什么叫做因式?

这是数学里对一种表达式的一种一个称谓因式的概念是多项式被另一个多项式整除，那么后面的就是前面的因式了，因式经常的使用在数学算法之中，因式的研究也让学生能够更好的掌握相关的数学知识，所以因式的使用是非常的重要的。数学里常见的是因式分解

因式,指的是一个代数式里与另一个式子或数相乘能得到原式的式子,与因数同理比如15,它有3这个因数,3能与5相乘得到15,所以3是它的因数(数字也是整式)再看一个代数式50x+50y=50(x+y)=2*25(x+y)可以看出,2(x+y)和25(x+y)都是它的因式,25(x+y)乘2就等于原式,这就是因式

学习是现在人们不可缺少的，不管何时何地都要进行相关的学习才能够帮助人们更好的提升自己的技能，而现在的学习方法更是非常的众多，这些学习方式的使用帮助了自己更好的掌握知识，因式是非常常见的一种学习利用方法，那么因式的概念是什么呢?因式是数学中经常被使用到的一种方程式，因式的熟练运用能够更好的帮助人们对于数学成绩的提升，因式计算的时候使用到的方法则非常的多，提公因式法、公式法、分组分解法以及应用因式分解等，人们面对不同的数学问题可以采用相关的因式算法或者组合算法进行问题的解决。因式的概念是多项式被另一个多项式整除，那么后面的就是前面的因式了，因式经常的使用在数学算法之中，因式的研究也让学生能够更好的掌握相关的数学知识，所以因式的使用是非常的重要的，因式的合理利用直接决定了学生的数学成绩好坏。

很多同学在学习数学的时候都弄不清楚因式的概念，以下是因式的相关信息，供大家参考。 因式概念 因式是指多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式f(x)能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于f(x)的次数。 因式分解方法 1.提公因式法 2.公式法 3.十字相乘法（双十字相乘法） 4.待定系数法 5.求根法 6.分组分解法 因式分解的技巧  1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。  2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；    ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

多项式被另一整式整除，后者即是前者的因式，如果多项式f（x）能够被整式g（x）整除，即可以找出一个多项式q（x），使得f（x）＝q（x）·g（x）；那么g（x）就叫做f（x）的一个因式。当然，这时q（x）也是f（x）的一个因式，并且q（x）、g（x）的次数都不会大于f（x）的次数。扩展资料把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解。可以直接计算，或运用公式。常用的公式有：a＾2－b＾2＝（a＋b）（a－b）（a＋b）＾2＝a＾2＋2ab＋b＾2（a－b）＾2＝a＾2－2ab＋b＾2a＾3＋b＾3＝（a＋b）（a＾2－ab＋b＾2）．a＾3－b＾3＝（a－b）（a＾2＋ab＋b＾2）．注：通常情况下，分解因式要求分解彻底，即所有因式均无法再次分解因式。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.公因式 希望能解决您的问题.

一、什么叫做因式？ 如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除，即可以找出一个多项式g(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于...

因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式. 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

因式分解就是：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。如：a^2-b^2=(a+b)(a-b);x^2+2x+1=(x+1)^2

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

§5 因式分解定理 一、不可约多项式 . 定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. 根据定义,一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 . 定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 . 推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 上次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 , 那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有 . 其中 是一些非零常数. 应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为 , 其中 是 的首项系数, 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 与 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则 与 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域 上一个多项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 为不可约多项式的乘积.

一、 什么叫做因式？ 如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。 例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x2-1 的因式。 由于任何一个多项式 f(x) 都可以写成一个非零数a及多项式 的积，即 f(x)=a· ，所以任何一个非零数a及多项式 也都可以看成 f(x) 的因式。我们把这种因式看作平凡因式，并规定在分解因式时都不予考虑。 例如，因为 可知1，x2-1，2，，，2x2-2 也都是 x2-1 的因式。这种因式都看作平凡因式，在分解因式时不予考虑。 这样，如果把 x2-1 因式分解，就只能得到唯一的结果 x2-1=(x+1)(x-1) （因为有乘法交换律，所以 x2-1=(x-1)(x+1) 与 x2-1=(x+1)(x-1) 是同样的结果），其中 x+1，x－1 都不是平凡因式。 在高等代数中可以证明，如果对平凡因式都不予以考虑，那么任何一个一元多项式在每个确定的数的范围内，其分解因式的结果是唯一的。二、 什么叫做多项式中各项的公因式？ 多项式的公因式是指这个多项式中各项都具有的公共因式。它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积（这里我们为了叙述上的方便，把单项式与多项式区别对待）。 如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个。当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数。一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积。 如果公因式是多项式，那么这个多项式一定是原多项式中各项的一个公因式。这个多项式的项数、各项所含的字母及其指数、各项的系数等，在原多项式的各项中一定都是相同的，所以能够寻找出来。

因式意为：如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除,即可以找出一个多项式 q(x) ,使得 f(x)=q(x)·g(x),那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式. 而商的因式就明显出来了.

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数。

现出的：1. ax+by+ay+bx2. x^3+13. x^2+x^34. x^2+x^3-25. x^2-6x+86. x^2-12x+357. (x^3-1)+(x-1)(6x+11)8. x^4-19. x^4+410. b^2+ab+ac+bc11. x^3+y^3+z^3-3xyz12. x^6+8x^3+913. x^2-100x+9914. x^2-x-y^2-y15. 7x^2-19x-616. 8x^2-6x-917. x+1)(x+2)-1218. x^2+(p+q)x+pq19. 3x^3-6x^2+320. a^2(x－2a)^2－a(x－2a)^221. 25m^2－10mn＋n^222. x^2-3x-2823. y^4+2y^3-3y^224. (x－1)^2*(3x－2)＋(2－3x)25. (x－2)^2－x＋226. x^2-12x-2827. 12a^2*b(x－y)－4ab(y－x)28. a^2＋5a＋629. x^11-2x^10+x^930. x^2+x31. x^3+x32. x^4+x33. 100x^2+30xy+2y^234. 6y^2-16y+835. 6-7a-5a^236. 3x^2-17x+1037. 6a^2-11ab+3b^238. 2m^3+3m^2-5m39. (x+y)^2-2(x+y)-340. a^2-b^2+2ab-c^241. m^2+2mn+n^2-142. x^2-4y^2+4yz-z^243. 9x^2-4y^2-z^2+4yz44. -25+a^2+9b^2-6ab45. 2x^2-100x-10246. x^2*y^2-7xy+1047. x^2-x-248. -x^2*y+6xy-8y49. x^2-9y^2-x+3y50. x^2-7x-8出不动了。。。难度不随题号变化，解题方法不随题号变化，老少皆宜，童叟无欺。答案：1. (a+b)(x+y)2. (x+1)(x^2-x+1)3. x^2*(x+1)4. (x-1)(x^2-2x+2)5. (x-2)(x-4)6. (x-5)(x-7)7. (x-1)(x+3)(x+4)8. (x^2+1)(x-1)(x+1)9. (x^2-2x+2)(x^2+2x+x)10. (b+c)(b+a)11. (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)12. (x+1)(x^2-x+1)(x+2)(x^2-2x+4)13. (x-99)(x-1)14. (x+y)(x-y-1)15. (7x+2)(x-3)16. (2x-3)(4x+3)17. (x+5)(x-2)18. (x+p)(x+q)19. (x-1)(x^2-x-1)20. a(a-1)(x－2a)^221. (5m-n)^222. (x-7)(x+4)23. y^2(y-1)(y+3)24. x(x－2)(3x－2)25. (x-2)(x-3)26. (x-14)(x+2)27. 4ab(3a+1)(x-y)28. (a+2)(a+3)29. x^9*(x-1)^230. x(1+x)31. x(1+x^2)32. x(1+x)(1-x+x^2)33. 2(5x+y)(10x+y)34. 2(3y-2)(y-2)35. (3-5a)(a+2)36. (3x-2)(x-5)37. (2a-3b)(3a-b)38. m(m-1)(2m+5)39. (x+y-3)(x+y+1)40. (a+b-c)(a+b+c)41. (m+n+1)(m+n-1)42. (x+2y-z)(x-2y+z)43. (3x+2y-z)(3x-2y+z)44. (a-3b-5)(a-3b+5)45. 2(x-51)(x+1)46. (xy-5)(xy-2)47. (x-2)(x+1)48. -y(x-2)(x-4)49. (x-y)(x+3y-1)50. (x-8)(x+1)

也叫因子。如果一个多项式（或整式）能被另一个多项式（或整式）整除，则后者叫做前者的因式。如a+b和a-b都是a2-b2的因式。

因式就是f（x）能够被g（x）整除，f（x）就是g（x）的因式

多项式被另一多项式整除，后者即是前者的因式。如果多项式 f(x) 能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。一个数也可以看做一个因式。注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0(当 f(x)=0 时)。提公因式法1、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。2、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。例如：am+bm+cm=m(a+b+c)。3、具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

增添、积累。例如《论语．先进》「千乘之国，摄乎大国之间，加之以师旅，因之以饥馑，由也为之，比及三年，可使有勇且知方也。」又例《史记．卷三○．平准书》「太仓之粟陈陈相因，充溢露积於外，至腐败不可食。」

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 公因式希望能解决您的问题。

就是乘法中相乘的数，因式*因式*...*因式=积

对于多项式A，如果存在两个多项式(或单项式)B和C，使得A=B·C则称B是A的因式。

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。注意，因式是一个式子，而2×3=6中的2、3不是式子，是数字，称为因数，而不是因式。

概念：因式是指多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。分解因式：定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解。常用的公式有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).分解因式的方法：⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。am+bm+cm=m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵公式法①平方差公式：. a^2－b^2=(a+b)(a－b)②完全平方公式： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。③立方和公式：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)。立方差公式：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)。④完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法。分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形。⑸十字相乘法①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）②kx^2+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．a -----/b ac=k bd=nc /-----d ad+bc=m※ 多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。⑹应用因式定理如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

(1)x2-6x-7 (2)x2+6x-7 (3)x2-8x+7 (4)x2+8x+7 (5)x2-5x+6 (6)x2-5x-6 (7)x2+5x-6 (8)x2+5x+6 解：(1)x2-6x-7=(x-7)(x+1) (2)x2+6x-7=(x+7)(x-1) (3)x2-8x+7=(x-7)(x-1) (4)x2+8x+7=(x+7)(x+1) (5)x2-5x+6=(x-2)(x-3) (6)x2-5x-6=(x-6)(x+1) (7)x2+5x-6=(x+6)(x-1) (8)x2+5x+6=(x+2)(x+3) 点评：此例中的题是易错的典型题，初学时难于避免，主要原因是对十字相乘的原则没有充分认识，即，两常数项的乘积是原多项式的常数项，它们的和是原一次项系数，因此单纯的凑数是不行的，一定注意分解后与原多项式相等.十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法） 然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。 3.因式分解的一般步骤 （1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解； （4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。 在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。 在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。参考资料：IMO1.因式分解 即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。 （*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等 要求为：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1提公因式法： 如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。 例15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。 解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法 即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。 例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式 解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+…+x15= =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先构造公式再分解。 2.3分组分解法 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6] =(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 例2分解因式：x4+5x3+15x-9 解析可根据系数特征进行分组 解原式=（x4-9）+5x3+15x =(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) =(x2+3)(x2+5x-3) 2.4十字相乘法 对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法, 即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。 例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12 解①1x2 1x-3 原式=（x+2）(x-3) ②2x-3 3x4 原式=（2x-3）(3x+4) 注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。 2.5双十字相乘法 在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为： （1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图 （2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项 例5分解因式 ①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2 ③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3) 2x-3y1 2xy-3 ②原式=（x-5y+2）(x+2y-1) x-5y2 x2y-1 ③原式=(b+1)(a+b-2) 0ab1 ab-2 ④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z) 2x-3yz 3x-y-2z 说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。 如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2) ④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可： 2.6拆法、添项法 对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。 例6分解因式：x3+3x2-4 解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3) 法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4) 法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4) 法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4) 法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等 解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4 =x2(x-1)+4(x-1)(x+1) =(x-1)(x2+4x+4) =(x-1)(x+2)2 2．7换元法 换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此 种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。 例7分解因式： (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到 (x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 故可用换元法分解此题 解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120 令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120 =y2-121 =(y+11)(y-11) =(x2+5x+16)(x2+5x-6) =(x+6)(x-1)(x2+5x+16) 注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？ 2．8待定系数法 待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。 例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20 分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法 先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b) 解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n) =2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn…………… 比较两个多项式（即原式与*式）的系数 m+2n=14(1)m=4 3m-3n=-3(2)=> mn=20(3)n=5 ∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5) 注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n 令a=1,b=0,m+2n=14m=4 => 令a=0,b=1,m=n=-1n=5 2.9因式定理、综合除法分解因式 对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数 若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解 例8分解因式x3-4x2+6x-4 解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4 ∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4, ∵f(1)≠0,f(1)≠0 但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法 21-46-4 2-44 1-220 所以原式=(x-2)(x2-2x+2) 当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4 =x(x-2)2+(x-2) =(x-2)(x2-2x+2) 分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!

不都是。x+5中x属于未知数，5属于因式，所以不都是因式。因式是数学中经常被使用到的一种方程式，因式的熟练运用能够更好的帮助人们对于数学成绩的提升。

因式定理：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。推广：“ax-b为f(x)的因式”等价于f（b/a）=0。 余式定理：当一个多项式f(x)除以(x–a)时，所得的余数等于f(a)。 例1：当除以(x–1)时，则余数等于。 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 余式定理的推论 当一个多项式f(x)除以(mx–n)时，所得的余数等于f(n/m)。 例2：求当除以(3x+1)时所得的余数。 设f(x)=9x^2+6x–7，则余数f（-1/3）=1-2-7=-8。

理论：P(X)是F(X)的k重因式，P(X)是F"(X)的k-1重因式.反之，P(X)是F"(X)的k重因式，并且P(X)是F(X)的因式.则P(X)是F(X)的k+1重因式， F(X)没有重因式的充要条件是F(X)与F"(X)互素。F(X)与F"(X)的最大公因式就是重因式，确定重数需要手工操作，比如：综合除法例F(X)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1与F"(X)=5x^4+4x^3-6x^2-4x+1用辗转相除法求出F(X)与F"(X)的最大公因式x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2(x-1),(x+1)都是F（X)的重因式

就是在加减乘除运算中,乘法中的式子 例如：XY+XZ 中 X、Y、Z都是因式 而X又是公因式.

1.提公因式AX+AY+AZ=A(X+Y+Z)2.公式法 X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y) X^2+2XY+Y^2=(X+Y)^23.十字相乘法 X^2-5X+6=(X-2)(X-3)4.分组分解法 MN-MY+NX-XY=M(N-Y)+X(N-Y)=(N-Y)(M+X)5.换元法(M-N)^2-2（M-N）+1 设M-N=X 则原式为X^2-2X+1=(X-1)^2 即为(M-N-1)^26.求根公式法 X^2-X-1 设X^2-X-1=0 X=(1+√5)/2和X=(1-√5)/2 X^2-X-1=【X-(1+√5)/2】【X-(1-√5)/2】

亲爱的楼主： 重因式 编辑 定义 设p(x) 为不可约多项式.如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能,则称p(x) 是 f(x)的k 重因式. 若k=0,则p(x) 不是f(x) 的因式. 若k=1,则称 p(x) 是f(x) 的单因式. 若k>1,则称 p(x) 是f(x) 的重因式. 也可以定义高阶微商的概念,一阶微商f"(x) 的微商称为f(x) 的二阶微商,记为f""(x).一般地,f(x) 的k 阶微商定义为f(x) 的k-1 阶微商的微商: 定理 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k≥1),那么它是f"(x) 的k-1 重因式. 注意:该定理的逆定理一般不成立 推论 1 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式,那么p(x) 分别是f"(x),f""(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式,但不是f(k)（x） 的因式. 推论 2 不可约多项式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要条件是p(x) 为f(x) 与 f"(x)的公因式. 推论 3 多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f"(x))=1. g(x)=f(x)/(f(x),f"(x))是一个没有重因式的且与 f(x)具有完全相同的不可约因式的多项式,这种多项式很有用. 祝您步步高升

（x+1）（x²+2x+1-9）=（x+1）（x²+2x-8）=（x+1）（x-2）（x+4）

即为余式定理的推论之一： 如果多项式f(a)=0,那么多项式f(x)必定含有因式x-a. 反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么,f(a)=0. 将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解.

因式，是一个多项式分解成的如 x²-4可以分解成 (x-2)(x+2)则 （x-2）和（x+2）就是 x²-4 的因式

多项式被另一多项式整除。因式是指多项式被另一多项式整除，后者即是前者的因式，如果多项式f(x)能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。多项式在数学中，几个单项式的和，叫做多项式

二次因式是指最高次项的次数是2的整式因式.一次因式是指最高次项的次数是1的整式因式.比如 a^3+b^3=(a+b)(a^-ab+b^)中,因式(a+b)是一次因式；因式(a^-ab+b^)就是二次因式.

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

比如 ab=c 那么c是积 ab是因式

因式分解(分解因式)Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。1、 应用于多项式除法。 　　2、 应用于高次方程的求根。 　　3、 应用于分式的通分与约分 　　顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：

§5 因式分解定理 一、不可约多项式 . 定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. 根据定义,一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 . 定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 . 推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 上次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 , 那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有 . 其中 是一些非零常数. 应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为 , 其中 是 的首项系数, 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 与 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则 与 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域 上一个多项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 为不可约多项式的乘积.

分母不能为0，分母为0时，该式无意义。如1/0就无意义，1/0=1÷0=？没有确定的结果要使分式有意义分式中的分母应该满足（分母不能为0）条件1、分式有意义，分母不为02、分式值为0，分子为0，分母不为03、分式无意义，分式分母为0

1. 谷什么四字成语 五谷丰登、 进退维谷、 虚怀若谷、 养儿防老，积谷防饥、 陈谷子烂芝麻、 养儿待老，积谷防饥、 堑山堙谷、 岸谷之变、 跫响空谷、 稻谷飘香、 五谷不分、 空谷幽兰、 谷贱伤农、 白驹空谷、 梯山栈谷、 五谷丰稔、 岩居谷饮、 金谷酒数、 心怀若谷、 满坑满谷、 千岩万谷、 丰年玉荒年谷、 五谷不升、 四体不勤五谷不分、 陵谷变迁、 陵谷沧桑、 在谷满谷 2. 有关幽字的四字成语有哪些 函幽育明、 下乔入幽、 发潜阐幽、 畅叙幽情、 黜陟幽明、 抽拔幽陋、 幽囚受辱、 微显阐幽、 寻幽探奇、 张皇幽眇、 空谷幽兰、 穷幽极微、 潜遁幽抑、 密意幽悰、 配盐幽菽、 幽明永隔、 幽人之风、 洞幽烛微、 无幽不烛、 遁世幽居、 寻幽访胜、 清音幽韵、 含笑九幽、 出幽升高、 吊古寻幽、 幽情雅趣、 阐幽抉微、 曲径通幽、 通幽洞灵、 阐幽探赜 探幽索胜、 洞幽察微、 探幽穷赜、 幽期密约、 凿险缒幽、 洞幽烛远、 考绩幽明、 幽情逸韵、 寻幽探胜、 寻幽入微、 通幽洞微、 抉奥阐幽、 竹径通幽 3. 成语大全 四字成语（什么什么做响 没有与“做 响”相关的成语！ 『包含有“做”字的成语』 “做”字开头的成语：（共14则） [z] 做刚做柔 做鬼做神 做好做歹 做好做恶 做人做世 做神做鬼 做小伏低 做一日和尚撞一日钟 做一日和尚撞一天钟 做一天和尚撞一天钟 做贼心虚 做张做势 做张做致 做张做智 第二个字是“做”的成语：（共5则） [b] 不做不休 [d] 大做文章 [h] 慌做一团 [s] 身做身当 [z] 再做道理 第三个字是“做”的成语：（共23则） [b] 白日做梦 [f] 伏低做小 服低做小 [h] 好心做了驴肝肺 [j] 将无做有 [n] 拿班做势 拿腔做势 [q] 亲上做亲 [s] 生米做成熟饭 [w] 剜肉做疮 [y] 一不做，二不休 哑子做梦 [z]捉班做势 做刚做柔 做鬼做神 做好做歹 做好做恶 妆聋做哑 做人做世 做神做鬼 做张做势 做张做致 做张做智 “做”字结尾的成语：（共6则） [d] 大题小做 [g] 敢为敢做 [h] 好吃懒做 [j] 假戏真做 [t] 贪吃懒做 [x] 小题大做 “做”字在其他位置的成语：（共5则） [c] 朝里无人莫做官 [d] 带着铃铛去做贼 [m] 明人不做暗事 [y] 一尺水翻腾做百丈波 一尺水翻腾做一丈波 『包含有“响”字的成语』 “响”字开头的成语：（共6则） [x] 响彻云表 响彻云际 响彻云霄 响答影随 响遏行云 响和景从 第二个字是“响”的成语：（共1则） [q] 跫响空谷 第三个字是“响”的成语：（共4则） [w] 望风响应 闻风响应 [y]云合响应 云集响应 “响”字结尾的成语：（共13则） [b] 不声不响 不同凡响 [f] 浮生切响 浮声切响 [q] 其应如响 其应若响 [r] 蕤宾铁响 如应斯响 [x] 弦外之响 [y] 应答如响 应对如响 一个巴掌拍不响 杳无影响 “响”字在其他位置的成语：（共1则） [z] 只听楼梯响，不见人下来 4. 优雅的四字词语或成语有哪些 优雅的四字词语或成语有：百媚千娇、空谷幽兰 、雾里看花、阳春白雪、风花雪月。 1、阳春白雪[yáng chūn bái xuě]：原指战国时代楚国的一种较高级的歌曲。比喻高深的不通俗的文学艺术。 [出处]战国·楚·宋玉《对楚王问》：“其为《阳春》、《白雪》；国中属而和者不过数十人。”2、百媚千娇[bǎi mèi qiān jiāo]：媚、娇：美好。 形容女子姿态美好。 [出处]〖出处〗南朝·陈·徐陵《杂曲》诗：“绿黛红颜两相发，千娇百态情无歇。” 唐·张文成《游仙窟》：“千娇百媚，造次无可比方；弱体轻身，谈之不能备尽。” 3、空谷幽兰[kōng gǔ yōu lán]：山谷中优美的兰花。 形容十分难得，常用来比喻人品高雅。 5. 山谷的谷的四字词有什么 谷贱伤农-指粮价过低，损害农民的利益 积谷防饥-储存粮食，防备饥荒。 进退维谷-无论是进还是退，都是处在困境之中。形容进退两难。 空谷足音-在寂静的山谷里听到脚步声。比喻极难得到音信、言论或来访。 空谷传声-在山谷里叫喊一声，立刻听到回声。比喻反应极快。 五谷丰登-登：成熟。指年成好，粮食丰收。 五谷不分-五谷：通常指稻、黍、稷、麦、菽。指不参加劳动，不能辨别五谷。形容脱离生产劳动，缺乏生产知识。 虚怀若谷-虚：谦虚；谷：山谷。胸怀象山谷一样深广。形容十分谦虚，能容纳别人的意见。 山鸣谷应-形容回音响亮，也比喻此鸣彼应，互相配合。 深山穷谷-与山外距离远、人迹罕至的山岭、山谷。 6. 描写鲜花的四字成语有哪些 万紫千红 春暖花开 鸟语花香 姹紫嫣红 花红柳绿 百花争艳 锦上添花 火树银花 昨日黄花 春花秋月 过时黄花 花团锦簇 花枝招展步步莲花 步步生莲花 遍地开花 百花齐放 百花齐放，百家争鸣 傍花随柳 百花生日 百花争妍 百花争艳 败柳残花 波罗奢花 笔头生花 笔下生花 闭月羞花 彩笔生花 残花败柳 吹花嚼蕊 穿花纳锦 春花秋实 春花秋月 粲花之论 簇锦团花 宠柳娇花 春暖花开 春暖花香 翠竹黄花 洞房花烛 月夕花朝 分花拂柳 浮花浪蕊 繁花似锦 风花雪月 风花雪夜 分花约柳 过时黄花 花簇锦攒 花攒锦簇 花攒锦聚 花残月缺 花辰月夕 花晨月夕 花堆锦簇 *** 花红柳绿 花花绿绿 花花世界 花花太岁 寒花晚节 黄花晚节 花好月圆 花街柳陌 花阶柳市 花街柳市 花街柳巷 花锦世界 花甲之年 花里胡哨 花明柳暗 花明柳媚 花貎蓬心 花衢柳陌 花前月下 花容月貌 花说柳说 火树琪花 火树银花 花团锦簇 花天酒地 花天锦地 花信年华 花香鸟语 花下晒裈 花样翻新 花言巧语 花样新翻 花颜月貌 花遮柳隐 花遮柳掩 火烛银花 花朝月夕 花朝月夜 花枝招颤 花枝招展 花枝招颭 酒病花愁 锦簇花团 酒地花天 羯鼓催花 槛花笼鹤 镜花水月 借花献佛 镜里采花 镜里观花 锦上添花 锦团花簇 锦营花阵 锦阵花营 开花结果 开花结实 枯木生花 枯树开花 枯树生花 口吻生花 口坠天花 柳暗花明 柳暗花明又一村 柳暗花遮 柳宠花迷 柳亸花娇 梨花带雨 柳户花门 柳昏花螟 落花流水 落花无言 落花有意，流水无情 柳娇花媚 柳街花巷 恋酒迷花 恋酒贪花 柳绿花红 路柳墙花 柳陌花丛 柳陌花街 柳陌花衢 柳暖花春 柳衢花市 柳泣花啼 浪蕊浮花 柳弱花娇 柳市花街 柳圣花神 流水落花 流水桃花 柳啼花怨 柳巷花街 柳营花市 柳腰花态 柳烟花雾 柳莺花燕 柳影花阴 柳营花阵 柳折花残 乱坠天花 梦笔生花 眠花藉柳 眠花宿柳 眠花卧柳 眉花眼笑 迷花沾草 眠花醉柳 美女簪花 明日黄花 马上看花 满舌生花 年登花甲 拈花弄柳 拈花弄月 拈花惹草 拈花微笑 拈花一笑 拈花摘艳 鸟啼花落 鸟啼花怨 鸟语花香 披红戴花 攀花折柳 攀花问柳 跑马观花 墙花路草 墙花路柳 奇花异草 琪花瑶草 奇花异卉 琪花玉树 秋月春花 巧语花言 惹草拈花 惹草沾花 如花似朵 如花似锦 如花似玉 如花似月 人面桃花 生花妙笔 耍花腔 生花之笔 水流花落 水流花谢 树上开花 水性杨花 水月镜花 团花簇锦 桃花流水 天花乱坠 桃花人面 桃花潭水 头昏眼花 昙花一现 天女散花 铁树花开 ] 铁树开花 头晕眼花 问官答花 五花八门 五花大绑 五花杀马 晚节黄花 无可奈何花落去 雾里看花 问柳评花 问柳寻花 羞花闭月 萱花椿树 杏花春雨 香花供养 先花后果 寻花觅柳 心花怒放 心花怒发 寻花问柳 闲花野草 闲花野草 绣花枕头 下马看花 朽木生花 雪月风花 玉惨花愁 瑶草奇花 瑶草琪花 异草奇花 野草闲花 一花独放 眼花耳热 烟花风月 银花火树 杨花水性 移花接木 眼花缭乱 眼花撩乱 眼花雀乱 尤花殢雪 眼花心乱 杨花心性 吟花咏柳 驿寄梅花 驿路梅花 玉貌花容 月貌花容 异木奇花 月缺花残 玉软花柔 叶瘦花残 驿使梅花 月夕花晨 月下花前 咏月嘲花 月圆花好 月夜花朝 油嘴花唇 月坠花折 油渍麻花 走花溜水 走花溜冰 沾花惹草 粘花惹草 招花惹草 走马观花 走马看花用户 2016-12-04。

分式有意义的条件是分母不等于零；分式为零的条件是分子为零、分母不为零；分式值为正的条件是分式的分子、分母同号（即同为正或同为负）；分式值为负的条件是分式分子、分母异号（即为一正一负）.

你好，很高兴为你解答：扇形周长公式为：扇形周长=扇形半径×2+弧长，即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180）πr。扇形面积公式是S=（lR）/2或S=(1/2)θR²，R是底圆的半径，l为扇形弧长，θ为圆心角。扇形的面积怎么求扇形面积=底圆半径的平方×圆周率×圆心角度数÷360S=nπr²÷360 π是圆周率，r是底圆的半径，n是圆心角的度数。R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度nS=nπR^2/360S=1/2LR （L为弧长，R为半径）S=1/2|α|r平方拓展资料：扇形周长因为扇形周长=半径×2+弧长若半径为r，直径为d，扇形所对的圆心角的度数为n°，那么扇形周长：C=2r+（n÷360）πd=2r+（n÷180）πr扇形弧长公式角度制计算l=n÷360×2πr=nπr÷180, l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，r是底圆半径。弧度制计算l=|α|×r ，l是弧长，|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，r是底圆半径。

1mg等于1000ug

　　分数有意义的条件是分母不为零，分式有意义的条件也是分母不为零。　　一、分数：　　分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。　　例：把一个苹果分为3份，其中的一份是3分之1,期中的两份是3分之2。　　二、分式：　　一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。分式是不同于整式的一类代数式。　　分式条件　　1.分式有意义条件：分母不为0。　　2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。　　3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。　　4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。　　5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。