习 　　P40随堂练习 　　 Ⅳ、课时小结 　　本节课学习了因式分解的好处，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形。 因式分解教案 篇3 　　 教学设计思想： 　　本小节依次介绍了平方差公式和完全平方公式，并结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解。第一课时的内容是用平方差公式对多项式进行因式分解，首先提出新问题：x2-4与y2-25怎样进行因式分解，让学生自主探索，通过整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法，发展学生的逆向思维和推理能力，然后让学生独立去做例题、练习中的题目，并对结果通过展示、解释、相互点评，达到能较好的运用平方差公式进行因式分解的目的。第二课时利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。 　　 教学目标 　　 知识与技能： 　　会用平方差公式对多项式进行因式分解; 　　会用完全平方公式对多项式进行因式分解; 　　能够综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解; 　　提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力。 　　 过程与方法： 　　经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法。 　　 情感态度价值观： 　　通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。 　　 教学重点和难点 　　重点：①运用平方差公式分解因式;②运用完全平方式分解因式。 　　难点：①灵活运用平方差公式分解因式，正确判断因式分解的彻底性;②灵活运用完全平方公式分解因式 　　关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用换元和划归思想。

分解因式和因式分解一样. 这是初中数学里的一个概念。 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。

因式分解即分解因式，就是将1个多项式转化为几个多项式乘积的形式

年龄都是正整数a^2+ab=a(a+b)=99=9*11=3*33那么a=9 a+b=11 b=2或者 a=3 b=30题意说都是小朋友，那应该是第一种(x-2y)(x-4y)---分割---=2x^2(-x^4+16)=2x^2(4-x^2)(4+x^2)=2x^2(4+x^2)(2+x)(2-x)

（X+2)(X-3)(X+4)(X-5)+13 =(x^2-x-6)(x^2-x-20)+13把x^2-x看成整体=(x^2-x)^2-26(x^2-x)+120+13=(x^2-x)^2-26(x^2-x)+133=(x^2-x-19）（x^2-x-7）

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》， 数学 是研究数量关系和空间形式的科学。根据百度百科， 数学 是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。 数学是自然科学和技术科学的基础，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。通过数学学习，不只是提高计算能力，还能够培养和提升抽象思维能力和逻辑推理能力。 义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面进行评估。初中数学是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的第三学段：第三学段（7~9年级）。 第三学段在知识技能方面，一是体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。 二是探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系，能确定位置。 三是体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。 第三学段在数学思考方面，一是通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程， 体会模型的思想，建立符号意识 ；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步 发展空间观念 ；经历借助图形思考问题的过程，初步 建立几何直观 。 二是了解利用数据可以进行统计推断， 发展建立数据分析观念 ；感受随机现象的特点。 三是体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中， 发展合情推理与演绎推理的能力 。 四是能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。 《义务教育数学课程标准（2011年版）》的学段课程内容都分为「数与代数」、「图形与几何」、「统计与概率」、「综合与实践」四个部分。  在学习的时候，按照每册课本的内容进行学习，又可以参照四个部分对每册的内容进行组合，从全局到部分，更好地掌握所学的内容。 （1）了解无理数的概念。无限不循环小数称为 无理数 。 （2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的 算术平方根 ，记作√a，读作「根号a」。一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的 平方根 （也叫做 二次方根 ）。求一个数a的平方根的运算，叫做 开平方 ，a叫做被开方数。一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫做a的 立方根 （也叫做 三次方根 ）。求一个数a的立方根的运算叫做 开立方 ，a叫做被开方数。 （2）掌握平方根和立方根的性质，了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 （3）了解实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数、倒数与绝对值。有理数和无理数统称为 实数 ，即实数可以分为有理数和无理数。 （4）能用有理数估计一个无理数的大致范围。 （5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 （6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做 二次根式 ，a叫做被开方数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式 。化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 （1）了解因式分解的概念。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做 因式分解 （也可称为分解因式）。 （2）了解公因式的概念，能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的 公因式 。如果一个多项式的各项含有公因式，那么久可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做 提公因式法 。根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 。 （5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。用A，B便是两个整式，A÷B可以表示成A/B的形式，如果B中含有字母，那么称A/B为 分式 ，其中A称为分式的 分子 ，B称为分式的 分母 。分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 约分 。分子和分母已没有公因式，这样的分式称为 最简分式 。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。根据公式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。异分母通分时，通常取最简单的公分母（简称 最简公分母 ）作为它们的共同分母。 （6）了解分式方程的概念，能解可化为一元一次方程的分式方程。分母中含有未知数的方程叫做 分式方程 。在分式方程中，使得原分式方程的分母为零的根，称为原方程的 增根 。解分式方程的步骤一般是先化成一元一次方程，再跟进一元一次方程的求解步骤求解，减去增根，就是分式方程的根。 （1）了解二元一次方程和二元一次方程组的概念。含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做 二元一次方程 。共含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做 二元一次方程组 。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个 二元一次方程的一个解 。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个 二元一次方程组的解 。 （2）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并带入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为 代入消元法 ，简称 代入法 。通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做 加减消元法 ，简称 加减法 。 （4）体会二元一次方程与一次函数的关系。一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。 （5）了解三元一次方程和三元一次方程组的概念。含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做 三元一次方程 。共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 三元一次方程组 。三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个 三元一次方程组的解 。 （6）能解简单的三元一次方程组。一般使用代入消元法和加减消元法，化为二元一次方程组求解。 （1）结合具体问题（不等关系），了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。一般地，用符号「＜」（或「≤」）、「＞」（或「≥」）连接的式子叫做 不等式 。 （2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。能使不等式成立的未知数的值，叫做 不等式的解 。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个 不等式的解集 。求不等式解集的过程叫做 解不等式 。左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做 一元一次不等式 。一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 一元一次不等式组 。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个 一元一次不等式组的解集 ，求不等式组解集的过程，叫做 解不等式组 。 （3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 （4）体会一元一次不等式与一次函数的关系，能结合一次函数的图像用坐标系求不等式关系。 （1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量（自变量、因变量）的意义，了解变量间关系的三种表示法（表哥、关系式、图像）。在变量关系中，随自变量的变化而变化的变量是因变量。在变化过程中数值始终不变的量叫做 常量 。 （2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的 函数 ，其中x是自变量。函数的表示方法一般有：列表法、关系式法和图像法。 （3）能结合图像（直角坐标系）对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。 （5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 （6）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 （1）结合具体情境体会一次函数的意义，理解函数和正比例函数的概念，能根据已知条件确定一次函数的表达式。若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的 一次函数 ，特别地，当b＝0时，称y时x的 正比例函数 。 （2）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式 y =  kx  + b ( k ≠0)探索并理解 k ＞0和 k ＜0时，图像的变化情况。把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该 函数的图像 。 （3）体会一次函数与一元一次不等式的关系。 （4）体会一次函数与二元一次方程的关系。一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。 （5）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。先设出函数表达式（一般形式y=kx+b），再根据所给条件（变成二元一次方程组）确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做 待定系数法 。该方法是用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。 （6）能用一次函数解决简单实际问题。 （1）掌握平行线的判定定理。两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。 （2）掌握平行线的性质（定理）。 （1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：（定理）等腰三角形的两底角相等；（推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。了解反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或一直条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 （2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。满足勾股定理a²+b²=c²的三个正整数，称为 勾股数 。勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。了解互逆命题、逆命题和逆定理的概念。 （4）探索并掌握判定直角三角形全等的「斜边、直角边」定理。斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 （5）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 （6）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （7）掌握三角形内角和定理，了解三角形外交的概念及其定理。 （1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义和概念，了解命题的组成。对某些名称和术语形成共同的认识，对名称和术语的含义加以描述，做出明确的固定，就是给出它们的 定义 。判断一件事情的句子，叫做 命题 。一般地，每个命题都由 条件 和 结论 两部分组成。正确的命题称为 真命题 ，不正确的命题称为 假命题 。公认的真命题称为 公理 。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断，演绎推理的过程称为 证明 ，经过证明的真命题称为 定理 。每个定理都只能用公理、定义和已证明为真的命题来证明。由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论。 （2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为 互逆命题 ，其中一个命题称为另一个命题的 逆命题 。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的 逆定理 。 （3）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。 （4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 （5）通过实例体会反证法的含义。 （1）理解轴对称与坐标的变化。 （1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 （2）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。 （1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，任意一组对应点分别与旋转中心连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为 旋转 ，这个定点称为 旋转中心 ，转动的角度称为 旋转角 。 （2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做 中心对称图形 ，这个点叫做它的 对称中心 。 （1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置（回顾四年级上册图形与几何的方向与位置的内容）。在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应。 （2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 （3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 （4）能用平面直角坐标系描述轴对称的位置变化。 1.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述。一般地，对于n个数x1，x2，...，xn，我们把（x1+x2+...+xn）/n叫做这n个数的 算术平均数 ，简称 平均数 。 加权平均数 是不同比重数据（权）的平均数。一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 2. 体体会刻画数据离散程度的意义，了解极差，会计算简单数据的方差，了解它们是刻画数据离散程度的统计量。一组数据中最大数据与最小数据的差（称为极差），是刻画数据离散程度的一个统计量。 方差 是各个数据与平均数差的平方的平均数，而 标准差 就是方差的算术平方根。一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 根据标准，在7-9年级是《义务教育数学课程标准（2011年版）》第三学段，数学课程内容（含每个年级）也可以分为「数与代数」、「图形与几何」、「统计与概率」等几个部分。并且，每一册的内容是否都有「数与代数」、「图形与几何」、「统计与概率」三个部分的内容。初中数学的学习，是要获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本方法、基本活动经验。

　　因式分解是初中 八年级 数学中一个重要的知识点，老师在教学之前怎么准备教案呢？下面我为你整理了初中数学因式分解的教案设计，希望对你有帮助。　　初中数学因式分解教案设计 　　一、案例背景 　　现代 教育 理论认为，教师为主导，学生为主体，教师应当充分调动学生的学习积极性，使之主动地探索、研究，让学生都参与到课堂活动中，通过学生自我感受，培养学生观察、分析、归纳的能力，逐步提高自学能力，独立思考的能力，发现问题和解决问题的能力，逐渐养成良好的个性品质。 　　因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。 　　二、案例分析 　　教学过程设计 　　(一)『情境引入』 　　情境一：如何计算375×2.8+375×4.9+375×2.3 ?你是怎么想的? 　　问题：为什么375×2.8+375×4.9+375×2.3可以写成375×(2.4+4.9+2.3)?依据是什么? 　　【评析】：(1)、复习旧知，加深记忆，同时为下面的学习作铺垫。 　　(2)、学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算 方法 ，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高。还为新课内容的学习创设了良好的情绪和氛围。 　　情境二：分析比较 　　把单项式乘多项式的乘法法则 　　a(b+c+d)=ab+ac+ad ① 　　反过来，就得到 　　ab+ac+ad =a(b+c+d)② 　　思考(1)你是怎样认识①式和②式之间的关系的? 　　(2)②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗?你能说出这个因式吗? 　　【评析】：(1)、探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。 　　(2)、本题注重培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。 　　(二)『探究因式分解』 　　1、认识公因式 　　(1)、【概念1】：多项式ab+ac+ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式。 　　(2)、议一议 　　下列多项式的各项是否有公因式?如果有，试找出公因式. 　　①多项式a2b+ab2的公因式是ab，…… 公因式是字母; 　　②多项式3x2-3y的公因式是3，…… 公因式是数字系数; 　　③多项式3x2-6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。 　　分析并猜想 　　确定一个多项式的公因式时，要从 和 两方面，分别进行考虑。 　　①如何确定公因式的数字系数? 　　②如何确定公因式的字母?字母的指数怎么定? 　　练一练：写出下列多项式各项的公因式 　　(1)8x-16 (2)2a2b-ab2 　　(3)4x2-2x (4)6m2n-4m3n3-2mn 　　【评析】：(1)、教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和 经验 ，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。 　　(2)、对公因式的理解是因式分解的基础，所以在解决这个问题时要注意配以练习，特别是多次方及系数的公因式，要让学生注意。 　　(3)、找公因式的一般步骤可归纳为：一看系数　二看字母　三看指数。 　　2、认识因式分解 　　【概念2】：把一个多项式化成几个整式积的形式的叫做把这个多项式因式分解。 　　(课本)P71练一练第1题 　　(1)、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是? 　　①. ab+ac+d=a(b+c)+d 　　②. a2-1=(a+1)(a-1) 　　③.(a+1)(a-1)= a2-1 　　(2)、你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系?从中你得到什么启发? 　　【评析】：(1)、本题主要是为了加深学生对因式分解概念的理解，使学生清楚因式分解的结果应是整式乘积的形式。 　　(2)、教师安排本题意图就是引导学生进行分析讨论，鼓励学生勤于思考，各抒己见，培养学生的 逻辑思维 能力和表达、交流能力。让学生在主动学习中掌握了因式分解是整式乘法的互逆的过程，以及理解利用它们之间的关系进行因式分解的这种思想，从而降低了本节课的难点。 　　(三)『例题研究』 　　例1：把下列各式分解因式 　　(1)6a3b-9a2b2c (2)-2m3+8m2-12m 　　解：(1)6a3b-9a2b2c 　　=3a2b·2a-3a2b·3bc(找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式) 　　=3a2b(2a-3bc)(提取公因式) 　　(2)-2m3+8m2-12m 　　=-(2m·m2-2m·4m+2m·6)(首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内，注意放入括号中各项符号的变化。) 　　=-2m(m2-4m+6)(提取公因式) 　　【评析】：(1)、因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握。这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解例。 　　(2)、教师在讲解例题时，应鼓励学生自己动手找公因式，让学生通过动手动脑、实际操作，教师可在下面收集错误，再加以点评，加深对因式分解方法的理解。 　　(3)、教学中教师不能简单地要求学生记忆运算法则，更要重视学生对算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识地培养学生有条理地思考和语言表达能力。 　　本题的易错点： 　　(1)、漏项：提公因式后括号中的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。 　　(2)、符号：由于添括号法则在上学期没有涉及，所以有必要在此处强调，添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号;括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。 　　(四)『巩固练习』 　　练一练：辨别下列因式分解的正误 　　(1)8a3b2-12ab4+4ab=4ab(2a2b-3b3) 　　(2)4x2-12x3=2x2(2-6x) 　　(3)a3-a2=a2(a-1)= a3-a2 　　解(1)错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项。 　　(2)错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式。 　　(3)错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法。 　　【评析】：(1)、这些多是学生易错的，本题设置的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。 　　(2)、当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。 　　(3)、进行多项式分解因式时，必须把每一个因式都分解到不能分解为止。 　　(4)、教师安排这一过程，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到真正强化，也分散了本节课的难点。 　　(五)『想一想』： 　　如何把多项式3a(x+y)-2b(x+y)分解因式? 　　解：3a(x+y)-2b(x+y)= (x+y)(3a-2b) 　　评析：公因式(x+y)是多项式，属较高要求，当多项式中有相同的整体(多项式)时，不要把它拆开，提取公因式时把它整体提出来，有时还需要做适当变形，如：(2-a)=-(a-2)，教学时可初步渗透换元思想，将换元思想引入因式分解，可使问题化繁为简。 　　【概念3】把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 　　初中数学因式分解教学 反思 　　1、本节课根据学生的知识结构，采用的教学流程是：提出问题—实际操作—归纳方法—课堂练习—课堂小结—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生进一步发展观察、归纳、类比、概括、逆向思考等能力，发展有条理思考及语言表达能力; 　　2、分解因式是一种变形，变形的结果应是整式的积的形式，分解因式与整式的乘法是互逆关系，即把分解因式看作是一个变形的过程，那么整式乘法又是分解因式的逆过程，这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联系，另一方面又说明了二者之间的根本区别。探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程; 　　3、在提公因式方面，学生对公因式的认识不足，对提公因式的要求不清楚，造成了学生在做分解因式时出现了以下错误：(1)公因式找错;(2)公因式找不完整(如：漏掉公因式的系数(或系数不是取各项系数的最大公约数)、公因式中含有多项式时，漏掉系数或字母因数)，导致因式分解不彻底; 　　4、由于在七年级上册教材中没有涉及添括号法则，所以学生在分解第一项系数是负数的多项式时，出现了很多符号错误; 　　因式分解是一个重点，也是一个难点，以上存在问题在以后的教学中有待进一步加强。

分解因式和因式分解在数学上是一个概念，没有区别：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式。

因式分解就是把一个一元二次方程分解成两个多项式相加。可以解一部分的方程解法也有所不同十字相乘法：举个例子2x方-5x-3=0，把二次项系数和常数项提出来，即"2"和"-3“2可以拆成1乘2， -3可以拆成1乘-31 -3 交叉相成即（1×1）、（2×-3）之后的和等于一次项系数即"-5"2 1这样就分解成了（x-3）（2x+1）=0解的x1=3，x2=-1/2平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)比如x^2-4=0，4可以看成2×2分解成（x+2）（x-2）=0解得x1=x2=±2 （这类方程用直接开方法会更简单。。还是打上了）提公因式法a^2+ab=0 提取公因式a a(a+b)=0 解得a=0或a=-b比如x^2+2x=0 提取xx(x+2)=0 解得x=0或x=-2还有一类方程就是一个完全平方公式比如x^2+4x+4=0 x^2+4x+4=(x+2)^2所以原式为(x+2)^2=0解得x1=x2=-2应该能理解了吧。。祝你学习进步~~~~

质量等于体积乘以密度。你的问题没有说正确。所以没有具体数字

伥 这个字单音字读音:[chāng]部首:亻五笔:WTAY

这是正态分布的密度函数：特别地，当σ=1，μ=0时，为标准正态分布，密度函数为实际上这个函数的不定积分没有初等解析解，即无法由初等函数的有限次加减乘除及复合运算表达出来，但是可以通过无穷个幂函数的和表达出来【幂级数】：除了幂级数以外，还可以表示为其他函数项级数的形式。

aime是朋友的意思，指女性朋友aimer 是爱的意思,动词amour是aimer的名词形式amor是西班牙语，名词，和amour一个意思

伥读音:[chāng]部首:亻五笔:WTAY释义:1.〔～～〕迷茫不知所措的样子。 2.古代传说中被老虎咬死的

这与物质的类别有关. 吨是质量单位,立方米是体积单位,二者通过密度联系起来. 质量=密度*体积 比如：水的密度正好是1,那么1立方米的水正好是1吨, 油的密度是0.8,那么1立方米的油就是0.8吨, 水泥的密度是3,那么1立方米的水泥就是3吨.

[Verse 1: Petey Pablo] I got a sick reputation for handlin broads我在生意方面有着响亮的名声（毒品生意吧）All I need is me a few seconds or more.我需要的只是时间而已And in my rap在我的rap里Tell lady to bring my lap告诉我的小姐帮我拿上lap And I ain"t comin back 还有 我不会回来So you can put a car right there.所以你可以把车停在那里. I"m the truth 我就是真理And ain"t got nothin" to prove.而且根本不需要证明 An you can ask anybody "cause they seen me do it.你可以问任何人 因为他们把我的厉害都看在眼里 Barracades, I run right through "em（法律的）阻拦,我可以很恰当的穿过 I"m used to "em.甚至利用（法律来维护我的非法生意） Throw all the dirt you want it"s no use.你要的那些对我来说都没有用处You still won"t have a pimp in afabulous room就算有了那些 你也不会像我这样牛BOn her back pickin" out baskets of fruit.她的背部非常美丽..哈哈 (I love you boo) （我爱你宝贝儿）Yeah freak and Petey love you too.好的 迷人的Perey也爱你 Ha Ha 哈哈You know how I do.. 你知道我的风格的~哈哈[Hook: Ciara] You may look at me and think that I"m Just a young girl看着我 你也许在想我只是个普通的年轻女孩But I"m not just a young girl.但我不仅仅是个年轻的女孩Baby this is what I"m lookin" for:这是我在追求的： Sexy, independent, down to spend it type that"s gettin" his dough性感,独立,会用他的钱. I"m not bein too dramatic its just how a latin gotta have it.我不是一个爱装模作样的人但现在是时候展现我的才华了[Chorus: Ciara] I bet you want the goodies.我打赌你想要尝尝爱情的甜头 Bet you thought about it.至少你有想过Got you all hot and bothered.让你完全投入的爱情甜头 Mayb" "cause I talk about it.也许是因为我在说这个 Lookin for the goodiesKeep on lookin" "cause they stay in the jar如果你在寻找爱情甜头 请继续不要停止因为它就在眼前 Oh-oh Oh-oh Oh-oh Oh-oh