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幂函数在生活中可以怎样运用?

2023-05-20 01:11:39
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幂函数在生活中的运用都有哪些?请详细说明。30

1人回答

匿名用户2016-12-01

幂函数:银行存款计复利

例1:按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少?(精确到0.01元)

解析:复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息。 已知本金是a元,一期后的本利和为; 二期后的本利和为; 三期后的本利和为; ……

x期后的本利和为。

将a=1000元,r=2.25%,x=5代入上式得:

(计算器算出)

答:复利函数式为,5期后得本利和为1117.68元。

点评:在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原产值为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,就可以用公式表示,解决平均增长率问题,就需要用这个函数式。

例2:设在海拔x m处的大气压强是y Pa,y与x之间的函数关系是,其中c, k是常数,测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105 Pa,1000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa,求600 m 高空的大气压强?(保留3个有效数字) 解析:由题意,得:,由①得:c = 1.01

×105,代入②,得:

,利用计算器得;1000k=-

0.115,所以k=-1.15×10-

4, 从而函数关系是。再将x=600代入上述函数式得,利用计算器得:y≈9.42×104 答:在600 m高空得大气压强约为9.42×104 Pa。

例3:20世纪30年代,查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为:,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)。

(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1)

(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)? 解析:(1)

因此,这是一次约为里氏4.3级的地震。

(2)由可得

当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0·107。

6; 当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0·105。

所以,两次地震的最大振幅之比是

故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398

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2023-01-13 13:19:312

微积分拾阶(1)的函数的分类

下面我们开始讨论具体的函数,它们是我们在这门课程里最主要的研究对象。也是我们进一步研究更复杂的函数的基础,尽管读者可能已经在高中阶段学习过这些函数,但仍然需要用更深刻的观念来把握它们的具体性质。鉴于它们的重要性,我们必须仔细地学习它们,下面分别地根据图形进行分析。初等函数所谓初等函数并非一个很严谨的概念,一般说来,就是指以下五种基本初等函数,以及通过对这五种初等函数进行有限运算与有限复合而得到的任意函数。这只是从一般的构成方法来说的,并非从应该具备什么样的限制这方面来说的。下面我们从构成初等函数的基本组成部分开始讨论。(1)幂函数;幂函数的一般形式为。如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取非零的无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:首先我们知道如果,q和p都是整数,则,而如果,则,因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,p不能是偶数;排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据p的奇偶性来确定,即如果同时p为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时p为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时p为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到:(1)所有的图形都通过(1,1)这点。(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。(6)显然幂函数无界。(2)指数函数;指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。可以看到:(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。(3) 函数图形都是下凹的。(4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴。(7) 函数总是通过(0,1)这点。(8) 显然指数函数无界。(3)对数函数;对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。下图给出对于不同大小a所表示的函数图形:可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。(2) 对数函数的值域为全部实数集合。(3) 函数总是通过(1,0)这点。(4) a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。(5) 显然对数函数无界。(4)三角函数;三角函数分成6种形式,都是典型的周期函数:正弦函数:y=sinx;余弦函数:y=cosx;正切函数:y=tgx;余切函数:y=ctgx;正割函数:y=secx;余割函数:y=cscx.下面分别结合函数的图形来讨论它们的性质。正弦函数:y=sinx与余弦函数:y=cosx:下面是正弦函数和余弦函数的图形:可以看到:(1) 这两种函数的周期都是。(2) 余弦函数y=cosx沿着X轴的正方向平移,就与正弦函数y=sinx完全重合。(3) 它们的定义域都是实数。(4) 它们的值域都是大于等于-1,小于等于1。(5) 它们都是有界的。(6) 正弦函数为奇函数。(7) 余弦函数为偶函数。正切函数:y=tgx,余切函数:y=ctgx:下图中,粗线是正切函数的图形,细线是余切函数的图形,从图形可以看到:(1) 它们都是周期函数,周期都是。(2) 正切函数的定义域是实数轴上,除了这些点以外的所有点的集合。(3) 余切函数的定义域是实数轴上,除了这些点以外的所有点的集合。(4) 它们的值域都是实数集合。(5) 在两个间断点之间,正切函数是单调递增函数,而余弦函数是单调递减函数。(6) 正切函数无限趋向于直线x=。(7) 余切函数无限趋向于直线x=。(8) 它们都是无界函数。正割函数:y=secx,余割函数:y=cscx:下面的图中,粗线是正割函数的图形,细线是余割函数的图形。从图可以看到:(1) 它们都是周期函数,周期都是。(2) 正割函数的定义域是实数轴上,除了这些点以外的所有点的集合。(3) 余割函数的定义域是实数轴上,除了这些点以外的所有点的集合。(4) 它们的值域都是实数集合里大于1和小于-1的实数集合。(5) 正割函数无限趋向于直线x=。(6) 余割函数无限趋向于直线x=。(7) 它们都是无界函数。(8) 正割函数为偶函数。(9) 余割函数为奇函数。(5)反三角函数;6种三角函数都有相应的反函数,称为反三角函数,它们是:反正弦函数:y=arcsinx;反余弦函数:y=arccosx;反正切函数:y=arctgx;反余切函数:y=arcctgx;反正割函数:y=arcsecx;反余割函数:y=arccscx.由于6种三角函数都是周期函数,因此从严格的意义上来讲,它们不存在反函数,而只有把它们的定义域进行适当的限制以后,才可以说是存在反函数。反过来,也可以说是对反三角函数的值域进行适当的限制。对于正弦函数,正切函数,余割函数,要构造相应的反函数,值域一般取为。对于余弦函数,余切函数,正割函数,要构造相应的反函数,值域一般取为。这样我们就得到了满足函数定义的反三角函数,下面我们分别结合函数的图形进行讨论。反正弦函数:y=arcsinx,反余弦函数:y=arccosx。在下图中,粗线为y=arcsinx,细线为y=arccosx。可以看到:(1) 反正弦函数的定义域为[-1,1],值域为。(2) 反余弦函数的定义域为[-1,1],值域为。(3) 反正弦函数为单调递增的;反余弦函数为单调递减的。(4) 它们都是有界的。(5) 反正弦函数为奇函数。反正切函数:y=arctgx,反余切函数:y=arcctgx:在下图中,粗线为y=arctgx,细线为y=arcctgx。可以看到:(1) 正切函数的定义域为实数集合,值域为。(2) 反余切函数的定义域为实数集合,值域为。(3) 反正切函数为单调递增的;反余切函数为单调递减的。(4) 反正切函数无限趋向于这两条直线。反余切函数无限地趋向于这两条直线。(5) 它们都是有界的。(6) 反正切函数为奇函数。反正割函数:y=arcsecx,反余割函数:y=arccscx:在下图中,粗线为y=arcsinx,细线为y=arccosx。可以看到:(1) 正割函数的定义域为,值域为。(2) 反余割函数的定义域为,值域为。(3) 反正割函数的两支分别都是为单调递增的;反割弦函数的两支分别都是为单调递减的。(4) 反正割函数无限趋向于这条直线。反余割函数无限地趋向于这条直线。(5) 它们都是有界的。(6) 反余割函数为奇函数。
2023-01-13 13:19:341

matlab中幂函数的点是什么意思?

matlab中多数用于矩阵,所以有了点运算,幂函数的点表示对应元素的次方数,如A=[1,2;3,4],A.^2=[1^2,2^2;3^2,4^2]=[2,4;9,16],而A^2就是行乘以列
2023-01-13 13:19:401

当 时,幂函数 为减函数,求实数 的值。

试题分析:解:因 当 时,幂函数 为减函数所以 即  则    点评:主要是考查了幂函数的单调性的运用,属于基础题。
2023-01-13 13:19:431

运用学过的幂函数或指数函数知识,求使不等式﹙2x﹣1﹚的﹣½次方大于﹙2x﹣1﹚²

﹙2x﹣1﹚的﹣½次方可以变换为1/√(2x-1),显然,首先2x-1>0,x>1/2由1/√(2x-1) > (2x-1)^2两边同时平方得:1/(2x-1) > (2x-1)^2即:(2x-1)^3<12x-1<1x<1所以x的取值范围是(1/2,1)
2023-01-13 13:20:031

为什么在复变幂函数的定义中Lnz展开为(lnz+i2kπ)而不是(lnz+i(argz+2kπ))

那是可以的呢
2023-01-13 13:20:062