什么是因式(初一数学）

这是数学里对一种表达式的一种一个称谓因式的概念是多项式被另一个多项式整除，那么后面的就是前面的因式了，因式经常的使用在数学算法之中，因式的研究也让学生能够更好的掌握相关的数学知识，所以因式的使用是非常的重要的。数学里常见的是因式分解

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x)整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。一个数也可以看做一个因式。

学习是现在人们不可缺少的，不管何时何地都要进行相关的学习才能够帮助人们更好的提升自己的技能，而现在的学习方法更是非常的众多，这些学习方式的使用帮助了自己更好的掌握知识，因式是非常常见的一种学习利用方法，那么因式的概念是什么呢?因式是数学中经常被使用到的一种方程式，因式的熟练运用能够更好的帮助人们对于数学成绩的提升，因式计算的时候使用到的方法则非常的多，提公因式法、公式法、分组分解法以及应用因式分解等，人们面对不同的数学问题可以采用相关的因式算法或者组合算法进行问题的解决。因式的概念是多项式被另一个多项式整除，那么后面的就是前面的因式了，因式经常的使用在数学算法之中，因式的研究也让学生能够更好的掌握相关的数学知识，所以因式的使用是非常的重要的，因式的合理利用直接决定了学生的数学成绩好坏。

很多同学在学习数学的时候都弄不清楚因式的概念，以下是因式的相关信息，供大家参考。 因式概念 因式是指多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式f(x)能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于f(x)的次数。 因式分解方法 1.提公因式法 2.公式法 3.十字相乘法（双十字相乘法） 4.待定系数法 5.求根法 6.分组分解法 因式分解的技巧  1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。  2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；    ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；    ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

多项式被另一整式整除，后者即是前者的因式，如果多项式f（x）能够被整式g（x）整除，即可以找出一个多项式q（x），使得f（x）＝q（x）·g（x）；那么g（x）就叫做f（x）的一个因式。当然，这时q（x）也是f（x）的一个因式，并且q（x）、g（x）的次数都不会大于f（x）的次数。扩展资料把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解。可以直接计算，或运用公式。常用的公式有：a＾2－b＾2＝（a＋b）（a－b）（a＋b）＾2＝a＾2＋2ab＋b＾2（a－b）＾2＝a＾2－2ab＋b＾2a＾3＋b＾3＝（a＋b）（a＾2－ab＋b＾2）．a＾3－b＾3＝（a－b）（a＾2＋ab＋b＾2）．注：通常情况下，分解因式要求分解彻底，即所有因式均无法再次分解因式。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.公因式 希望能解决您的问题.

一、什么叫做因式？ 如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除，即可以找出一个多项式g(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于...

因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式. 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

因式分解就是：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。如：a^2-b^2=(a+b)(a-b);x^2+2x+1=(x+1)^2

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

§5 因式分解定理 一、不可约多项式 . 定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. 根据定义,一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 . 定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 . 推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 上次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 , 那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有 . 其中 是一些非零常数. 应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为 , 其中 是 的首项系数, 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 与 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则 与 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域 上一个多项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 为不可约多项式的乘积.

一、 什么叫做因式？ 如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 g(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。 例如，因为 (x+1)(x-1)=x2-1， 把左边、右边交换，得到 x2-1= (x+1)(x-1) ，所以 x+1，x-1 都是 x2-1 的因式。 由于任何一个多项式 f(x) 都可以写成一个非零数a及多项式 的积，即 f(x)=a· ，所以任何一个非零数a及多项式 也都可以看成 f(x) 的因式。我们把这种因式看作平凡因式，并规定在分解因式时都不予考虑。 例如，因为 可知1，x2-1，2，，，2x2-2 也都是 x2-1 的因式。这种因式都看作平凡因式，在分解因式时不予考虑。 这样，如果把 x2-1 因式分解，就只能得到唯一的结果 x2-1=(x+1)(x-1) （因为有乘法交换律，所以 x2-1=(x-1)(x+1) 与 x2-1=(x+1)(x-1) 是同样的结果），其中 x+1，x－1 都不是平凡因式。 在高等代数中可以证明，如果对平凡因式都不予以考虑，那么任何一个一元多项式在每个确定的数的范围内，其分解因式的结果是唯一的。二、 什么叫做多项式中各项的公因式？ 多项式的公因式是指这个多项式中各项都具有的公共因式。它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积（这里我们为了叙述上的方便，把单项式与多项式区别对待）。 如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个。当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数。一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积。 如果公因式是多项式，那么这个多项式一定是原多项式中各项的一个公因式。这个多项式的项数、各项所含的字母及其指数、各项的系数等，在原多项式的各项中一定都是相同的，所以能够寻找出来。

因式意为：如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除,即可以找出一个多项式 q(x) ,使得 f(x)=q(x)·g(x),那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式. 而商的因式就明显出来了.

如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数。

现出的：1. ax+by+ay+bx2. x^3+13. x^2+x^34. x^2+x^3-25. x^2-6x+86. x^2-12x+357. (x^3-1)+(x-1)(6x+11)8. x^4-19. x^4+410. b^2+ab+ac+bc11. x^3+y^3+z^3-3xyz12. x^6+8x^3+913. x^2-100x+9914. x^2-x-y^2-y15. 7x^2-19x-616. 8x^2-6x-917. x+1)(x+2)-1218. x^2+(p+q)x+pq19. 3x^3-6x^2+320. a^2(x－2a)^2－a(x－2a)^221. 25m^2－10mn＋n^222. x^2-3x-2823. y^4+2y^3-3y^224. (x－1)^2*(3x－2)＋(2－3x)25. (x－2)^2－x＋226. x^2-12x-2827. 12a^2*b(x－y)－4ab(y－x)28. a^2＋5a＋629. x^11-2x^10+x^930. x^2+x31. x^3+x32. x^4+x33. 100x^2+30xy+2y^234. 6y^2-16y+835. 6-7a-5a^236. 3x^2-17x+1037. 6a^2-11ab+3b^238. 2m^3+3m^2-5m39. (x+y)^2-2(x+y)-340. a^2-b^2+2ab-c^241. m^2+2mn+n^2-142. x^2-4y^2+4yz-z^243. 9x^2-4y^2-z^2+4yz44. -25+a^2+9b^2-6ab45. 2x^2-100x-10246. x^2*y^2-7xy+1047. x^2-x-248. -x^2*y+6xy-8y49. x^2-9y^2-x+3y50. x^2-7x-8出不动了。。。难度不随题号变化，解题方法不随题号变化，老少皆宜，童叟无欺。答案：1. (a+b)(x+y)2. (x+1)(x^2-x+1)3. x^2*(x+1)4. (x-1)(x^2-2x+2)5. (x-2)(x-4)6. (x-5)(x-7)7. (x-1)(x+3)(x+4)8. (x^2+1)(x-1)(x+1)9. (x^2-2x+2)(x^2+2x+x)10. (b+c)(b+a)11. (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)12. (x+1)(x^2-x+1)(x+2)(x^2-2x+4)13. (x-99)(x-1)14. (x+y)(x-y-1)15. (7x+2)(x-3)16. (2x-3)(4x+3)17. (x+5)(x-2)18. (x+p)(x+q)19. (x-1)(x^2-x-1)20. a(a-1)(x－2a)^221. (5m-n)^222. (x-7)(x+4)23. y^2(y-1)(y+3)24. x(x－2)(3x－2)25. (x-2)(x-3)26. (x-14)(x+2)27. 4ab(3a+1)(x-y)28. (a+2)(a+3)29. x^9*(x-1)^230. x(1+x)31. x(1+x^2)32. x(1+x)(1-x+x^2)33. 2(5x+y)(10x+y)34. 2(3y-2)(y-2)35. (3-5a)(a+2)36. (3x-2)(x-5)37. (2a-3b)(3a-b)38. m(m-1)(2m+5)39. (x+y-3)(x+y+1)40. (a+b-c)(a+b+c)41. (m+n+1)(m+n-1)42. (x+2y-z)(x-2y+z)43. (3x+2y-z)(3x-2y+z)44. (a-3b-5)(a-3b+5)45. 2(x-51)(x+1)46. (xy-5)(xy-2)47. (x-2)(x+1)48. -y(x-2)(x-4)49. (x-y)(x+3y-1)50. (x-8)(x+1)

也叫因子。如果一个多项式（或整式）能被另一个多项式（或整式）整除，则后者叫做前者的因式。如a+b和a-b都是a2-b2的因式。

因式就是f（x）能够被g（x）整除，f（x）就是g（x）的因式

多项式被另一多项式整除，后者即是前者的因式。如果多项式 f(x) 能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。一个数也可以看做一个因式。注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0(当 f(x)=0 时)。提公因式法1、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。2、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。例如：am+bm+cm=m(a+b+c)。3、具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。

增添、积累。例如《论语．先进》「千乘之国，摄乎大国之间，加之以师旅，因之以饥馑，由也为之，比及三年，可使有勇且知方也。」又例《史记．卷三○．平准书》「太仓之粟陈陈相因，充溢露积於外，至腐败不可食。」

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 公因式希望能解决您的问题。

就是乘法中相乘的数，因式*因式*...*因式=积

对于多项式A，如果存在两个多项式(或单项式)B和C，使得A=B·C则称B是A的因式。

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。注意，因式是一个式子，而2×3=6中的2、3不是式子，是数字，称为因数，而不是因式。

概念：因式是指多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。分解因式：定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解。常用的公式有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).分解因式的方法：⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。am+bm+cm=m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵公式法①平方差公式：. a^2－b^2=(a+b)(a－b)②完全平方公式： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。③立方和公式：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)。立方差公式：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)。④完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法。分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形。⑸十字相乘法①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）②kx^2+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．a -----/b ac=k bd=nc /-----d ad+bc=m※ 多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。⑹应用因式定理如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。

(1)x2-6x-7 (2)x2+6x-7 (3)x2-8x+7 (4)x2+8x+7 (5)x2-5x+6 (6)x2-5x-6 (7)x2+5x-6 (8)x2+5x+6 解：(1)x2-6x-7=(x-7)(x+1) (2)x2+6x-7=(x+7)(x-1) (3)x2-8x+7=(x-7)(x-1) (4)x2+8x+7=(x+7)(x+1) (5)x2-5x+6=(x-2)(x-3) (6)x2-5x-6=(x-6)(x+1) (7)x2+5x-6=(x+6)(x-1) (8)x2+5x+6=(x+2)(x+3) 点评：此例中的题是易错的典型题，初学时难于避免，主要原因是对十字相乘的原则没有充分认识，即，两常数项的乘积是原多项式的常数项，它们的和是原一次项系数，因此单纯的凑数是不行的，一定注意分解后与原多项式相等.十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法） 然后按斜线交叉相乘、再相加，若有 ，则有 ，否则，需交换 的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。 3.因式分解的一般步骤 （1） 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解； （4） 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。 在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。 在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。参考资料：IMO1.因式分解 即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。 （*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等 要求为：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1提公因式法： 如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。 例15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。 解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法 即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。 例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式 解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+…+x15= =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先构造公式再分解。 2.3分组分解法 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6] =(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 例2分解因式：x4+5x3+15x-9 解析可根据系数特征进行分组 解原式=（x4-9）+5x3+15x =(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) =(x2+3)(x2+5x-3) 2.4十字相乘法 对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法, 即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。 例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12 解①1x2 1x-3 原式=（x+2）(x-3) ②2x-3 3x4 原式=（2x-3）(3x+4) 注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。 2.5双十字相乘法 在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为： （1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图 （2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项 例5分解因式 ①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2 ③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3) 2x-3y1 2xy-3 ②原式=（x-5y+2）(x+2y-1) x-5y2 x2y-1 ③原式=(b+1)(a+b-2) 0ab1 ab-2 ④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z) 2x-3yz 3x-y-2z 说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。 如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2) ④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可： 2.6拆法、添项法 对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。 例6分解因式：x3+3x2-4 解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3) 法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4) 法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4) 法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4) 法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等 解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4 =x2(x-1)+4(x-1)(x+1) =(x-1)(x2+4x+4) =(x-1)(x+2)2 2．7换元法 换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此 种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。 例7分解因式： (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到 (x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 故可用换元法分解此题 解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120 令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120 =y2-121 =(y+11)(y-11) =(x2+5x+16)(x2+5x-6) =(x+6)(x-1)(x2+5x+16) 注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？ 2．8待定系数法 待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。 例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20 分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法 先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b) 解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n) =2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn…………… 比较两个多项式（即原式与*式）的系数 m+2n=14(1)m=4 3m-3n=-3(2)=> mn=20(3)n=5 ∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5) 注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n 令a=1,b=0,m+2n=14m=4 => 令a=0,b=1,m=n=-1n=5 2.9因式定理、综合除法分解因式 对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数 若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解 例8分解因式x3-4x2+6x-4 解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4 ∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4, ∵f(1)≠0,f(1)≠0 但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法 21-46-4 2-44 1-220 所以原式=(x-2)(x2-2x+2) 当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4 =x(x-2)2+(x-2) =(x-2)(x2-2x+2) 分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!

不都是。x+5中x属于未知数，5属于因式，所以不都是因式。因式是数学中经常被使用到的一种方程式，因式的熟练运用能够更好的帮助人们对于数学成绩的提升。

因式定理：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。推广：“ax-b为f(x)的因式”等价于f（b/a）=0。 余式定理：当一个多项式f(x)除以(x–a)时，所得的余数等于f(a)。 例1：当除以(x–1)时，则余数等于。 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 余式定理的推论 当一个多项式f(x)除以(mx–n)时，所得的余数等于f(n/m)。 例2：求当除以(3x+1)时所得的余数。 设f(x)=9x^2+6x–7，则余数f（-1/3）=1-2-7=-8。

理论：P(X)是F(X)的k重因式，P(X)是F"(X)的k-1重因式.反之，P(X)是F"(X)的k重因式，并且P(X)是F(X)的因式.则P(X)是F(X)的k+1重因式， F(X)没有重因式的充要条件是F(X)与F"(X)互素。F(X)与F"(X)的最大公因式就是重因式，确定重数需要手工操作，比如：综合除法例F(X)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1与F"(X)=5x^4+4x^3-6x^2-4x+1用辗转相除法求出F(X)与F"(X)的最大公因式x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2(x-1),(x+1)都是F（X)的重因式

就是在加减乘除运算中,乘法中的式子 例如：XY+XZ 中 X、Y、Z都是因式 而X又是公因式.

1.提公因式AX+AY+AZ=A(X+Y+Z)2.公式法 X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y) X^2+2XY+Y^2=(X+Y)^23.十字相乘法 X^2-5X+6=(X-2)(X-3)4.分组分解法 MN-MY+NX-XY=M(N-Y)+X(N-Y)=(N-Y)(M+X)5.换元法(M-N)^2-2（M-N）+1 设M-N=X 则原式为X^2-2X+1=(X-1)^2 即为(M-N-1)^26.求根公式法 X^2-X-1 设X^2-X-1=0 X=(1+√5)/2和X=(1-√5)/2 X^2-X-1=【X-(1+√5)/2】【X-(1-√5)/2】

亲爱的楼主： 重因式 编辑 定义 设p(x) 为不可约多项式.如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能,则称p(x) 是 f(x)的k 重因式. 若k=0,则p(x) 不是f(x) 的因式. 若k=1,则称 p(x) 是f(x) 的单因式. 若k>1,则称 p(x) 是f(x) 的重因式. 也可以定义高阶微商的概念,一阶微商f"(x) 的微商称为f(x) 的二阶微商,记为f""(x).一般地,f(x) 的k 阶微商定义为f(x) 的k-1 阶微商的微商: 定理 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k≥1),那么它是f"(x) 的k-1 重因式. 注意:该定理的逆定理一般不成立 推论 1 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式,那么p(x) 分别是f"(x),f""(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式,但不是f(k)（x） 的因式. 推论 2 不可约多项式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要条件是p(x) 为f(x) 与 f"(x)的公因式. 推论 3 多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f"(x))=1. g(x)=f(x)/(f(x),f"(x))是一个没有重因式的且与 f(x)具有完全相同的不可约因式的多项式,这种多项式很有用. 祝您步步高升

（x+1）（x²+2x+1-9）=（x+1）（x²+2x-8）=（x+1）（x-2）（x+4）

即为余式定理的推论之一： 如果多项式f(a)=0,那么多项式f(x)必定含有因式x-a. 反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么,f(a)=0. 将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解.

因式，是一个多项式分解成的如 x²-4可以分解成 (x-2)(x+2)则 （x-2）和（x+2）就是 x²-4 的因式

多项式被另一多项式整除。因式是指多项式被另一多项式整除，后者即是前者的因式，如果多项式f(x)能够被整式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式。多项式在数学中，几个单项式的和，叫做多项式

二次因式是指最高次项的次数是2的整式因式.一次因式是指最高次项的次数是1的整式因式.比如 a^3+b^3=(a+b)(a^-ab+b^)中,因式(a+b)是一次因式；因式(a^-ab+b^)就是二次因式.

就是在一个式子中，有共有成分的每个数。记得提公因式吗？就是这样！因数：一个数与其它数的乘积构成另一个数，这些数成为构成数的因数

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

比如 ab=c 那么c是积 ab是因式

因式分解(分解因式)Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。1、 应用于多项式除法。 　　2、 应用于高次方程的求根。 　　3、 应用于分式的通分与约分 　　顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：

§5 因式分解定理 一、不可约多项式 . 定义8 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. 根据定义,一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然,不可约多项式 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 与任一多项式 之间只可能有两种关系,或者 或者 . 定理5 如果 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 ,由 一定推出 或者 . 推广：如果不可约多项式 整除一些多项式 的乘积 ,那么 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 上次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 , 那么必有 ,并且适当排列因式的次序后有 . 其中 是一些非零常数. 应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 的分解式成为 , 其中 是 的首项系数, 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 与 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则 与 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域 上一个多项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 为不可约多项式的乘积.

灯烛辉煌[dēngzhúhuīhuáng]基本释义[dēngzhúhuīhuáng]辉煌：光辉耀眼。形容灯光烛火通明，光辉耀眼。出处明·罗贯中《三国演义》第四十七回:“军士引阚泽至，只见帐上灯烛辉煌，曹操凭几危坐。”

暗淡的灯光朦胧的灯光 幽暗的灯光 暧昧的灯光 飘摇的灯光希望可以帮到你！

都算，y=x∧0要规定x≠0。指数取在实数范围。

1. 含有之的四字词语有哪些 自知之明、 求之不得、 井底之蛙、 惊弓之鸟、 燃眉之急、 无价之宝、 持之以恒、 切肤之痛、 泰然处之、 不速之客、 当之无愧、 言之凿凿、 君子之交、 莫逆之交、 缓兵之计、 一技之长、 普天之下、 神来之笔、 置之度外、 天府之国、 用武之地、 不解之缘、 溜之大吉、 初生之犊、 肺腑之言、 堂而皇之、 一以贯之、 失之交臂、 趋之若鹜、 靡靡之音 取而代之、 在天之灵、 之乎者也、 万物之灵、 听之任之、 中庸之道、 弹指之间、 知遇之恩、 出头之日、 丝绸之路、 可乘之机、 先见之明、 礼仪之邦、 九五之尊、 丧家之犬、 灭顶之灾、 转眼之间、 强弩之末、 世俗之见、 百分之百、 后顾之忧、 一丘之貉、 好自为之、 心腹之患、 再造之恩、 何罪之有、 一面之词、 媒妁之言、 手足之情、 非分之想 2. 四个字以上的成语 九字成语 巧妇做不得，无面馎饦 冰冻三尺，非一日之寒 泥菩萨落水，自身难保 姜太公钓鱼，愿者上钩 千镒之裘，非一狐之白 司马昭之心，路人皆知 凡事预则立，不预则废 士别三日，当刮目相待 不以规矩，不能成方圆 七年之病求三年之艾十字成语 一朝权在手，便把令来行 工欲善其事，必先利其器 上无片瓦，下无立锥之地 天下本无事，庸人自扰之 少壮不努力，老大徒伤悲 只要功夫深，铁杵磨成针 瓜田不纳履，李下不整冠 民不惧死，奈何以死惧之 成人不自在，自在不成人 人在矮墙下，怎敢不低头 此地不留人，自有留人处 卧榻之侧，岂容他人鼾睡 知之为知之，不知为不知 救人一命，胜造七级浮屠 欲穷千里目，更上一层楼 祸兮福所倚，福兮祸所伏 路遥知马力，日久见人心 牡丹虽好，终须绿叶扶持 积财千万，不如薄技在身 三个臭皮匠，赛过诸葛亮 山上无老虎，猴子称大王十二字成语 只许州官放火，不许百姓点灯 既以其人之道，还制其人之身 忠臣不事二主，烈女不更二夫十四字成语 各人自扫门前雪，休管他人瓦上霜 勿以恶小而为之，勿以善小而不为 一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴 先天下之忧而忧，后天下之乐而乐六字的 一不做，二不休 牛头不对马嘴 远水不解近渴 一蟹不如一蟹 风马牛不相及 反其道而行之 驴唇不对马嘴 九牛二虎之力 可望而不可及 丁是丁，卯是卯 何其相似乃尔 万变不离其宗 东风压倒西风 井水不犯河水 前怕狼，后怕虎 百闻不如一见 无所不用其极 百思不得其解 真金不怕火炼 挂羊头，卖狗肉 五十步笑百步 敢怒而不敢言 不分青红皂白 有眼不识泰山 有过之，无不及 惶惶不可终日 不可同日而语 迅雷不及掩耳 不可同年而语 满招损，谦受益 不问青红皂白 如堕五里雾中 不登大雅之堂 太岁头上动土 吃一堑，长一智 远水不救近火 雷声大，雨点小 言必行，行必果 七字的 一寸光阴一寸金 英雄无用武之地 人心不足蛇吞象 人生七十古来稀 人怕出名猪怕壮 千里姻缘一线牵 人逢喜事精神爽 初生之犊不惧虎。 3. 第三个字是之字的四字成语有哪些 第三个字是之字的成语 ： 自知之明、 井底之蛙、 惊弓之鸟、 燃眉之急、 无价之宝、 切肤之痛、 不速之客、 君子之交、 莫逆之交、 缓兵之计、 一技之长、 普天之下、 神来之笔、 天府之国、 用武之地、 不解之缘、 初生之犊、 肺腑之言、 靡靡之音、 顷刻之间、 弥留之际、 天伦之乐、 掎角之势、 不羁之才、 垂暮之年、 伯仲之间、 前车之鉴、 *** 之尤、 无妄之灾、 泛泛之交 4. 四个字的成语大全 岌岌可危、风尘仆仆、大名鼎鼎、开门见山、左邻右舍、烟消云散、空空荡荡、提心吊胆、 先发制人、自言自语、自尊自爱、自作自受、开门见山、口是心非、无影无踪、喜新厌旧、 坐立不安、兴高采烈、小题大做、欢天喜地、顶天立地、小题大做、方寸大乱、冰天雪地、 愁眉苦脸、忐忑不安、心急如火、恩重如山、碧空如洗、胆小如鼠、心花怒放、度日如年、 恩将仇报、举一反三、一言九鼎、死而后已、失魂落魄、文质彬彬、气急败坏、足智多谋、 事半功倍、日积月累、双龙戏珠、任劳任怨、三羊开泰、张灯结彩、喃喃自语、情不自禁、 信口开海、出言不逊、夸夸其谈、眉飞色舞、慢条斯理、炯炯有神、眉飞色舞、口蜜腹剑、 风言风语、漫天飞舞、枝繁叶茂、生机勃勃、栩栩如生、小巧玲珑、绞尽脑汁、大公无私、 公私分明、先人后己、心潮起伏、忧心如梦、历历在目、白头偕老、鸟语花香、炎炎夏日、 秋色宜人、德高望重、津津乐道、别有深意、左冲右撞、意味深长、庞然大物、心事重重、 行色匆匆、奇妙无比、不拘一格、年过花甲、悬崖峭壁、狂风怒号、惹人讥笑、鸡飞狗跳、 寝不安席、思潮起伏、可见一斑、水落石出、百折不回、牙牙学语、波涛起伏、一动不动、 蹑手蹑脚、鬼鬼祟祟、偷偷摸摸、心惊肉跳、缝缝补补、大吃一惊、十指连心、溜之大吉、 怒目圆瞪、兴高采烈、和蔼可亲、闪闪发亮、一命呜呼、罪魁祸首、风雨同舟、囫囵吞枣 拜托，给我一点分数！！ 5. 带“之”的成语 四个字的 【之乎也者】这四个字都是文言虚词，讽刺人说话喜欢咬文嚼字。 也形容半文不白的话或文章。【之乎者也】这四个字都是文言虚词，讽刺人说话喜欢咬文嚼字。 也形容半文不白的话或文章。【之死不渝】至死不变。 形容忠贞不二。同“之死靡它”。 【之死靡二】至死不变。形容忠贞不二。 同“之死靡它”。【之死靡他】之：到；靡：没有；它：别的。 到死也不变心。形容爱情专一，致死不变。 现也形容立场坚定。【之死靡它】之：到；靡：没有；它：别的。 到死也不变心。形容爱情专一，致死不变。 现也形容立场坚定。【之子于归】之子：这个女人；于归：到丈夫家。 指女子出嫁。 爱莫之助 虽然同情，却限于条件无从帮助 岸谷之变 岸：喻指高位。 比喻政治上的重大变化 案牍之劳 案牍：公文。办理公文事物的劳累 暗昧之事 暗昧：昏暗。 指见不得人的丑事 白沙在涅，与之俱黑 涅：黑土。白色的细沙混在黑土中自然变黑。 比喻好人处在坏的环境里，也会逐渐变坏 柏舟之誓 誓：盟约，诺言。指妇女丧夫后守节不嫁 百里之才 百里：方圆百里之地；才：才能。 指能治理方圆百里地区的人才 百年之后 百年：百岁。人的寿命少有超过百岁的，故以百岁为死的代称。 死的讳称 百世之师 世世代代的老师，指才德高尚而永远可为人师表的人 百岁之好 好：友爱。永久的好合。 指男女结为夫妻 半面之旧 半面：见过面；旧：原先，引申为旧友。指只见过一面的旧交 杯水之谢 比喻微薄的酬谢 北门之管 管：钥匙。 表示军事要地或守御重任 奔走之友 指彼此尽力相助的挚友 伯仲之间 伯仲：兄弟长幼的顺序，老大，老二。比喻人与事物不相上下，难分优劣高低 不次之位 次：顺序，等级；位：职位，地位。 指对于有才干的人不拘等级授予重要职位 不根之谈 根：根据；谈：言论。指没有根据的言论 不羁之民 羁：束缚；民：百姓。 不受束缚的百姓。指不甘就范的民众 不败之地 败：输，失利。 具有优势，不会遭到失败。比喻有把握取胜 不测之祸 测：估计。 估计不到的灾祸，多指死亡 不测之忧 测：预测；忧：忧患。指意外的祸患 不解之缘 解：解散；不解：解不开；缘：缘分。 不可分开的缘分 不经之谈 经：正常，通常的道理、法则等；谈：话。荒诞没有根据的话 不牧之地 牧：放牧牲畜。 不能牧养牛马的地。指荒地 不易之论 易：变更。 不可更改的言论。形容论断或意见完全正确 藏之名山 把著作藏在名山传给志趣相投的人。 形容著作极有价值 藏诸名山，传之其人 诸：之于的合音；传：传布流传；其人：同道。把著作藏在名山，传给后来志趣相投的人 不时之需 不时：不定什么时候。 说不定什么时候会需要 不识之无 识：认识。形容人不识字，文化水平很低 不世之功 不世：非凡。 指极大的功劳 不治之症 治不好的病、绝症。也比喻无法挽救的祸患或无法改正的弊端、错误 乘人之危 乘：趁；危：危险，灾难。 趁人家危难的时候加以要挟或陷害 赤子之心 赤子：初生的婴儿。比喻人心地纯洁善良 畴咨之忧 畴咨：访问、访求。 指人才难求的忧虑 池鱼之殃 比喻因牵连而无端遭到的祸害 持之以恒 持：保持，坚持；之：代词，指要坚持的东西；恒：长久，恒心。有恒心，长期坚持下去 初生之犊 刚出生的小牛，比喻单纯或勇猛的青年人 床笫之私 指夫妇间的私话、私事 吹灰之力 比喻极轻微的力量 等闲之辈 等闲：寻常，一般。 无足轻重的寻常人 斗筲之器 斗：容器，一斗=十升；筲：竹器，容一斗两升。比喻气量狭窄、见识短浅的人 斗筲之人 斗：容器，一斗=十升；筲：竹器，容一斗两升。 形容人的气量狭小，见识短浅 大雅之堂 高雅的厅堂。比喻高的要求，完美的境界 倒悬之急 倒悬：头向下、脚向上悬挂着。 比喻极其艰难、危险的困境 点头之交 指交情甚浅，见了面只不过点点头而已 耳食之言 耳食：耳朵吃饭。指没有确凿的根据，未经思考分析的传闻 耳顺之年 六十岁时听别人言语便可判断是非真假。 指60岁的代称 泛泛之谈 泛泛：浮浅不深入。一般化地泛泛地谈谈 匪石之心 比喻坚贞不渝 多事之秋 秋：岁月，时期。 事故或患难很多的时期 釜中之鱼 在锅里游着的鱼。比喻不能久活 腹背之毛 比喻无足轻重的事物 覆车之戒 比喻失败可以作为以后的教训 好生之德 好生：爱惜生灵。 指有爱惜生灵，不事杀戮的品德 好事之徒 好：喜欢；事：生事，多事。指喜欢多事或好管闲事的人 后起之秀 秀：特异，优秀。 后来出现的或新成长起来的优秀人物 鹤鸣之士 指有才德声望的隐士 麾之即去 命令他走就离开。形容服从指挥，听候调遣 绩学之士 学者，学问渊博的人 悔之晚矣 矣：了。 后悔已经晚了 急人之困 急：解急，救难。解救别人的困难 今昔之感 从今天的现实回忆过去的事 金石之交 交：交情。 像金石般坚固的交情 浸润之谮 指中伤他人的谗言逐渐发生作用 经国之才 指治理国家的才干 计无复之 指再无别的办法可想，不得不这样 兼而有之 指同时占有或具有有关的各方面 将欲取之，必先与之 要想夺取他一些什么，得先给予他一些什么 金石之言 比喻非常宝贵的教导或劝告 经济之才 指治国安民的才能 经世之才 经世：经济、济民。称治国安民的才能 经验之谈 言谈有实践作为根据、切实、可靠 九泉之下 九泉：地。 6. 带四字的成语有哪些 四海鼎沸 四面出击 四面受敌 四衢八街 四面八方 四海波静 四清六活 四海升平 四面楚歌 四时充美 四马攒蹄 四平八稳 四分五裂 四姻九戚 四亭八当 四脚朝天 四战之国 四角俱全 四方之志 四郊多垒 四冲八达 四肢百体 四通五达 四体百骸 四海九州 四停八当 四山五岳 四体不勤 四百四病 四肢百骸 四书五经 四冲六达 四纷五落 四通八达 四荒八极 四海一家 四分五剖 四海飘零 四海升平 四方八面 四至八道 四时之气 四分五落 四方辐辏 四不拗六 四海为家 四海他人 四海承风 四大皆空 四时八节 四战之地 四乡八镇 四德三从 四时气备 四海承平 四邻八舍 四面碰壁 暮四朝三 骈四俪六 语四言三 吃四方饭 倒四颠三 迈四方步 朝四暮三 7. 含“有”字的四字成语有哪些啊 别有心肝 指另有打算 别有心肠 别：另外。指另有打算和企图 尺有所短 比喻事物有其短处，并非在所有的情况下都是合适的 粗中有细 表面似乎粗率、随便，实际却细致、细心 大有文章 指话语、文章、或已表露的现象之中，很有令人难以捉摸的意思或别的情况 鼎鼎有名 鼎鼎：盛大的样子。非常有名 蜂虿有毒 比喻恶物虽小，但能害人 恢恢有余 恢恢：形容宽广。指宽广而有余裕 兼而有之 指同时占有或具有有关的各方面 津津有味 津：口液，唾液；津津：兴趣浓厚。形容兴味浓厚 炯炯有神 炯炯：明亮的样子。形容人的眼睛明亮有神 绝无仅有 极其少有。形容非常少有 井井有条 井井：形容整齐有条理的样子。形容条理分明，整齐不乱 井井有序 有条理，有秩序 憬然有悟 憬然：觉悟的样子。有所觉悟 咎有应得 罪过和灾祸完全应该得到责备与惩罚 亢龙有悔 指居高位而不知谦退，则盛极而衰，不免有败亡之悔 留有余地 说话办事不走极端，留有回旋和变通的余地 男女有别 指男女之间有所分别 念念有词 念念：连续不断地念叨；有词：有像歌诀一样的词语。旧指和尚念经，现指低声自语或含糊不清地说个不停 别有洞天 比喻另有一番境界。 别有肺肠 别有：另有；肺肠：指思想。比喻人动机不良，故意提出一些与众不同的的奇特的主张。 别有风趣 形容事物（多指文艺作品）具有特殊的情调或趣味。 别有风味 风味：原指美好的口味，引伸为事物的特色。另有一种美好的口味。比喻事物所另外具有的特殊色彩或趣味。 别有天地 天地：境界。比喻另有一番境界。形容风景或艺术创作的境界引人入胜。 别有用心 用心：居心，打算。心中另有算计。指言论或行动另有不可告人的企图。 彬彬有礼 彬彬：原意为文质兼备的样子，后形容文雅。形容文雅有礼貌的样子。 8. 成语大全 四字成语的有哪些 含有动物名称的成语 万象更新、抱头鼠窜、鸡鸣狗盗、千军万马、亡羊补牢、杯弓蛇影、鹤立鸡群、对牛弹琴、如鱼得水、鸟语花香、为虎作伥、黔驴技穷、画龙点睛、鼠目寸光、虎背熊腰、守株待兔、鹤发童颜、狗急跳墙、盲人摸象、画蛇添足 含有两个动物名称的成语 鹤立鸡群、鸡鸣狗盗、鹬蚌相争、蚕食鲸吞、蛛丝马迹、龙争虎斗、龙马精神、龙飞凤舞、龙腾虎跃、龙骧虎步、龙潭虎穴、龙跃凤鸣、车水马龙、指鹿为马、兔死狐悲、鸡犬不宁、心猿意马、狼吞虎咽 含有人体器官的成语 眼高手低、目瞪口呆、胸无点墨、头重脚轻、手足情深、口是心非、手疾眼快、耳闻目睹、头破血流、眉清目秀、袖手傍观、口出不逊、手无缚鸡之力 含有昆虫名称的成语 飞蛾扑火、金蝉脱壳、积蚊成雷、蟾宫折桂、蚕食鲸吞、蜻蜓点水、螳臂挡车、蛛丝马迹、螳螂捕蝉，黄雀在后 含有一组近义词的成语 见多识广、察言观色、高瞻远瞩 、左顾右盼 、调兵遣将 、粉身碎骨 狂风暴雨、旁敲侧击、千辛万苦、眼疾手快、生龙活虎 、惊天动地 七拼八凑 、胡言乱语、改朝换代、道听途说 含有一组反义词的成语 前呼后拥 东倒西歪 眼高手低 口是心非 头重脚轻 有头无尾 前倨后恭 东逃西散 南辕北辙 左顾右盼 积少成多 同甘共苦 半信半疑 大材小用 先人后己 有口无心 天经地义 弄假成真 举足轻重 南腔北调 声东击西 转危为安 东倒西歪 反败为胜 以少胜多 由此及彼 描写情况紧急的成语 千钧一发 刻不容缓 迫不及待 十万火急 火烧眉毛 燃眉之急 描写人物神态的成语 心旷神怡 心平气和 目不转睛 呆若木鸡 眉开眼笑 愁眉苦脸 愁眉紧锁 目瞪口呆 垂头丧气 嬉皮笑脸 描写英雄人物的成语 一身正气 临危不惧 光明磊落 堂堂正正 大智大勇 力挽狂澜 急中生智 仰不愧天 镇定自若 化险为夷 描写春天美好的成语 春光明媚 万紫千红 春雨如油 生机勃勃 春色满园 春意盎然 鸟语花香 春暖花开 百花齐放 和风细雨 “想”的成语 苦苦地想（苦思冥想）静静地想（静思默想）想得周全（深思熟虑） 想得混乱（ 胡思乱想）想得厉害（浮想联翩）想得很多（左思右想） 想得荒唐（痴心妄想） 想得离奇（异想天开）想了又想（朝思暮想） “多”的成语 观众多（座无虚席）贵宾多（高朋满座）人很多（摩肩接踵） 人才多（人才济济） 兵马多（千军万马）事物多（林林总总） 色彩多（五彩缤纷）类别多（千差万别） 困难多（千辛万苦） 话儿多（滔滔不绝）读书多（博览群书）见识多（见多识广） 变化多（千变万化）走得多（走南闯北）颜色多（五颜六色） 花样多（五花八门） 带有“看”的近义词的成语 见多识广 望而生畏 察言观色 一视同仁 一览无余 高瞻远瞩 坐井观天 举世瞩目 管中窥豹 左顾右盼 带有“龙”字的成语 生龙活虎 龙争虎斗、龙马精神 龙飞凤舞 龙腾虎跃 龙骧虎步 画龙点睛 龙潭虎穴 龙跃凤鸣 车水马龙 源自于寓言故事的成语 鹬蚌相争 刻舟求剑 鹏程万里 守株待兔 掩耳盗铃 亡羊补牢 惊弓之鸟 杯弓蛇影 抱薪救火 源自于历史故事的成语 安步当车 暗渡陈仓 按图索骥 程门立雪 班门弄斧 兵不厌诈 三顾茅庐 首尾同字的成语 微乎其微 神乎其神天外有天 痛定思痛 数不胜数 举不胜举 人外有人 防不胜防 忍无可忍 闻所未闻 带有鸟类名称的成语 欢呼雀跃 鸦雀无声 鹏程万里 一箭双雕 风声鹤唳 鹤发鸡皮 鹤发童颜 鹤立鸡群 麻雀虽小，五脏俱全 螳螂捕蝉， 黄雀在后 成语接龙（“不”字开头） 不耻下问 问道于盲、盲人瞎马 马到成功 功败垂成 成人之美 美不胜收 收回成命 命中注定 定时炸弹弹尽粮绝 绝无仅有 有机可乘 乘虚而入 入木三分 分秒必争 争权夺利 利欲熏心心安理得 得意洋洋 根据书籍名称说出有关词语 《三国演义》草船借箭 、过五关，斩六将、一个愿打，一个愿挨、赔了夫人又折兵 、舌战群儒 《红楼梦》刘姥姥进大观圆、林黛玉葬花 《西游记》西天取经 猪八戒大闹高老庄 孙悟空三打白骨精 《水浒》 逼上梁山林冲棒打洪教头 劫取生辰纲 武松打虎 武大郎卖烧饼 三碗不过景阳岗 数字成语 一唱一和 一呼百应 一干二净 一举两得 一落千丈 一模一样 一暴十寒 一日千里 一五一十一心一意 两面三刀 三长两短 三番五次 三三两两 三头六臂 三心二意 三言两语 四分五裂 四面八方四通八达 四平八稳 五光十色 五湖四海 五花八门 五颜六色 六神无主 七颠八倒 七零八落 七拼八凑七上八下 七手八脚 七嘴八舌 八面玲珑 九死一生 九牛一毛 十拿九稳 十全十美 百发百中 百孔千疮百战百胜 百依百顺 千变万化 千差万别 千军万马 千山万水 千丝万缕 千辛万苦 千言万语 千真万确千锤百炼 千方百计 千奇百怪 千姿百态 千钧一发 千虑一得 千虑一失 千篇一律 万水千山 万无一失万众一心 万紫千红 万死一生 描写友情的成语 推心置腹 肝胆相照 情同手足 志同道合 风雨同舟 荣辱与共 同甘共苦 关怀备至 心心相印 海誓山盟 拔刀相助 亲密无间 描写花的成语 万紫千红 春暖花开 鸟语花香 姹紫嫣红 花红柳绿 百花争艳 锦上添花 火树银花 昨日黄花 春花秋月 过时黄花 花团锦簇 花枝招展 描写山的成语 崇山峻岭 山明水秀山穷水尽 大好山河 刀山火海 地动山摇 高山深涧 悬崖峭壁 峰峦雄伟 漫山遍野 江山如画 锦绣山河 描写颜色的成语 五彩缤纷 五颜六色 一碧千。

灯红酒绿 万家灯火 灯火阑珊 张灯结彩 灯火如豆 油干灯灭 彩灯高挂 灯火璀璨 灯光如昼暗淡无光 黯淡无光

大于或等于的数学符号为≥。当一个数值比另一个数值大或两数相等时使用大于等于号"≥"，又被称为“不小于”。百度输入法、搜狗输入法的打法：这类的输入法很人性化，我们只需要切换到拼音输入。word中打大于等于号也可以使用上面的方法，当然也可以插入大于等于号。历史英国人哈里奥特于1631年开始采用现今通用之“大于”号“>”及“小于”号“<”，但并未为当时数学界所接受。直至百多年后才渐成标准之应用符号。1655年沃利斯曾以表示“等于或大于”，到了1670年，他以及分别表示“等于或大于”和“等于或小于”。据哥德巴赫于1734年1月写给欧拉的一封信所述，现今通用之≧和≦符号为一法国人P。布盖（1698-1758）所首先采用，然后逐渐流行。